Fourierreihen und Fouriertransformation - Fachhochschule ...

Fourierreihen und Fouriertransformation 49
1. Integraldarstellung in reeller Form
Wir setzen die Integrale
mit
f
+∞
∫
0
( t) = ( a( ω) cos ( ω t) + b( ω) sin( ω t)
) dω
1
a( ω) = ∫ f ( t) cos( ω t)
dt
π
−∞
+∞
1
b( ω) = ∫ f ( t) sin( ω t)dt
π
−∞
an. Weil f eine ungerade Funktion ist, hat es nur Sinusbeiträge und
a(ω) = 0.
Andererseits ist
b
∞
∫
−∞
1
2
=
π
π
∫
t
+∞
2A
πω
2A
(
0
−1
).
πω
0
t0
( ω ) f ( t) sin( ω t) dt = ( − A) sin( ω t) dt = cos( ω t) = cos( ω t )
Weil
folgt
also
und
f
F
0
2
( 2α
) 2 sin ( α )
1 − cos =
b
4A
2 ω t0
⎛ ⎞
( ω ) = − sin ⎜ ⎟
⎠
+∞
4A
πω
πω
⎛ ω t
⎝ 2
2 0
( t) = − sin ⎜ ⎟sin( ω t) dω
∫
0
2
( ω ) = − jπ
b( ω) = sin ⎜ j.
⎝
⎞
⎠
2
⎛ ω t
⎝ 2
4A
0
2. Integraldarstellung in komplexer Form
Obwohl wir oben schon F berechnet haben, soll an dieser Stelle auch der komplexe
Rechnungsgang gezeigt werden.
F
∞
∫
−∞
( ω) f ( t)
− jωt
= e dt
=
0 t
− jωt
∫
Ae
dt
+
−t0 0
= −
A
e
jω
ω
0
∫ ( − A )
A
jω
e
− jωt
dt
− jωt
0
− jωt
t0
+ e
−t0 0
⎟
⎠
⎞
0