Quantenalgorithmen zum Auffinden versteckter Untergruppen

2 Physikalischer Hintergrund und
quantenmechanische Notation
2.1 Mathematische Struktur der Quantenmechanik
Die Quantenmechanik (QM) ist eine der am besten bestätigten physikalischen Theorien.
Leider ist unsere Intuition von unserer makroskopischen Umwelt geprägt, in der sich
die quantenmechanischen Gesetze nicht direkt beobachten lassen, wohl aber ihre Effekte,
wie zum Beispiel die Farbigkeit von Objekten. In der QM können Teilchen im Allgemeinen
nicht mehr exakte Werte für physikalische Größen wie die Geschwindigkeit oder den
Aufenthaltsort zugeordnet werden, sondern nur noch eine Wahrscheinlichkeitsverteilung
dieser Größen. Sie werden daher nicht mehr durch eine Funktion, die jedem Zeitpunkt t
den Ortsvektor des Teilchens �x(t) zuordnet, dargestellt. Ein Teilchen ist vielmehr eindeutig
durch einen Zustandsvektor |ψ〉 in einem Hilbertraum H definiert.
Ein Hilbertraum H ist dabei ein Vektorraum, der vollständig ist, auf dem also jede
Cauchyfolge konvergiert. Außerdem muss auf ihm ein Skalarprodukt 〈φ| ψ〉 für alle
φ, ψ ∈Hdefiniert sein, welches für die Wahrscheinlichkeitsaussagen der QM wichtig ist.
Meist benutzt man in der Physik als Körper von H die komplexen Zahlen C. In diesem
Fall muss für beliebige x, y, z ∈Hund beliebige c ∈ C das Skalarprodukt 〈·|·〉 : H×
H→C folgende Eigenschaften haben:
positiv definit : 〈x| x〉 ≥0 und 〈x| x〉 =0gdw. x =0
linear im zweiten Glied :
•〈x| y + z〉 = 〈x| y〉 + 〈x| z〉
•〈x| c · y〉 = c ·〈x| y〉
hermitisch : 〈x| y〉 = 〈y| x〉
Mit ihm wird die Norm �ψ� = � 〈ψ| ψ〉 eines Vektors ψ ∈Hdefiniert. Den Vektor ψ
bezeichnet man als normiert, wenn �ψ� =1ist.
Durch ein Skalarprodukt auf H wird auch der Dualraum H ∗ der linearen Abbildungen
F : H→C leicht zugänglich. Nach dem Darstellungssatz von Riesz existiert für jede
dieser Abbildungen F genau ein Vektor φF ∈H, sodass für beliebige ψ ∈Hgilt
F (ψ) =〈φF | ψ〉
Das Funktional F bezeichnet man allgemein mit 〈φF | und jeden Zustandsvektor ψ ∈H
mit |ψ〉, sodass sich das Skalarprodukt als Multiplikation eines Funktionals mit einem
Zustandsvektor darstellen lässt. Man nennt 〈φF | den zu |φF 〉 dualen Zustandsvektor. Das
Skalarprodukt 〈·|·〉 findet in der QM eine so häufige Anwendung, dass sich die Notation
der so genannten Bra- und Ket-Vektoren (〈ψ| und |ψ〉) für Zustandvektoren und duale
Zustandsvektoren durchgesetzt hat. Leider wirkt sie zu Beginn oft abschreckend, macht
die Rechnungen aber sehr bequem.
Eine wichtige Rolle kommt in der Quantentheorie den lineare Operatoren  : H→H
zu. Auch hier erweist sich die Bra-Ket-Schreibweise als nützlich. Sei |ψ〉 ein normierter
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