Quantenalgorithmen zum Auffinden versteckter Untergruppen

Definition 4.7. Das direkte Produkt zweier Guppen (G, ·) und (H, •) mit den neutralen
Elementen 1G und 1H ist die Menge der Tupel G × H zusammen mit einer Operation ◦,
die komponentenweise definiert ist über
(g, h) ◦ (g ′ ,h ′ )=(g · g ′ ,h• h ′ ) für g, g ′ ∈ Gh,h ′ ∈ H
Dabei ist (G × H, ◦) wieder eine Gruppe mit dem neutralen Element e =(1G, 1H), die
kurz mit G × H bezeichnet wird. Sind G und H abelsch, so ist es auch G × H.
Definition 4.8. Für eine Gruppe G und ein S ⊆ G ist 〈S〉 die Menge aller endlichen
Produkte von Elementen von S und ihren Inversen.
4.2 Darstellung von Gruppen
Wie schon erwähnt, ist die Fouriertransformation (FT) der Schlüssel zur Lösung des HSP
auf Quantencomputern. Die FT ist hauptsächlich als Möglichkeit bekannt, eine Funktion
im Frequenzraum darzustellen. Auf einer Gruppe G definiert, ist die FT eine Transformation
die eine Funktion f : G → C in eine Funktion auf dem Raum der Darstellungen
von G abbildet. Darstellungen bilden dabei G auf die Gruppe GLC(V ) der linearen invertierbaren
Abbildungen eines Vektorraums V über dem Körper C auf sich selbst ab. Eine
Darstellung ist wie folgt definiert:
Definition 4.9 (Darstellung). Sei G eine Gruppe. Als Darstellung von G bezeichnet man
einen Homomorphismus ρ : G → GLC(V ), d.h. es muss gelten
ρ(gh) =ρ(g) ◦ ρ(h) für alle g, h ∈ G (1)
Da im Folgenden endliche Gruppen betrachtet werden, benötigt man nur einen Vektorraum
endlicher Dimension d. Für eine gegebene Basis (ei) des Vektorraums ist ρ(G) also
eine Menge von invertierbaren d × d-Matrizen die via Matrixmultiplikation auf Elemente
v des Vektorraums V wirken. Für ρ(g)(v) wird im Folgenden manchmal auch kürzer
ρgv geschrieben. Die Dimension des zu ρ gehörenden Darstellungsraumes V sei mit dρ
bezeichnet.
Beispiele für Darstellungen
Triviale Darstellung. Die triviale Darstellung einer Gruppe G ordnet jedem Gruppenelement
die 1 zu. Sie wird mit 1G bezeichnet. Man überzeugt sich leicht, dass dies
der Definition 4.9 genügt. Wenn dies hier auch noch nicht besonders sinnreich erscheint,
wird diese Darstellung im Folgenden noch eine wichtige Rolle spielen.
Permutationsdarstellung. Sei G eine Permutationsgruppe einer endlichen Menge
X = {x1,...,xn}. Als Vektorraum betrachte man V = C n mit einer Basis
(ex1,...,exn). Sei π ∈ G eine Permutation, dann ordnet ihr die Permutationsdar-
stellung perm(π), eine Permutationsmatrix P über V zu mit
Pij =
�
1 wenn π(xi) =xj
0 sonst
In jeder Zeile und Spalte der Permutationsmatrix steht genau eine 1.
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