Fourierreihen und Fouriertransformation - Fachhochschule ...

Fourierreihen und Fouriertransformation 52
a
+∞
1
1
=
π
∫
π
∫
−αt
( ω) f ( t) cos( ω t) dt = t e cos( ω t)
b
−∞
+∞
−αt
( ω) f ( t) sin( ω t) dt = t e sin( ω t)
+∞
1
1
=
π
∫
π
∫
−∞
0
+∞
0
dt
dt
=
=
sehr mühsame Rechnung
sehr mühsame Rechnung
1
=
π
1
=
π
2 2
α −ω
2 2
( α + ω ) 2
2αω
2 2
( α + ω ) 2
Bei diesem Signal wird klar, warum die komplexe Rechnung (siehe gleich nachher)
sehr viel zeitsparender als die soeben ausgeführte reelle Rechnung mit den mühsamen
Integralen ist.
f
+∞
∫
0
( t) = ( a( ω) cos( ω t) + b( ω) sin( ω t)
) dω
1
+
π
+∞
∫
0
⎛ 2 2
⎜ α −ω
⎝
2 2
( α + ω )
2
cos
( ω t)
+
2αω
2 2
( α + ω )
2
sin
⎞
⎟
⎠
( ω t) ⎟ dω
und
F
( ω) = π a( ω) − jπ
b( ω)
=
2 2
α −ω
−
2αω
2 2 2 2 2
( α + ω ) ( α + ω )
2
j.
2. Integraldarstellung in komplexer Form
Obwohl wir oben schon F berechnet haben, soll an dieser Stelle auch der komplexe
Rechnungsgang gezeigt werden.
F
∞
∞
( ) = − j ωt
−αt
− jωt
− ( + )
ω ∫ ( ) = ∫
= ∫
t α jω
f t e dt t e e dt t e
−∞
∞
( α + jω
) −t( α + jω
)
FS ⎛
−t
⎜
te e
dt =
− −
⎝ α + jω
( α + j )
2
0 0
ω
2 2 2 2
( + jω) ( α −ω
) + ( 2αω)
2 2
( α −ω
− 2αωj)
1
1
= =
= =
2 2
α −ω
⎞
⎟
⎠
2 2 2 2 2
( α + ω ) ( α ω )
2
α +
−
∞
0
2αω
2
j
Integraldarstellung von
f
( t)
+∞ 2 2
⎜ α −ω
2αω
= −
2
1
2π
∫
−∞
⎛
⎜
⎝
2 2 2 2 2
( α + ω ) ( α + ω )
⎞
j ⎟e
⎟
⎠
j ω t
d
ω
3. Amplituden(dichte)spektrum:
Wir berechnen das Amplituden(dichte)spektrum
also
1
2 2
jϕ
( ω )
jϕ
F ( ω)
= e = −
j e =
2
2
( α + jω)
A
( ω)
α −ω
2αω
2 2 2 2 2
( α + ω ) ( α + ω )
2 2
α −ω
2αω
= − j =
2 2 2 2 2 2
2 2
( α + ω ) ( α + ω ) α + ω
1
( ω ) jϕ
( ω )
( )
A ω e