Introduction to Krylov subspace methods - IMAGe

king p = d :ing g p p = = d d : :From graphic...causeuseα dOrthogonalx 1 = x 0 + αbasis...0 d 0x 1 x= 1 = x 0 x+ e 0 1 + α⊥ 0 α d 0 d 0 0e〈d 1 e i ⊥ 1 , ⊥e d i+1 0 d 0〉 = 0 ?〈d 〈d i ,〈d i e, i i+1 ,ee i+1 i 〉 + = 〉 =α0 i ? d0 i ?〉 = 0〈d 〈d i , e i , i e+ i + α i αd i 〉 d i = 〉 = 0 0⇒ α i = − 〈di , e i 〉⇒ α i = − 〈di , e i 〉⇒ α i = − 〈di , e〈d i 〉i , d i (need x !)〉〈d i , d i (need x !)〈d i , d i 〉 〉(need x !)∴ α i = − 〈di , e i 〉 A∴ α i = − 〈di , e i 〉 A〈d i , d i = − 〈di , Ae i 〉〉 A 〈d i , Ad i 〉 = 〈di , r i 〉∴ α i = − 〈di , 〈d e i 〉 i A , d〈d i , d i = i = − 〈di , Ae i 〉〉− 〈di , Ae 〉〉 〈Ad i , d i A 〈d i , Ad i 〉 = 〈di , r i A 〈d i , Ad i 〉 = 〈di , r i 〉〈Ad 〉 i , d i 〉〈Ad i , d i 〉 〉Replace with inner product based on matrix:Not error dependent〈x, y〉 A = x T Ay = 〈x, Ay〉 = (Ax) T y = 〈Ax, y〉 for SPD A〈x, 〈x, y〉 y〉 A = x T Ay = 〈x, Ay〉 = (Ax) T A = x T Ay = 〈x, Ay〉 = (Ax) T y y = 〈Ax, 〈Ax, y〉 y〉 for for SPD SPDAAAe i = A(x i − x) = Ax i − Ax = Ax i − b = −r iAe Ae i = i = A(x A(x i − i −x) x) = = Ax Ax i − i −Ax Ax = = Ax Ax i − i −b = b = −r −r i i(Details)18