WELT Wissen_2015_8

MATHEMATISCHE UNTERHALTUNGEN
Das Sandhäufchen aus dem Bild
S. 67, in immer stärkerer Vergrößerung
betrachtet. Man sieht
nicht nur Linien durch einzelne
Dreiecke verlaufen, die unter weiter
rieselndem Sand wieder
verschwinden, sondern erkennt
auch, dass scheinbar einheitlich
gefärbte Dreiecke in Wirklichkeit
aus einem Karomuster unterschiedlich
gefärbter Gitterpunkte
bestehen.
WESLEY PEGDEN, CARNEGIE MELLON UNIVERSITY
Was steckt dahinter, wenn man ausdrücklich
Chaos bestellt und eine geordnete
Struktur geliefert bekommt?
Das Bildungsgesetz für das Sandhäufchen
ist so einfach, dass es doch nicht
so schwer sein könnte, der Struktur auf
die Schliche zu kommen – dachte man
zunächst. Aber mehrere Forscher, darunter
vor allem Lionel Levine und
Charles Smart von der Cornell University,
Wesley Pegden von der Carnegie
Mellon University und Anne Fey von
der Technischen Universität Delft (Niederlande),
mussten viel Mühe und raffinierte
mathematische Werkzeuge einsetzen,
um zumindest zu einer Teillösung
zu gelangen.
Niemand würde sich darüber wundern,
dass ein echtes Sandhäufchen, entstanden
durch Berieselung an einem
einzigen Punkt, eine kreisförmige Fläche
bedeckt; es ist ja keine Raumrichtung
bevorzugt. Das theoretische Sandhäufchen
dagegen hat zwei ausgeprägte
Vorzugsrichtungen, nämlich die, an denen
die Schreibtische im Wahnsinnsamt
ausgerichtet sind. Man sollte daher erwarten,
dass sich der Wahnsinn entlang
einer geraden Schreibtischreihe schneller
ausbreitet als in der Diagonalen,
die er im Zickzack durchlaufen müsste.
Gleichwohl nähert sich auch das theoretische
Sandhäufchen zunehmend der
Kreisform an. Wie kann das sein?
Eine Verallgemeinerung bringt uns
der Lösung dieses Rätsels näher. Man
braucht die Sachbearbeiter nicht unbedingt
an die Knotenpunkte eines Gitters
mit quadratischen Maschen zu setzen;
andere regelmäßige Anordnungen
liefern Bilder, die in den Einzelheiten
geringfügig anders aussehen, aber einen
bemerkenswert ähnlichen Gesamteindruck
liefern (Bilder S. 68/69).
Die numerischen Mathematiker sind
mit einer ganz ähnlichen Situation konfrontiert:
Eigentlich ist ihr Forschungsobjekt
ein Kontinuum, zum Beispiel
eine Funktion, die an jedem Punkt der
Ebene einen Wert hat. Sie berechnen die
Funktion jedoch nur – näherungsweise
– für gewisse Stellvertreterwerte,
etwa an den Knotenpunkten eines Gitters
mit quadratischen Maschen. Damit
führen sie unweigerlich gewisse Vorzugsrichtungen
in ihr genähertes System
ein, die das ursprüngliche nicht
hatte. Bemerkenswerterweise richtet
das meistens keinen Schaden an. Für
ein Problem, das eine kreisförmige Lösung
hat, findet auch eine numerische
Berechnung, die an einem solchen Gitter
hängt, eine annähernd kreisförmige
Näherungslösung – wenn das Gitter
feinmaschig genug ist.
Sandhäufchen-Grenzwert
Levine, Pegden und ihre Fachkollegen
standen nun vor dem umgekehrten Problem.
Ihr Sandhäufchen lebt ja eigentlich
auf einer Gitterstruktur; aber nun
wollten sie es so uminterpretieren, als
ob es auf einem Kontinuum existiere.
Dieser Schritt drängte sich sogar geradezu
auf. Denn sie hatten beobachtet,
dass die Gestalt ihres Sandhäufchens
sich mit zunehmender Körnerzahl immer
mehr einer gewissen »endgültigen
Form« nähert. Das Bild auf S. 67 gibt
davon schon einen guten Eindruck.
Nur darf man sich nicht vorstellen,
dass das Sandhäufchen mit der Zeit
eine stabile Struktur annimmt. Vielmehr
wächst es immer weiter, solange
neuer Sand herniederrieselt, und während
dieses Anwachsens werden auch
alle Strukturen im Inneren größer und
wandern entsprechend nach außen.
Die von Sand bedeckte, annähernd
kreisförmige Fläche wächst proportional
zur Anzahl n der Sandkörner und
ihr Radius sowie alle Längen innerhalb
der Struktur proportional zur Wurzel
aus n.
Mit anderen Worten: Will man ein
sich allmählich stabilisierendes Bild sehen,
so muss man an der Kamera, die
das ganze Geriesel betrachtet, während
des Prozesses die Bildgröße mit einem
Faktor proportional zu √n verkleinern
(»herauszoomen«). Dabei schnurrt aus
Sicht der Kamera das Gitter immer weiter
zusammen. Nicht die Anzahl der
Körner auf einem bestimmten Gitterpunkt
strebt einem gewissen Grenzwert
zu, sondern die Anzahl der Körner
an jedem Bildpunkt der Kamera.
In einer gewissen Umgebung jedes
Bildpunkts der Kamera, um genau zu
sein. Denn da die Körnerzahl nur in Gitterpunkten
überhaupt existiert, muss
man über die Gitterpunkte in der Umgebung
jedes Bildpunkts mitteln, um
überhaupt einen Wert zu erhalten –
aber nicht zu sehr, sonst wird das Bild
unscharf. Diese heikle Balance will in
mathematischen Termen ausgedrückt
werden, was einen erheblichen theoretischen
Apparat erfordert. Zu allem
Überfluss ist die Mittelung schon deshalb
erforderlich, weil gewisse einheitlich
aussehende Unterstrukturen sich
bei genauem Hinsehen als aus ver­
70 SPEKTRUM DER WISSENSCHAFT · AUGUST 2015