Empirical Evaluation of Hybrid Defaultable Bond Pricing ... - risklab

solution:
B(t, T ) = e −âr(T −t) Z T −t
= 1 ³
1 − e −â r(T −t)´
,
â r
C d (t, T ) = 1 ³
−âs(T
1 − e
−t)´
,
â s
Z T −t
D d (t, T ) = e −âu(T −t) eâul b su C d (0,l)dl
= e −âu(T −t) Z T −t
0
0
0
eârl dl = e −âr(T −t) 1 ³eâr(T ´
−t) − 1
â r
1
³
−âs(l)´
eâul b su 1 − e dl
â s
´
= e −âu(T −t) b su
1
â s
µ 1
â u
³
eâu(T −t) − 1
= b su
1
â s
µ 1 − e
−â u(T −t)
â u
−
+ e−âu(T −t)
−âs(T −t)
− e
,
â u − â s
Z T −t
E d (t, T ) = e −âw(T −t) ¡ eâwl b r B(0,l) − b sw C d (0,l) ¢ dl
A d (t, T ) =
= −b sw
1
â s
µ 1 − e
−â w(T −t)
â w
µ
1 1 − e
−â w(T −t)
+b r
â r
Z T
0
â w
+ e−âw(T −t)
−âs(T −t)
− e
â w − â s
+ e−âw(T −t)
−âr(T −t)
− e
,
â w − â r
1
³
´
e (âu−âs)(T −t) − 1
â u − â s
1 ¡ σ
2
t 2 s C d (l, T) 2 + σ 2 uD d (l, T) 2 + σ 2 wE d (l, T) 2 + σ 2 rB(l, T) 2¢
−θ r (l)B(l, T) − θ s C d (l, T) − θ w E d (l, T) − θ u D d (l, T)dl.
C Proof of Theorem 6
By the theorem of Feynman Kac P d is the solution to the following partial
differential equation:
0 = 1 ¡ σ
2
2 u Puu d +2σ u ρ r,u σ r Pru d + σ 2 wPww d + σ 2 rPrr d +2σ r ρ r,w σ w Prw
d ¢ +(w − âr r) Pr
d
+ (θ w − â w w) Pw d +(θ u − â u u) Pu d − (Λ 0 + Λ r r + Λ u u)P d + Pt d .
If we assume that the structure of P d is of the type as in Equation (26), then
for P d > 0 we get:
0 = 1 ¡
σ
2
2 u D d2 +2σ u ρ r,u σ r D d B d + σ 2 wE d2 + σ 2 rB d2 +2σ r ρ r,w σ w E d B d¢
+r ¡ â r B d − Λ r − Bt d ¢ + w
¡âw E d − B d − Et d ¢ + u
¡âu D d − Λ u − Dt
d ¢
+A d t − θ u D d − θ w E d − Λ 0 .
34