Fourierreihen und Fouriertransformation - Fachhochschule ...

Fourierreihen und Fouriertransformation 82
Fast alle diese Summen sind 0 (diskretes Analogon der Orthogonalitätsbedingungen der
trigonometrischen Funktionen: siehe Fouriertransformation). Nur gerade für m = n ergeben
sich von 0 verschiedene Werte. Es gelten konkret die folgenden Werte:
⎧ 0, m ≠ n
2N
⎪
∑ − 1
1
cos ( mt
k
) cos ( nt
k
) = ⎨ 0.5, m = n ≠ N
2N
k = 0
⎪
⎩ 1, m = n = N
2N
∑ − 1
1
N k = 0
2
sin
( mt ) sin ( nt )
k
k
=
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
0,
0.5,
1,
m ≠ n
m = n ≠ N
m = n = N
1 2N
∑ −1
2N
k = 0
cos
( mt ) sin ( nt ) = 0, m n
k k
,
Mit diesen Beziehungen lauten die Normalengleichungen
also
t
t
A A x = A y
⎛2N
⎜
⎜ 0
⎜ 0
⎜
⎜ 0
⎜
⎜
0
⎜
⎜
⎜ 0
⎝ 0
0
N
0
0
0
0
0
0
0
N
0
0
0
0
0
0
0
N
0
0
0
0
0
0
0
N
0
0
0
0
0
0
0
N
2
⎛
⎜
⎜ k
2N
−1
⎜
⎜ ∑ f
0
k = 0
⎞ ⎜
2N
−1
⎟
0
⎜
⎟ ⎛α
⎞
⎟ ⎜ ∑ f
0
⎜
k = 0
0⎟
⎜α
⎟ ⎜ 2N
−1
1
⎟
⎜ ⎟ ⎜
⎟ ∑ f
0 β1
⋅⎜
⎟=
⎜ k = 0
⎟
2N
−1
0 ⎜ ⎟ ⎜
⎟
⎜ ⎟ ⎜ ∑ f
⎟
⎜
αn
⎟ ⎜
k = 0
⎟
0
⎜
⎟ ⎝ βn
⎠
⎜
N ⎠ ⎜ 2N
−1
⎜ ∑ f
⎜ k = 0
⎜ 2N
−1
⎜ ∑ f
⎝ k = 0
N −1
∑
= 0
( t )
( t ) cos( t )
( t ) sin ( t )
( t ) cos( 2t
)
k
( t ) cos( 2t
)
k
( t ) cos( nt )
k
k
k
f
k
⎞
⎟ ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟ ( tk
) sin ( ntk
) ⎟
⎠
k
k
k
k
k
(2n+1, 2n+1) (2n+1, 1) (2n+1, 1)
Matrix A t A Matrix x Matrix A t y
Die Koeffizientenmatrix A t A ist diagonal und wir erhalten somit sehr einfach die beste
Lösung des Approximationsproblems (n < N).
Diskrete Fourier Approximation
g
n
n
( t) = α
0
+ ∑( α
k
cos( kt) + β
k
sin( kt)
)
k = 1