PRODUKTIONSFAKTOR MATHEMATIK - ZIB

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LARS GRÜNE ET AL.
Natürlich führt die Rückführungsstruktur nicht automatisch zur Stabilität des geschlossenen
Wirkungskreises: Entscheidend ist, nach welcher Vorschrift die Stellgröße
aus dem Regelfehler berechnet wird. Wie in Abschnitt 2 bereits beispielhaft erläutert,
kann das dynamische Verhalten eines geregelten oder gesteuerten mit den mathematischen
Methoden der System- und Regelungstheorie untersucht werden. Die wichtigsten
Analyseverfahren untersuchen dabei die Stabilität und die sogenannte Robustheit der
Stabilität des geregelten oder gesteuerten Systems. Bei der Untersuchung der Robustheit
der Stabilität wird die Frage beantwortet, ob die Stabilität erhalten bleibt, wenn sich
das wirkliche dynamische System von den im Modell gemachten Annahmen unterscheidet.
Diese Eigenschaft ist für den Einsatz der Methoden in der praktischen Anwendung
von zentraler Bedeutung.
Von ganz entscheidender Relevanz ist die Mathematik beim Entwurf der Steuerungen
und vor allem der Regelungen, d. h. bei der Herleitung der Vorschrift, mit der die
Stellgröße aus der Sollgröße oder dem Regelfehler berechnet wird. Moderne Regler werden
heute modellbasiert entworfen. Das heißt, es wird angenommen, dass ein mathematisches
Modell des zu regelnden Systems, zumeist in Form von Differentialgleichungen,
vorliegt. Weiterhin werden die Ziele der Regelung ebenfalls mathematisch formuliert.
Das ist zum Einen die bereits mehrfach genannte Stabilität, aber auch die sogenannte
Regelgüte, die zumeist in Form von Optimierungskriterien formuliert wird. Unterschiedliche
Klassen von Reglerentwurfsverfahren unterscheiden sich, erstens, durch unterschiedliche
Annahmen an die dem Entwurf zugrundeliegenden Modelle der Regelstrecken und,
zweitens, durch unterschiedliche Zielvorgaben. In Bezug auf die Modellannahmen ist die
wichtigste Unterscheidung diejenige in lineare bzw. nichtlineare Systeme. Lineare Systeme
zeichnen sich – etwas vereinfacht gesagt – dadurch aus, dass der Zusammenhang
zwischen Stellgröße u und Regelgröße y proportional ist, dass also zum Beispiel doppelt
so große Stellgrößen genau doppelt so große Regelgrößen nach sich ziehen (mathematisch
sagt man, sie erfüllen das Superpositionsprinzip). Sie werden durch lineare Diffe-
Abb. 3: Wirkprinzip einer Regelung mit Rückführung und Soll-/Istwert-Vergleich
Sollgröße w Regelfehler e Stellgröße u
Regelgröße y
−
Regelung dynamisches System