Fourierreihen und Fouriertransformation - Fachhochschule ...

Fourierreihen und Fouriertransformation 12
genommen werden, d. h. der Betrag der Differenzfläche, aber das Rechnen mit
Beträgen ist wegen der Fallunterscheidungen extrem mühsam.
Wir sprechen auch von einer least square Approximation. In diesem Sinne können wir
also folgendes festhalten.
Least square Approximation einer periodischen Funktion
Die beste least square Approximation einer periodischen (und integrierbaren) Funktion f
mit der Periode
2π
T =
ω0
durch ein trigonometrisches Polynom f n ist die nach endlich vielen Termen abgebrochene
Fourierreihe, d. h.
n
n
a0
f ( t ) ~ f
n
( t ) = + ∑ ak
cos( kω
0t) + ∑bk
sin( kω0t)
2
k = 1
und die Koeffizienten berechnen sich gemäss
a
k
2
=
T
2
bk
=
T
T
∫
0
T
∫
0
f
f
( t ) cos( kω
t)
dt
für
k = 1
k ≤ n
( t ) sin( kω
t ) dt für k ≤ n
Solche Approximationen sind sehr nützlich, wenn z. B. Temperaturschwankungen im
Verlauf eines Tages oder Temperaturverteilungen in Stäben oder Platten etc. mathematisch
modellieren werden sollten oder wenn der Output eines Linearen Schwingkreises
bei irgendeinem periodischen Input berechnet werden möchte. Sie sind aber nicht geeignet,
wenn bei einem Signal die abgetasteten Werte exakt reproduzieren werden sollten.
Das ist ein Interpolationsproblem, denn es sollte an n äquidistanten Stellen die exakten
Funktionswerte reproduziert werden. Dieses Problem wird von der so genannten diskreten
Fouriertransfomation gelöst (FFT ist ein möglicher und sehr schneller Algorithmus
für die Berechnung dieser diskreten Fouriertransformation).
0
0
2.1.1 Beispiel (Fourierreihe)
Es sei die Funktion
gegeben, vgl. Abbildung 5.
f (t ) =
⎧ 2
⎪
t,
T
⎨
⎪
1,
⎩
T
0 ≤ t <
2
T
≤ t < T
2