Quantenalgorithmen zum Auffinden versteckter Untergruppen

• Durch die Fouriertransformation ist die Zufälligkeit der Nebenklasse in der Überlagerung
|cH〉 = 1 �
√
�H� h∈H |ch〉 eliminiert. Im Folgenden kann man also W (ρ)
anstatt Wc(ρ) schreiben.
• Der Messwert x von f ist belanglos, da die Wahrscheinlichkeit für die Messung von
ρ völlig unabhängig von ihm ist. Er liefert also keine zusätzliche Information.
Es soll nun versucht werden, das Ergebnis weiter zu vereinfachen. ρ ist eine irreduzible
Darstellung für G, das heißt, es gibt keinen Untervektorraum der invariant ist unter der
Wirkung von G. Dies muss jedoch nicht für die Untergruppe H ≤ G gelten. ρ ist also
i.A. keine irreduzible Darstellung für H. Beschränkt man ρ auf H, so kann ρ in einer
geeigneten Basis wieder als direkte Summe irreduzibler, nichtäquivalenter Darstellungen
{τ1,...,τk} geschrieben werden:
ρ =(χτ1| χρ) H τ1 ⊕···⊕(χτk | χρ) H τk
Dabei wurde das Skalarprodukt auf H beschränkt:
(χτ| χρ) H = 1 �
χτ(h)χρ(h)
�H�
Es sei daran erinnert, dass in diesem Zusammenhang ein Vorfanktor dem mehrfachen
Bilden einer direkten Summe entsprach, also:
h∈H
(χτ | χρ) H τ = τ ⊕···⊕τ
� �� �
( χτ i|χρ) H mal
Man kann also schreiben:
�
�
ρ(h) =(χτ1| χρ) H τ1(h) ⊕···⊕(χτk | χρ)
�
H τk(h)
h∈H
h∈H
Für eine irreduzible Darstellung τ gilt nach Korollar 4.20:
�
� �H� falls τ =1H
τ(h) =
0 sonst
h∈H
Die Matrix hat also nur (χ1H | χρ) H Einträge auf der Diagonalen, die zur trivialen Darstellung
gehören. Alle anderen Komponenten sind Null.
Somit ist � � �
h∈H ρ(h)�� 2 =(χ1H | χρ) H �H� 2 und W (ρ) vereinfacht sich zu
W (ρ) = dρ �H�
�G� (χ1H | χρ) H = dρ
�
χρ(h) (12)
�G�
h∈H
Da die Spur unabhängig von der Basiswahl ist, gilt diese Gleichung basisunabhängig.
Was sagt Gleichung 12 aus? Wenn man bei Messung eine Darstellung ρ ausgegeben wurde,
weiß man, dass zumindest (χ1H | χρ) H > 0 ist. Dies liefert natürlich nur implizit
Informationen über die versteckte Untergruppe. Es werden später einige Beispiele behandelt,
bei denen diese implizite Information ausreicht, um mit polynomiellen Aufwand
Generatoren der versteckten Untergruppe anzugeben.
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h∈H