BULETINUL INSTITUTULUI POLITEHNIC DIN IAŞI

4 Niooleta Negoescu
min{ μ( Tu , Tu), μ( u , T u ), μ( uTu , )} + βmin{ μ( u , T u), μ( uTu , ) < α μ( u , u)}
n n n n n n n n n n n
ou
α
min{ μ( un, Tnu), μ( uu ,
n)} < μ( un, u)
β
et il suit
α
μ( Tu
n n, Tu
n
) < μ( un, u) ≤ μ( TuTu
n
, ) + μ( Tu
n n,
Tu)
n
,
β
ou
α
μ( Tu
n n, Tu) < μ( TuTu
n
,
n) + μ( Tu
n n,
Tu),
β
c’est-à-dire
ou
⎛ α ⎞
⎜1 − ⎟μ( Tu
n n, Tu) < μ( TuTu)
n
, ,
⎝ β ⎠
⎛ α ⎞
⎜1 − ⎟μ( un, u) < μ( TuTu).
n
,
⎝ β ⎠
Mais μ( Tu , Tu) → 0 pour n→∞
T →T
par l’hypothèse) et il suit que
n
n
( n
μ ( un,
u) → 0 pour ∀n
∈ , donc un
→ u.
Il faut montrer encore que l’opérteurs T a un point fixe uniqe pour β > α;
ce que signifié qu’il est suffisant de démontrer que T satisfait à l’inégalité (1).
Pour tous les x, y∈X, x≠ y,
nous avons
min{ μ{ Tx, Ty), μ( xTx , ), μ( yTy , )} + βmin{ μ( xTy , ), μ( yTx , )} < αμ( xy , ).
Alons T a un point fixe unique pour β > α (conformément au théorème 1).
Si la suite d’opérateurs (T n ) ne satisfait pas à l’inégalité (1) mais
l’opérateur T satisfait à l’inégalité (1) pour β > α nous pouvons démontrer le
suivant:
T h é o r è m e 2. Soient X un espace de Tychonoff pseudocompact,
μ : X × X →
+
une pseudométrique, Tn
: X→X,
n∈ , une suite d’opérateurs
continues sur X qui ont les points fixes {u n } et la suite (T n ) est convergente
uniormément à une function continue T : X → X.
Si T satisfait à l’inégalité (1)
pour β > α, l’opérateur T a un point fixe unique u et u → u.
n