Quantenalgorithmen zum Auffinden versteckter Untergruppen

In dieser Darstellung können nun Skalarprodukt, Vektoren und Operatoren konkretisiert
werden. Dazu stellt man |ψ〉 als den Spaltenvektor
⎛ ⎞
⎜
|ψ〉 = ⎜
⎝
c0
c1
.
c2 n −1
dar. Das Skalarprodukt zwischen |ψ〉 = � 2 n −1
i=0 ci |i〉 und |φ〉 = � 2 n −1
i=0 di |i〉 ergibt sich
zu
〈ψ| φ〉 =
2n �−1
i=0
2n �−1
j=0
⎟
⎠
cidj 〈i| j〉
� �� �
=δij
=
2n �−1
i=0
cidi
Schreibt man den dualen Vektor als den konjugierten Zeilenvektor
〈ψ| = � c0 c1 ... c2n � †
−1 = |ψ〉
so ergibt sich das Skalarprodukt als normale Matrixmultiplikation eines Zeilenvektors mit
einem Spaltenvektor. Da unsere Basiszustände |i〉 mit i =0,...,2 n − 1 ein VONS des
Hilbertraums bilden ist die Summe aller Projektionen auf die Basisvektoren gerade die
Identität � 2 n −1
i=0 |i〉〈i| =1. Damit lässt sich jede Operatorgleichung
 |φ〉 = |ψ〉
durch Anwendung von 〈i| von links und Einschieben von �2n−1 j=0 |j〉〈j| zwischen  und
|φ〉
als Matrixgleichung auffassen:
2n �−1
j=0
2n �−1
j=0
Ist  ein unitärer Operator, so gilt:
〈i| Â |j〉〈j| φ〉 = 〈i| ψ〉
Aijdj = ci mit Aij := 〈i| Â |j〉
� −1
A �
ij = 〈i| Â−1 |j〉 = 〈i| † � � � � �
� �
|j〉 = Âi�
j = j�
Âi
�
= � A †�
ij
Wobei das letzte † sich auf die Adjunktion der Matrix bezieht. Die Matrixdarstellung eines
unitären Operators ist also auch unitär.
2.3 No-Cloning Theorem
Eine recht problematische Konsequenz der Quantenmechanik ist die Unmöglichkeit,
einen unbekannten Zustand eines Systems auf ein anderes zu übertragen. Dies würde
nur mit nichtunitären Zeitenwicklungsoperatoren gelingen. Sei |k〉 ∈Hein unbekannter
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