Quantenalgorithmen zum Auffinden versteckter Untergruppen

5 Fouriertransformation für Gruppen
Kern jedes Quanten-Algorithmus über versteckte Untergruppen ist die Fouriertransformation
für Gruppen. Im Spezialfall abelscher Gruppen wird sie sich als die vielleicht schon
bekannte diskrete Fouriertransformation herausstellen.
Definition 5.1 (Fouriertransformation über endlichen Gruppen). Sei G eine endliche
Gruppe und f : G → C eine komplexwertige Funktion auf G, so ist die Fourietransformierte
ˆ f an der Stelle ρ als die dρ × dρ-Matrix
definert.
ˆf(ρ) =
�
dρ
�G�
�
f(g)ρ(g)
Wie kann man nun allgemein Funktionen f und ˆ f auf Quantencomputern darstellen?
Man speichert sie als Zustandsvektoren ihrer Funktionswerten als Amplituden ab.
Für Funktionen f : G → C wählt man als Basis das VONS {δg | g ∈ G}, wobei
δg(x) =
g∈G
�
1 für x = g
0 sonst
Somit ist f = �
g∈G f(g)δg. Sei G = {g1,...,gn}, dann repräsentiert man eine Basisfunktion
δgi einfach durch die Zahl i und schreibt |gi〉 für den Zustandsvektor des Quantencomputers,
der diese Zahl speichert. Dann wird eine Funktion f einfach gespeichert
als
|f〉 = 1
�f� 2
�
f(g) |g〉 ,
g∈G
wobei der Zustand durch das Dividieren durch �f� 2 = �
g∈G |f(g)|2 normiert wird.
Für Funktionen ˆ f wählt man entsprechend als Basis das VONS {δρij | ρ ∈ ˆ G 1 ≤ i, j ≤
dρ}, wobei
�
1 für (ρ, i, j) =(τ,k,l)
δρij(τ,k,l)=
0 sonst
Dann ist ˆ f = �
ρ∈ ˆ �dρ G i,j=1 ˆ f(ρ)ij·δρij. Sei ˆ G = {ρ1,...,ρk}, dann repräsentiert man eine
Basisfunktion δρlij durch das Tripel (l, i, j) und schreibt |ρlij〉 für den Zustandsvektor des
Quantencomputers, der dieses Tripel speichert.
Dann wird eine Funktion ˆ f gespeichert als
�
�
� ˆ �
f = ÛFT |f〉 = 1
�f� 2
�
dρ�
ρ∈ ˆG i,j=1
ˆf(ρ)ij |ρij〉
Die Normierung muss nicht angepasst werden, da die Fouriertransformation, wie noch zu
sehen sein wird, unitär ist.
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