Quantenalgorithmen zum Auffinden versteckter Untergruppen

Inhaltsverzeichnis
1 Einführung 3
2 Physikalischer Hintergrund und quantenmechanische Notation 5
2.1 Mathematische Struktur der Quantenmechanik . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Quantenregister . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 No-Cloning Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3 Quanten-Komplexitätstheorie 12
3.1 Turingmaschine und Quanten-Turingmaschine . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.2 Die Komplexitätsklassen EQP und BQP . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.3 Orakeltechniken in der Quanten-Komplexitätstheorie . . . . . . . . . . . 17
4 Darstellungstheorie 19
4.1 Grundlegende Definitionen der Gruppentheorie . . . . . . . . . . . . . . 19
4.2 Darstellung von Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.3 Charaktere einer Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.4 Schur’sches Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.5 Darstellung abelscher Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5 Fouriertransformation für Gruppen 31
6 Das Hidden Subgroup Problem 34
6.1 Die schwache Form des Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
6.2 Die starke Form des Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6.3 HSP für abelsche Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
6.3.1 Beispiel: Simon’s Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
6.3.2 Beispiel: Primzahlfaktorisierung mit dem Algorithmus von Shor . 42
6.4 HSP für nichtabelsche Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6.4.1 Normale Untergruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6.4.2 Einige effizient lösbare Fälle des nichtabelschen HSP . . . . . . 46
6.5 Das Graphisomorphieproblem als negatives Resultat . . . . . . . . . . . 47
6.5.1 Darstellungstheorie der symmetrischen Gruppe . . . . . . . . . . 49
6.5.2 GI ist nicht mithilfe des Quantenalgorithmus lösbar . . . . . . . . 51
7 Schlussbemerkung 55
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