Quantenalgorithmen zum Auffinden versteckter Untergruppen

(∀h ∈ Hρ(h) = dρ) ⇐⇒ (χρ| χτ )= 1
�H�
�
χρ(h) �= 0
h∈H
Damit kann abgeleitet werden, dass
�
� dρ �H�
χρ(h) =
0
wenn ρ(h) =
sonst
dρ für alle h ∈ H
h∈H
Und es folgt aus Gleichung 12 direkt die Behauptung. �
Für eine Darstellung ρ ∈ ˆ G sei deren Kern definiert als ker(ρ) ={g ∈ G | ρ(g) = dρ}.
Misst man nun Darstellungen {ρ1,...,ρk}, dann gilt wegen Lemma 6.12 für die versteckte
Untergruppe H ⊆ �r i=1 ker(ρi). Dass eine polynomielle Anzahl von Messungen ausreicht,
um die gesammte versteckte Untergruppe zu bestimmen, konnten Hallgren Russell
und Ta-Shma in [HRT] beweisen. Sie zeigen folgenden Satz:
Satz 6.13. Seien {ρ1,...,ρk} unabhängig nach dem Quantenalgorithmus gemessene
Darstellungen mit k = c log 2 �G�, dann gilt
�
Prob H �=
r�
�
ker(ρi)
i=1
(c−2)2
− log
≤ e 2c 2�G� Nach diesem Resultat sollte man jedoch nicht vergessen, dass im Allgemeinen auch für
eine versteckte normale Untergruppe zwei Hürden im Weg stehen:
• Die Fouriertransformation der Gruppe muss in Polynomialzeit auf Quantencomputern
berechenbar sein
• Zur Bestimmung der versteckten Untergruppe musste in Algorithmus 6.6 für k
gemessene Darstellungen ρ1,...,ρk zufällige Lösungen des Gleichungssystems
ρi(g) =1für 1 ≤ i ≤ k bestimmt werden. Für die irreduziblen Darstellungen
im abelschen Fall war dies effizient möglich. Es ist jedoch kein allgemeiner effizienter
Algorithmus für die Berechnung der Schnittmenge der Kerne der gemessenen
Darstellungen im nichtabelschen Fall bekannt.
6.4.2 Einige effizient lösbare Fälle des nichtabelschen HSP
Trotz der auftretenden Probleme konnten für einige nichtabelsche Fälle des HSP effiziente
Quantenalgorithmen gefunden werden. Da jedoch das Verständnis der Ergebnisse
einen tieferen Einstieg in die Gruppentheorie benötigt, werden hier nur einige Ergebnisse
exemplarisch genannt.
Definition 6.14. Für jedes ganzzahlige n und q und jeden Gruppenhomomorphismus
φ : Zq → Aut(Zn) von der Gruppe Zq in die Gruppe der Automorphismen auf Zn ist
das semidirekte Produkt Zn ⋊φ Zq die Menge {(a, b) | a ∈ Zn, b∈ Zq} mit der Gruppenoperation
(a1,b1)(a2,b2) =(a1 + φ(b1)(a2),b1 + b2).
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