Fourierreihen und Fouriertransformation - Fachhochschule ...

Fourierreihen und Fouriertransformation 8
Dieselben Formeln gelten auch, wenn die Periode nicht 2π ist sondern T = 2π
/ ω0
ist.
Dann gelten die folgenden Formeln.
für n ≠ m, n, m ∈ N ist
T
∫
0
sin( nω0 t)sin(
mω0t)
dt = 0
für n ≠ m, n, m ∈ N ist
für alle n, m ∈ N ist
für alle n ∈ N + ist
T
∫
0
T
∫
0
T
∫
0
cos( nω0 t)cos(
mω0t)
dt = 0
sin( nω t)cos(
mω
t dt = 0
0 0
)
T
2
2 T
sin ( nω0t)
dt = ∫ cos ( nω0t)
dt = 2
0
Zusammenhang mit der Vektorgeometrie
Die jeweils rechts stehenden bestimmten Integrale ordnen jeweils zwei Funktionen f und
g einen bestimmten Wert zu, nämlich
2π
∫
0
( t) g( t)
f dt .
Es besteht eine Analogie zur Theorie der Vektorräume wo ebenfalls jeweils zwei Vektoren
einer bestimmten Zahl zugeordnet werden können, nämlich das Skalarprodukt. In der
Tat ist es möglich, die wesentliche Struktur eines Vektorraumes, bestehend aus Vektoren,
auf eine Funktionenmenge zu übertragen. Es können gewisse Funktionenmengen wie
z. B. die Menge aller in einem Intervall stückweise stetigen Funktionen oder die Menge
aller in einem Intervall integrierbaren Funktionen zu einem abstrakten Vektorraum machen.
Es wird von Funktionenräumen gesprochen. Im Gegensatz zu den anschaulichen
Vektorräumen R 2 und R 3 sind solche Funktionenräume unendlich dimensional, d. h. die
Basis des Funktionenraums besteht aus (abzählbar) unendlich vielen Vektoren. Natürlich
muss erklärt werden, was unter Summe, Differenz, Multiplikation mit einem Faktor und
eben Skalarprodukt zweier Funktionen zu verstehen ist. Das ist problemlos möglich.
Tabelle 1: Analogie zwischen Vektorraum und Funktionenraum.
Vektoren a b
, ←⎯
Analogie ⎯
→ Funktionen f, g
Summe
a + b
( f + g )(t) = f (t) + g(t )
Differenz
a − b
( f – g )(t) = f (t) – g(t )
Faktor α a (α f )(t) = α f (t)
Skalarprodukt
a b
3
2π
= ∑ a b f , g = n n
∫ f ( t)
g(
t)
dt
n = 1
0
Wenn diese Analogie hergestellt wird, dann können viele anschauliche Begriffe und Sätze
direkt übertragen werden. Zum Beispiel kann von orthogonalen oder orthonormalen