Quantenalgorithmen zum Auffinden versteckter Untergruppen

6 Das Hidden Subgroup Problem
Zur Erinnerung, hier noch einmal die Definition des Hidden Subgroup Problem (HSP):
Problem 6.1 (HSP)
gegeben: Eine Funktion f : G → A, wobei G eine endliche Gruppe und A eine beliebige
Menge ist.
promise: Es existiert eine Untergruppe H ≤ G, sodass f auf unterschiedlichen Linksnebenklassen
gH verschiedene Werte annimmt und auf allen Linksnebenklassen
konstant ist.
gesucht: Ein vollständiger Satz von Generatoren S ⊂ G mit 〈S〉 = H
Um die Funktion f in einem Quantenalgorithmus zu nutzen, muss sie natürlich durch
einen Quantenschaltkreis berechnet werden können. Das heißt, man muss A durch Zahlen
repräsentieren und f mittels der unitäre Transformation Ûf berechnen, die auf einen
Zustand |g〉|b〉 wie folgt wirkt:
Ûf(|g〉|b〉) =|g〉|b ⊕ f(g)〉
wobei mit ⊕ die bitweise Addition bezeichnet ist.
Fast alle auf Quentencomputern effizient lösbaren Probleme, für die kein effizienter
klassischer Algorithmus bekannt ist, werden mithilfe des folgenden Quantenalgorithmus
gelöst:
Algorithmus 6.2
1. Präpariere den Anfangszustand |1G, 1, 1〉|0〉
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2. Erzeuge eine Überlagerung aller Gruppenelemente (im Allgemeinen durch Anwen-
−1
dung von ÛFT )
1 �
|g〉|0〉
�G�
g∈G
3. Wende Ûf an und erzeuge damit den Zustand
1
�G�
�
|g〉|f(g)〉
g∈G
4. Messe das letzte Register. Das Ergebnis sei x. Dann besteht das erste Register aus
einer Überlagerung aller Gruppenelemente g ∈ G für die f(g) = x ist. Da f
konstant auf allen Linksnebenklassen einer Untergruppe H ≤ G ist, existiert ein
c ∈ G, sodass sich der neue Zustand im ersten Register ergibt zu:
|cH〉 =
1
� �H�
�
|ch〉
Da auch für den neue Zustand �cH� = � 〈cH| cH〉 =1gelten muss, ändert sich
der Vorfaktor entsprechend. Das letzte Register kann nun vernachlässigt werden.
h∈H