Fourierreihen und Fouriertransformation - Fachhochschule ...

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Fourierreihen und Fouriertransformation 14 A = a + b d. h. 4 1 1 2 A 1 = + = 4 + π = 0.377 4 2 2 π π π n 1 A = 2 π 2 n 2 = 2 n 0.159 2 9π + 4 A 3 = = 0.108 2 9π 1 A 4 = = 0.080 4 π 2 25π + 4 A5 = = 0.064 2 25π und so weiter. Damit ergibt sich das Amplitudenspektrum in Abbildung 6. Abbildung 6: Amplitudenspektrum der Funktion f.
Fourierreihen und Fouriertransformation 15 3 Die komplexe Darstellung der Fourierreihe 3.1 Fourierreihe In der Signalverarbeitung ist es üblich, die Fourierreihe eines Signals in der komplexen Form darzustellen (keine Ausnahmeregeln beim Ableiten oder Integrieren). Die Darstellung wird kompakter weil rechnerisch nicht zwischen Sinus- und Kosinustermen unterschieden werden muss sondern nur noch komplexe Exponentialterme e ω − j nω t j n t und e auftreten, welche sehr einfach zu integrieren und differenzieren sind. Auch Produkte von Sinus- und Kosinusfunktionen mit Exponentialfunktionen werden zu allgemeinen (komplexen) Exponentialfunktionen. Am Anfang war Leonard Euler mit e j x = cos(x) + j sin(x) e j ω t = cos(ω t) + j sin(ω t) e –j ω t = cos(ω t) – j sin(ω t) und weil wir nach cos(ω t) und sin(ω t) auflösen wollen e j ω t + e –j ω t = 2cos(ω t) also cos(ω t ) = 2 1 (e j ω t + e –j ω t ) und also e j ω t – e –j ω t = 2j sin(ω t) sin(ω t ) = 1 (e j ω t – e –j ω t 1 ) = – j(e j ω t – e –j ω t ). 2 j 2 Wenn diese Ausdrücke für cos(ω t) und sin(ω t) in der reellen Fourierreihe eingesetzt werden, ergibt sich ∞ ∞ a0 f (t) = + a cos( nω t) + b sin( nω t) Wenn nun und ∑ ∑ n 0 2 n= 1 n= 1 ∞ ∞ a0 1 jnω0t − jnω0t 1 jnω0t − jnω0t = + ∑ an ( e + e ) −∑bn j( e − e ) 2 n= 1 2 n= 1 2 ∞ ∞ 0 ⎛ an bn ⎞ jnω ⎛ ⎞ 0t an bn − jnω0t + ∑⎜ − j ⎟e + ⎜ + j ⎟e 2 n= 1 ⎝ 2 2 ⎠ n= 1 ⎝ 2 2 ⎠ ∞ ∞ 0 1 jnω0t 1 − jnω0t + ∑ an − jbn e + ∑ an + jbn e 2 n= 1 2 n= 1 2 a = ∑ a = ( ) ( ) c n = 2 1 (an – jb n ) n 0
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