Quantenalgorithmen zum Auffinden versteckter Untergruppen

ein Operator aus einem endlichen Satz von unitären ein- und zwei-Qubit Operatoren
ausgeführt werden kann. In folgender Tabelle ist die Form dieser Operatoren mit ihren
Wirkungen auf die Basiszustände und ihren Schaltsymbolen dargestellt. Dabei ist
θ ∈ ˜ C ∩ [0, 1), also effizient berechenbar.
Operation Abbildung Schaltsymbol
Kontrollierte Negation
CNOT
(engl. controlled Not)
Phasenschieber Pθ
Rotation Rθ
|00〉 ↦→ |00〉
|01〉 ↦→ |01〉
|10〉 ↦→ |11〉
|11〉 ↦→ |10〉
|0〉 ↦→ |0〉
|1〉 ↦→ e 2πiθ |1〉 P θ
|0〉 ↦→ cos(2πθ) |0〉−sin(2πθ) |1〉
|1〉 ↦→ sin(2πθ) |0〉 +cos(2πθ) |1〉 R θ
Ein Algorithmus kann dann als Hintereinanderausführung dieser elementaren Operationen
als ein Quantenschaltkreis zum Beispiel dieser Form angegeben werden:
|0
|0
|0
|0
R1 /3
R1 /4
Existiert ein endlicher Satz von Operatoren G ⊂{CNOT,Pθ,Rθ | θ ∈ ˜ C} und eine
deterministische Turingmaschine, die für jede Eingabelänge n die Codierung eines Gatters
Cn mit Operatoren aus G in polynomieller Zeit p(n) berechnet, spricht man von einer
endlich polynomiell erzeugten Quantenschaltkreis-Familie C = {Cn}.
Nishimura und Ozawa haben gezeigt, dass jede QTM mit polynomieller Laufzeit durch
eine endlich poynomiell erzeugte Quantenschaltkreis-Familie perfekt simuliert werden
kann, und umgekehrt [NO]. Die beiden Modelle sind also äquivalent.
Die hier behandelten Algorithmen geben nacheinander die benötigten unitären Transformationen
an, und nutzen daher implizit das Rechenmodell des Quantengatters und
nicht das einer QTM.
Die Unitaritätsbedingung der Zeitentwicklung einer QTM stellt eine starke Einschränkung
dar. Für eine deterministische Turingmaschine (die ja im Allgemeinen nicht reversibel
ist) kann nicht direkt eine QTM angeben werden, die dieselbe Sprache entscheidet.
Charles Bennet konnte jedoch zeigen, dass jede deterministische Turingmaschine effizient
in eine reversible Turingmaschine umgewandelt werden kann, indem sie eine Historie der
Berechnung speichert [CB]. Übertragen auf eine QTM ist jede Konfiguration aus maximal
einer Vorgängerkonfiguration erreichbar und hat genau eine Nachfolgekonfiguration.
Der entsprechende Zeitentwicklungsoperator führt also eine Basispermutation aus, welche
immer unitär ist. Daher folgt [BV]:
16
R1 /5
|ψ 1
|ψ 2
|ψ 3
|ψ 4