PRODUKTIONSFAKTOR MATHEMATIK - ZIB

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LARS GRÜNE ET AL.
Eine weitere wichtige Frage ist der zeitliche Verlauf der berechneten optimalen
Steuerfunktionen. Beim Maximumprinzip ist die optimale Steuerung eine fast beliebige
Funktion, strukturelle Einschränkungen an ihren Verlauf können dort nicht gemacht
werden. Von einem praktischen Gesichtspunkt aus betrachtet macht dies nicht unbedingt
Sinn. Man stelle sich beispielsweise einen Temperaturregler vor, dessen Steuergröße
sich aus technischen Gründen nicht kontinuierlich, sondern nur in regelmäßigen
Abständen ändern lässt. Solch ein Regler kann dann nicht jede beliebige Steuerfunktion
exakt nachfahren, sondern diese nur approximieren. Eine solche Approximation ist auch
das Grundprinzip der direkten Methoden.
Bei diesen Methoden werden die Steuerfunktionen durch Funktionen, die durch
endlich viele Steuergrößen bestimmt sind, approximiert. Im einfachsten Fall sind dies
stückweise konstante Funktionen, die also auf einem gegebenen Zeitintervall [ti,ti+1]
den konstanten Wert qi annehmen. In Abb. 9 wird dies veranschaulicht.
Diese Transformation auf ein mathematisches Optimierungsproblem, das nun nur
noch von endlich vielen Freiheitsgraden abhängt (nämlich genau diesen qi’s), erlaubt
Abb. 9: Links oben: Steuerung mit indirekter Methode berechnet. Die anderen Diagramme zeigen Approximationen
mit der direkten Methode auf unterschiedlichen Diskretisierungsgittern.