Introduction to Krylov subspace methods - IMAGe

iFrom:Suppose u i = r i (cheap!)p i = d iConjugatep i d i (A-conj.gradientGS)β ij = −〈ri , p j 〉 A〈p j , p j = −〈ri , Ap j 〉〉 A 〈p j , Ap j 〉 .β ij = −〈ri , p j 〉 A〈p j , p j = −〈ri , Ap j 〉〉 A 〈p j , Ap j 〉 .From x i+1 = x i + α i p i : r i+1 = r i − α i Ap iFrom x i+1 = x i + α i p i : r i+1 = r i − α i Ap i〈r j+1 , r i 〉 = 〈r j , r i 〉 − α j 〈Ap j , r i 〉〈r j+1 , r i = 〈r j , r i 〉 − α j 〈Ap j r i 〉α j 〈Ap j , r i 〉 = 〈r j , r i 〉 − 〈r j+1 , r i 〉α j 〈Ap j , r i 〉 = 〈r j , r i 〉 − 〈r j+1 , r i 〉α j βα j ij 〈Ap jβ ij 〈Ap j , p j, j 〉 = 〈r j+1 〈r j+1 , r i, r i 〉 − 〈r j〉 − 〈r j ,, r i r i 〉〉∴∴ β ij ij= 〈ri , r j+1 〈ri j+1 〉〉j 〈Ap j j 〉 〈rj , r i 〉α j 〈Ap j , p j 〉 − 〈rj , r i 〉αα j 〈Ap j 〈Ap j , j p, j p〉j 〉We We know knowthat thathe thep i p i are linearly independent.From From x i = x i x= i−1 x i−1 + + α i−1 α i−1 p i−1 p ,,Since p lin indep write error asLet e 0 = ∑ m−1j=0 δ jp j ,Let e 0 = ∑ m−1j=0 δ jp j ,e i = e i−1 + α i−1 i−1 pp i−1 i−1i−1∑i−1j p j .e i = e 0 + α j p j .e i =(A-conj. GS)m−1m−1From x i+1 = x i + α i p i : r i+1 = r i −j=0j=0〈r j+1 , r i 〉α j 〈Ap j , r i 〉α j β ij 〈Ap j , p j 〉∴ β ij = 〈riα j 〈AWe know that the p i are linearlyFrom x i = x i−1 + α i−1 p i−1 ,Let e 0 = ∑ m−1j=0 δ jp j ,e i =e i =∑i−1∑ δj p j +∑ ∑i−1α j p j . i(5.5) m−∑23