Fourierreihen und Fouriertransformation - Fachhochschule ...

Fourierreihen und Fouriertransformation 60
⎛1
⎜
⎜1
⎜
⎜
⎝1
cost
cost
cost
0
1
sin t
sin t
sin t
0
1
⎛ α
0 ⎞
cos( 2t0
) cos( Nt0
) ⎞ ⎜ ⎟ ⎛ y0
⎞
⎜ α ⎟ ⎜ ⎟
1
cos( 2t1
) cos( Nt1)
⎜ ⎟ ⎜ y1
⎟
β =
1
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
cos( 2t
) ( ) ⎟⎟⎟⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
2N
−1
cos Nt
2N
− ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ y
2N
−1 ⎠
⎝α N ⎠
(2N, 2N) (2N, 1) (2N, 1)
2N
−1
2N
−1
1
mit der formalen Lösung
⎛ α
o ⎞
−1
⎜ ⎟ ⎛1
cost0
sin to
cos ( 2t
o
) cos ( Nt ) ⎞ ⎛ y
o
o ⎞
⎜ α1
⎟ ⎜
⎟ ⎜ ⎟
⎜ β ⎟ = ⎜1
cost1
sin t1
cos ( 2t1
) cos ( Nt1
) ⎟ ⎜ y1
⎟
1
⎜ ⎟ ⎜
⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜
⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ 1 cos
2 −1
sin
2 −1
cos ( 2
2 −1
) cos (
2 −1
)
⎝ t
N
t
N
t
N
Nt
N ⎠ ⎝ y2N
−1 ⎠
⎝α
N ⎠
(2N, 1) (2N, 2N) (2N, 1)
Natürlich werden die Lösungen des Gleichungssystems nicht verändert, wenn die Reihenfolge
der Kosinus- und Sinusterme verändert wird, d. h. wenn pro Zeile der Koeffizientenmatrix
zuerst alle Kosinusterme und anschliessend alle Sinusterme genommen werden
(es kann der Code beim Programmieren ein Bisschen erleichtern), d. h.
g
N
N
( t) = α + α cos( kt) + β ( kt)
∑
k = 1
resp. nach Einsetzen der Punkte t 0 , ,t 2N-1 :
⎛1
⎜
⎜1
⎜
⎜
⎝1
cost
cost
cost
0
1
cos
cos
cos
N −1
∑
0
sin
k
k = 1
( 2t0
) cos( Nt0
) sin t0
sin (( N −1)
t0
)
( 2t
) cos( Nt ) sin t sin (( N −1)
t )
1
1
( 2t
) ( ) (( − ) ) ⎟⎟⎟⎟⎟ 2N
−1
cos Nt2N
−1
sin t2N
−1
sin N 1 t2N
− ⎠
2N
−1
1
1
k
1
⎛ α
0 ⎞
⎞
α1
⎛ y0
⎜
⎜ y1
α =
N ⎜
⎜ ⎜⎜⎜⎜⎜⎜ β ⎜
1
⎜ ⎟ ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟ ⎝ y
2N
⎝ β
N −1 ⎠
5.2.1 Beispiel (Interpolierendes Fourierpolynom)
Gesucht ist das diskrete, interpolierende Fourierpolynom für die 8 Datenpunkte, d. h., es
ist N = 4.
⎛ π π 3π
5π
3π
7π
⎞
t = ⎜0,
, , , π , , , ⎟
⎝ 4 2 4 4 2 4 ⎠
und
y = ( 0,
2, 2, 2, 0, − 2, − 2, − 2)
Es handelt sich dabei um ein diskret abgetastetes Rechteckssignal, vgl. Abbildung 37.
Wir lösen das Problem mit Matlab, indem wir zunächst das oben angegebene lineare
Gleichungssystem lösen und so die (reellen) diskreten Fourierkoeffizienten
erhalten.
( α α , , α , β , β ) t
0
,
1
N 1
,
N
−1
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠