Quantenalgorithmen zum Auffinden versteckter Untergruppen

Damit gilt
ρ ′ (g) −1 h 0 ρ(g) = 1
�G�
�
ρ
s∈G
′ (g −1 s −1 )
� �� �
ρ ′ ((sg) −1 )
hρ(sg) =h 0
Da also ρ ′ (g)h 0 = h 0 ρ(g) kann man mit f = h 0 das Schur’sche Lemma anwenden. Um
die erste Aussage zu beweisen, betrachtet man Fall 1 aus dem Lemma in Matrixform.
Wegen der Unitarität der Darstellungen gilt ρ ′ (g −1 )=ρ ′ (g) −1 =(ρ ′ (g)) † .
0=fjl = h 0 jl
1 � �
= ρ
�G�
′ ji (g−1 ) hikρkl(g)
� �� �
g∈G
Um dies für beliebige hkl zu erfüllen, muss also bereits � ρ ′ �
ij ρlk
Für die zweite Aussage nutzt man entsprechend den zweiten Fall des Schur’schen Lemmas,
wobei man nun ρ ′ = ρ setzt. Für ein λ ∈ C gilt also h0 = λ dρ. Man bestimmt λ
mittels
Damit folgt:
Sp(h 0 )= 1
�G�
h 0 jl = 1
�G�
�
g∈G
� �
g∈G
ik
ρ ′ ij (g)
�
� =0sein.
Sp(ρ −1
g hρg) =Sp(h) =λ · dV =⇒ λ = Sp(h)
ik
ρ ′ ij (g)hikρkl(g) =λδjl = 1
dV
�
ik
dV
hikδikδjl
Die zweite Aussage folgt dann, da wieder hkl beliebig gewählt werden kann. �
Korollar 4.20. Es sei ρ eine irreduzible Darstellung einer Gruppe G. Dann gilt:
1
�G�
�
ρ(g)ij =(1G| ρij) =
g∈G
�
1 falls ρ =1G
0 sonst
Aus dem vorherigen Satz lässt sich nun leicht durch Spurbildung die Orthonormalität
der Charaktere beweisen.
Korollar 4.21. Es seien χ, χ ′ die Charaktere zweier irreduzibler nicht äquivalenter Darstellungen
ρ, ρ ′ einer Gruppe G. Dann gilt:
1. (χ| χ) = (Sp(ρ)| Sp(ρ)) = �
ij (ρii| ρjj) =1
2. (χ| χ ′ )=(Sp(ρ)| Sp(ρ ′ )) = � � � �
ij
ρii
� ′ ρ jj =0
Satz 4.22. Sei G eine endliche Gruppe, dann bildet die Menge der Charaktere {χρ | ρ ∈
ˆG} ein VONS des Funktionenraums der zentralen Funktionen f : G → C mit f(hgh −1 )=
f(g) für alle g, h ∈ G.
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