Fourierreihen und Fouriertransformation - Fachhochschule ...
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<strong>Fourierreihen</strong> <strong>und</strong> <strong>Fouriertransformation</strong> 54<br />
Abbildung 33: Leistungs(dichte)spektrum.<br />
Die Gesamtleistung beträgt<br />
Gesamtleis tung<br />
∞<br />
∞<br />
∞<br />
2 1<br />
1 ⎛ 1 ⎞<br />
= ⎜<br />
⎟ dω<br />
2 2<br />
2π<br />
2π<br />
−∞<br />
−∞<br />
−∞⎝<br />
α + ω ⎠<br />
2<br />
( f ) ∫ f ( t) dt = ∫ F( ω) dω<br />
= ∫<br />
∞<br />
1 1<br />
FS<br />
1 ⎛<br />
= ∫ dω<br />
= ⎜<br />
π<br />
0<br />
1<br />
= .<br />
3<br />
4α<br />
Die Leistung im Frequenzband [–α, α] beträgt<br />
Leistung<br />
Damit folgt<br />
1<br />
2π<br />
α<br />
ω<br />
2 2 2 ⎜ 2 2 2<br />
( α + ω ) π ⎝ 2α<br />
( α + ω )<br />
2<br />
( f ) [ −α<br />
, α ] = ∫ F( ω) dω<br />
= ∫<br />
−α<br />
Leistung im Frequenzband<br />
Gesamtleistung<br />
Bemerkung<br />
Da das betrachtete Signal<br />
1<br />
2π<br />
α<br />
−α<br />
⎛ 1<br />
⎟ ⎞<br />
⎜<br />
2 2<br />
⎝α<br />
+ ω ⎠<br />
1 ⎛ ω 1 ⎛ ω ⎞⎞<br />
=<br />
arctan<br />
2 2 2 3<br />
π<br />
⎜<br />
+ ⎜ ⎟<br />
2α<br />
( α ω ) 2α<br />
α<br />
⎟<br />
⎝ +<br />
⎝ ⎠⎠<br />
1 ⎞<br />
⎜<br />
⎛ π<br />
= 1 + 3<br />
⎟<br />
4 ⎝ 2 .<br />
πα ⎠<br />
[ − α,<br />
α ]<br />
f<br />
( t)<br />
=<br />
⎧t<br />
e<br />
= ⎨<br />
⎩0,<br />
−αt<br />
2<br />
dω<br />
α<br />
1 ⎛ π ⎞<br />
1<br />
3<br />
⎜ + ⎟<br />
4πα<br />
⎝ 2 ⎠<br />
=<br />
1<br />
3<br />
4α<br />
,<br />
t ≥0<br />
t < 0<br />
0<br />
1<br />
+<br />
3<br />
2α<br />
2<br />
⎛ ω ⎞⎞<br />
arctan⎜<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎝ α ⎠⎠<br />
2 + π<br />
= 0.818 ~82%<br />
2π<br />
mit α > 0 für t < 0 verschwindet, könnten wir die Fouriertransformierte in diesem Fall<br />
auch dem Laplace-Lexikon entnehmen <strong>und</strong> s durch jω ersetzen,<br />
t e<br />
<strong>und</strong> a durch jω ersetzen, dann folgt<br />
− αt<br />
F ( s)<br />
1<br />
( ) 2<br />
=<br />
s +α<br />
∞<br />
0
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