Phát triển năng lực tư duy cho học sinh THPT qua dạy học phương trình lượng giác (2019)
26.09.2019 • Views
Share Embed Flag

Phát triển năng lực tư duy cho học sinh THPT qua dạy học phương trình lượng giác (2019)

https://app.box.com/s/l5ahtfbpq6c16e9r284dza3pq8rcldtq

https://app.box.com/s/l5ahtfbpq6c16e9r284dza3pq8rcldtq

SHOW MORE
SHOW LESS
ePAPER READ
DOWNLOAD ePAPER
daykemquynhon

Create successful ePaper yourself

Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.

START NOW

L U Ậ N V Ă N S I Ê U C Ấ P<br />

C H A N N E L<br />

vectorstock.com/9066164<br />

Ths Nguyễn Thanh Tú<br />

eBook Collection<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN TEST PREP<br />

PHÁT TRIỂN NỘI DUNG<br />

<strong>Phát</strong> <strong>triển</strong> <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> <strong>tư</strong> <strong>duy</strong> <strong>cho</strong> <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> <strong>THPT</strong><br />

<strong>qua</strong> <strong>dạy</strong> <strong>học</strong> <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong> (<strong>2019</strong>)<br />

PDF VERSION | <strong>2019</strong> EDITION<br />

ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL<br />

TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM<br />

Tài liệu chuẩn tham khảo<br />

<strong>Phát</strong> <strong>triển</strong> kênh bởi<br />

Ths Nguyễn Thanh Tú<br />

Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ <strong>học</strong> thuật :<br />

Nguyen Thanh Tu Group<br />

Hỗ trợ trực tuyến<br />

Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon<br />

Mobi/Zalo 0905779594

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2<br />

KHOA TOÁN<br />

======<br />

NGUYỄN THỊ THU PHƢƠNG<br />

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƢ DUY<br />

CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUA<br />

DẠY HỌCPHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC<br />

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC<br />

Chuyên ngành: Phƣơng pháp <strong>dạy</strong> <strong>học</strong> Toán<br />

HÀ NỘI - <strong>2019</strong>

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2<br />

KHOA TOÁN<br />

======<br />

NGUYỄN THỊ THU PHƢƠNG<br />

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƢ DUY<br />

CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUA<br />

DẠY HỌCPHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC<br />

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC<br />

Chuyên ngành: Phƣơng pháp <strong>dạy</strong> <strong>học</strong> Toán<br />

Ngƣời hƣớng dẫn khoa <strong>học</strong><br />

ThS. PHẠM THẾ QUÂN<br />

HÀ NỘI - <strong>2019</strong>

LỜI CẢM ƠN<br />

Sau một thời gian nghiên cứu và thực hiện em đã hoàn thành đề tài<br />

nghiên cứu của mình. Để có được kết quả này, em xin chân thành cảm ơn Ban<br />

giám hiệu trường Đại <strong>học</strong> sư phạm Hà Nội 2 đã tạo mọi điều kiện để em được<br />

<strong>học</strong> tập nghiên cứu trong thời gian vừa <strong>qua</strong>. Em cảm ơn các thầy cô giáo<br />

trong nhà trường đã truyền thụ vốn kiến thức để em có thể hoàn thành tốt đề<br />

tài của mình.<br />

Đặc biệt, em xin cảm ơn ThS. Phạm Thế Quân - người đã tận tình chỉ<br />

bảo và hướng dẫn em trong suốt quá <strong>trình</strong> thực hiện đề tài này.<br />

Cuối cùng em xin cảm ơn những ý kiến đóng góp cũng như sự giúp đỡ<br />

nhiệt tình của quý thầy cô và các em <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> lớp 11A2 trường <strong>THPT</strong> Đông<br />

Anh trong khoảng thời gian em tổ chức thực nghiệm tại trường.<br />

Mặc dù đã cố gắng, song khóa luận không thể tránh khỏi thiếu sót, <strong>qua</strong><br />

đó em rất mong nhận được sự <strong>lượng</strong> thứ cũng như những ý kiến đóng góp của<br />

thầy cô và các bạn.<br />

Em xin chân thành cảm ơn!<br />

Hà Nội, tháng 5, năm <strong>2019</strong><br />

Sinh viên<br />

Nguyễn Thị Thu Phƣơng

LỜI CAM ĐOAN<br />

Em xin cam đoan đây là kết quả nghiên cứu của cá nhân em và được sự<br />

hướng dẫn của ThS. Phạm Thế Quân. Các nội dung, kết quả trong đề tài này<br />

là trung thực, chưa từng được công bố ở đâu và không trùng với công <strong>trình</strong><br />

nghiên cứu của tác giả khác.<br />

Ngoài ra, trong khóa luận còn sử dụng một số nhận xét, đánh giá của<br />

các tác giả khác đều có trích dẫn và chú thích nguồn gốc.<br />

Hà Nội, tháng 5, năm <strong>2019</strong><br />

Sinh viên<br />

Nguyễn Thị Thu Phƣơng

DANH MỤC CỤM TỪ VIẾT TẮT<br />

STT Viết tắt Viết đầy đủ<br />

1 CNH – HĐH Công nghiệp hóa – Hiện đại hóa<br />

2 KTM Không thỏa mãn<br />

3 GD – ĐT Giáo dục – Đào tạo<br />

4 PPDH Phương pháp <strong>dạy</strong> <strong>học</strong><br />

5 TM Thỏa mãn<br />

6 <strong>THPT</strong> Trung <strong>học</strong> phổ thông<br />

7 SGK Sách giáo khoa

MỤC LỤC<br />

MỞ ĐẦU ................................................................................................... 1<br />

CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN ............................................................... 3<br />

1.1. Mục tiêu chung của <strong>dạy</strong> <strong>học</strong> môn toán................................................ 3<br />

1.2. Năng <strong>lực</strong> <strong>tư</strong> <strong>duy</strong> Toán <strong>học</strong> ................................................................. 4<br />

1.2.1. Năng <strong>lực</strong> ..................................................................................... 4<br />

1.2.2. Tư <strong>duy</strong> ........................................................................................ 6<br />

1.2.3. Năng <strong>lực</strong> <strong>tư</strong> <strong>duy</strong> toán <strong>học</strong> ............................................................. 9<br />

1.3. Nội dung và mục tiêu <strong>dạy</strong> <strong>học</strong> <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong> .....................13<br />

1.3.1. Nội dung cơ bản chủ đề <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong> lớp 11 ở trường<br />

<strong>THPT</strong>.........................................................................................13<br />

1.3.2. Mục tiêu <strong>dạy</strong> <strong>học</strong> <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong> ...................................15<br />

1.3.3. Những thuận lợi và khó khăn khi <strong>dạy</strong> <strong>học</strong> chủ đề <strong>phương</strong> <strong>trình</strong><br />

<strong>lượng</strong> <strong>giác</strong> lớp 11........................................................................16<br />

TIỂU KẾT CHƢƠNG 1 ......................................................................... 17<br />

CHƢƠNG 2. PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƢ DUY CHO HỌC SINH<br />

<strong>THPT</strong> TRONG DẠY HỌC PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC............. 18<br />

2.1. Định hướng phát <strong>triển</strong> <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> <strong>tư</strong> <strong>duy</strong> <strong>cho</strong> <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> <strong>THPT</strong> trong<br />

<strong>dạy</strong> <strong>học</strong> môn toán .............................................................................18<br />

2.2. Biện pháp phát <strong>triển</strong> <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> <strong>tư</strong> <strong>duy</strong> <strong>cho</strong> <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> <strong>THPT</strong> <strong>qua</strong> <strong>dạy</strong> <strong>học</strong><br />

<strong>phương</strong> <strong>trình</strong> <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong> lớp 11 .........................................................19<br />

2.2.1. Cơ sở để đề xuất các biện pháp thực hiện.....................................19<br />

2.2.2. Các biện pháp thực hiện ..............................................................19<br />

2.3. Xây dựng hệ thống bài tập ................................................................36<br />

2.3.1. Các dạng toán liên <strong>qua</strong>n ..............................................................36<br />

2.3.2. Các <strong>phương</strong> pháp giải cơ bản ......................................................55<br />

TIỂU KẾT CHƢƠNG 2 ......................................................................... 65

CHƢƠNG 3. THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM ............................................ 66<br />

3.1. Mục đích, yêu cầu thực nghiệm ........................................................66<br />

3.2. Nội dung thực nghiệm ......................................................................66<br />

3.3. Tổ chức thực nghiệm ........................................................................66<br />

3.4. Đánh giá kết quả thực nghiệm...........................................................67<br />

TIỂU KẾT CHƢƠNG 3 ......................................................................... 69<br />

KẾT LUẬN ............................................................................................. 70<br />

TÀI LIỆU THAM KHẢO....................................................................... 71<br />

PHỤ LỤC ............................................................................................... 73

MỞ ĐẦU<br />

1. Lý do chọn đề tài<br />

Hiện nay, đất nước ta đang trong quá <strong>trình</strong> đổi mới nền kinh tế theo<br />

hướng CNH- HĐH và đặc biệt là xu thế hội nhập Quốc tế đã và đang đặt ra<br />

nhiều thách thức đối với nền GD- ĐT nước ta. Nhận thức được tầm <strong>qua</strong>n<br />

trọng đó, những năm gần đây Đảng và Nhà nước đã xác định vấn đề nâng cao<br />

chất <strong>lượng</strong> giáo dục là một nhu cầu bức thiết của xã hội ngày nay. Đồng thời<br />

coi đó là yếu tố có tác động mạnh mẽ đến chất <strong>lượng</strong> nguồn nhân <strong>lực</strong> <strong>cho</strong> sự<br />

phát <strong>triển</strong> của đất nước.<br />

Tuy nhiên trong rất nhiều các giải pháp nhằm nâng cao chất <strong>lượng</strong> giáo<br />

dục thì đổi mới <strong>phương</strong> pháp <strong>dạy</strong> <strong>học</strong> được coi là giải pháp vô cùng <strong>qua</strong>n<br />

trọng đối với mọi cấp <strong>học</strong>. Hiện nay, đổi mới PPDH đang thực hiện bước<br />

chuyển từ chương <strong>trình</strong> giáo dục tiếp cận nội dung sang tiếp cận <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> và<br />

đặc biệt <strong>qua</strong>n tâm chú trọng tới phát <strong>triển</strong> <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> <strong>tư</strong> <strong>duy</strong> của người <strong>học</strong>.<br />

Trong chương <strong>trình</strong> toán <strong>THPT</strong> nói chung và với nội dung Đại số và<br />

Giải tích 11 nói riêng, việc đổi mới <strong>phương</strong> pháp <strong>dạy</strong> <strong>học</strong> theo định hướng<br />

phát <strong>triển</strong> <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> <strong>tư</strong> <strong>duy</strong> đã phần nào thúc đẩy hiệu quả <strong>học</strong> tập <strong>cho</strong> <strong>học</strong><br />

<strong>sinh</strong>. Tuy nhiên, <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> vẫn còn gặp một số khó khăn ở một số nội dung<br />

trong đó có việc giải các <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong>.<br />

Phương <strong>trình</strong> <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong> là phần kiến thức <strong>tư</strong>ơng đối khó nhưng rất<br />

<strong>qua</strong>n trọng đối với <strong>học</strong> <strong>sinh</strong>. Thực tế các dạng bài tập về <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> <strong>lượng</strong><br />

<strong>giác</strong> đa dạng và phong phú khiến <strong>cho</strong> <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> gặp nhiều trở ngại khi tìm lời<br />

giải <strong>cho</strong> bài toán. Tuy nhiên, nếu <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> phân loại được các dạng bài tập và<br />

<strong>phương</strong> pháp giải của chúng thì việc tìm ra lời giải <strong>cho</strong> bài toán trở lên đơn<br />

giản hơn. Từ đó kích thích sự hứng thú và phát <strong>triển</strong> <strong>tư</strong> <strong>duy</strong> của <strong>học</strong> <strong>sinh</strong>.<br />

Với tất cả những lý do trên em đã thực hiện đề tài khóa luận “<strong>Phát</strong> <strong>triển</strong><br />

<strong>năng</strong> <strong>lực</strong> <strong>tư</strong> <strong>duy</strong> <strong>cho</strong> <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> <strong>THPT</strong> <strong>qua</strong> <strong>dạy</strong> <strong>học</strong> <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong>”.<br />

2. Mục đích nghiên cứu<br />

1

Xây dựng hệ thống bài tập và đề xuất một số biện pháp <strong>dạy</strong> <strong>học</strong> nội<br />

dung <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong> lớp 11 nhằm phát <strong>triển</strong> <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> <strong>tư</strong> <strong>duy</strong> <strong>cho</strong> <strong>học</strong><br />

<strong>sinh</strong>.<br />

3. Nhiệm vụ nghiên cứu<br />

- Nghiên cứu cơ sở lý luận về <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> <strong>tư</strong> <strong>duy</strong> của <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> <strong>THPT</strong>.<br />

- Đề xuất hệ thống bài tập chủ đề <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong> lớp 11 góp<br />

phần phát <strong>triển</strong> <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> <strong>tư</strong> <strong>duy</strong> <strong>cho</strong> <strong>học</strong> <strong>sinh</strong>.<br />

4. Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu<br />

- Đối <strong>tư</strong>ợng nghiên cứu: Quá <strong>trình</strong> <strong>dạy</strong> <strong>học</strong> nội dung <strong>phương</strong> <strong>trình</strong><br />

<strong>lượng</strong> <strong>giác</strong> lớp 11 ở trường <strong>THPT</strong>.<br />

- Phạm vi nghiên cứu: Nội dung <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong> trong chương<br />

<strong>trình</strong> toán lớp 11.<br />

5. Phƣơng pháp nghiên cứu<br />

- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các tài liệu về phát <strong>triển</strong><br />

<strong>năng</strong> <strong>lực</strong> <strong>tư</strong> <strong>duy</strong> <strong>cho</strong> <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> <strong>THPT</strong>, sách giáo khoa môn toán nội dung<br />

<strong>phương</strong> <strong>trình</strong> <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong> lớp 11.<br />

- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Thử nghiệm giảng <strong>dạy</strong> đối chiếu<br />

với mục tiêu đề ra nhằm đánh giá hiệu quả của đề tài.<br />

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Phân tích, tổng hợp dựa trên kết<br />

quả thực nghiệm để đưa ra quy <strong>trình</strong> <strong>dạy</strong> <strong>học</strong> phù hợp.<br />

6. Cấu trúc của khóa luận<br />

Ngoài phần mở đầu, kết luận, phụ lục và danh mục tài liệu tham khảo<br />

khóa luận gồm 3 chương.<br />

Chương 1: Cơ sở lý luận về phát <strong>triển</strong> <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> <strong>tư</strong> <strong>duy</strong> <strong>cho</strong> <strong>học</strong> <strong>sinh</strong><br />

Chương 2: <strong>Phát</strong> <strong>triển</strong> <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> <strong>tư</strong> <strong>duy</strong> <strong>cho</strong> <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> <strong>THPT</strong> trong <strong>dạy</strong> <strong>học</strong><br />

<strong>phương</strong> <strong>trình</strong> <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong><br />

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm<br />

2

CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN<br />

1.1. Mục tiêu chung của <strong>dạy</strong> <strong>học</strong> môn toán<br />

Theo chương <strong>trình</strong> Giáo dục phổ thông hiện hành, chương <strong>trình</strong> môn<br />

toán giúp <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> đạt được những mục tiêu cơ bản sau:<br />

- Trang bị tri thức, kĩ <strong>năng</strong> toán <strong>học</strong> và kĩ <strong>năng</strong> vận dụng toán <strong>học</strong> phổ<br />

thông, cơ bản và thiết thực.<br />

- <strong>Phát</strong> <strong>triển</strong> <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> trí tuệ, bồi dưỡng phẩm chất trí tuệ <strong>cho</strong> <strong>học</strong> <strong>sinh</strong>.<br />

- Góp phần hình thành, phát <strong>triển</strong>, giáo dục <strong>tư</strong> <strong>tư</strong>ởng phẩm chất và<br />

phong cách lao động khoa <strong>học</strong>.<br />

- Tạo cơ sở để <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> tiếp tục <strong>học</strong> tập hoặc đi vào cuộc sống lao động.<br />

Theo chương <strong>trình</strong> Giáo dục phổ thông môn Toán năm 2018 [1],<br />

chương <strong>trình</strong> môn toán giúp <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> đạt được các mục tiêu:<br />

- Hình thành và phát <strong>triển</strong> <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> Toán <strong>học</strong> bao gồm các thành tố cốt<br />

lõi sau: <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> <strong>tư</strong> <strong>duy</strong> và lập luận Toán <strong>học</strong>; <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> mô hình hóa Toán<br />

<strong>học</strong>; <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> sử dụng công cụ, <strong>phương</strong> tiện Toán <strong>học</strong>. Đồng thời góp phần<br />

hình thành và phát <strong>triển</strong> <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> chung cốt lõi.<br />

- Góp phần thực hiện các quy định về phẩm chất của Chương <strong>trình</strong> tổng<br />

thể theo các mức độ phù hợp với môn Toán ở từng cấp <strong>học</strong>.<br />

- Có kiến thức, kỹ <strong>năng</strong> Toán <strong>học</strong> phổ thông, cơ bản, thiết yếu; phát<br />

<strong>triển</strong> khả <strong>năng</strong> giải quyết vấn đề có tính tích hợp liên môn giữa môn Toán và<br />

các môn <strong>học</strong> khác như Vật lý, Hóa <strong>học</strong>, Sinh <strong>học</strong>, Địa lý, Tin <strong>học</strong>, Công nghệ,<br />

Lịch sử, Nghệ thuật,…; tạo cơ hội để <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> được trải nghiệm, áp dụng<br />

Toán <strong>học</strong> vào thực tiễn.<br />

- Có hiểu biết <strong>tư</strong>ơng đối tổng quát về sự hữu ích của Toán <strong>học</strong> đối với<br />

từng ngành nghề liên <strong>qua</strong>n để làm cơ sở định hướng nghề nghiệp, cũng như<br />

có đủ <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> tối thiểu để tự tìm hiểu những vấn đề liên <strong>qua</strong>n đến Toán <strong>học</strong><br />

trong suốt cuộc đời.<br />

Như vậy, ở cả hai chương <strong>trình</strong> môn Toán đều góp phần giúp <strong>học</strong> <strong>sinh</strong><br />

đạt được 4 mục tiêu cơ bản. Tuy nhiên, theo chương <strong>trình</strong> Giáo dục phổ<br />

3

thông môn toán mới mục tiêu hình thành và phát <strong>triển</strong> <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> Toán <strong>học</strong><br />

được <strong>qua</strong>n tâm, chú trọng và đặt lên hàng đầu.<br />

1.2. Năng <strong>lực</strong> tƣ <strong>duy</strong> Toán <strong>học</strong><br />

1.2.1. Năng <strong>lực</strong><br />

Trong Nghị quyết Hội Nghị Trung ương 8 khóa XI về đổi mới căn bản,<br />

toàn diện giáo dục và đào tạo đã nêu rõ: “<strong>Phát</strong> <strong>triển</strong> giáo dục và đào tạo là<br />

nâng cao dân trí, đào tạo nhân <strong>lực</strong>, bồi dưỡng nhân tài. Chuyển mạnh quá<br />

<strong>trình</strong> giáo dục từ chủ yếu trang bị kiến thức sang phát <strong>triển</strong> toàn diện <strong>năng</strong> <strong>lực</strong><br />

và phẩm chất người <strong>học</strong>. Học đi đôi với hành, lý luận gắn với thực tiễn, giáo<br />

dục nhà trường kết hợp với giáo dục gia đình và giáo dục ngoài xã hội”; “Tiếp<br />

tục đổi mới <strong>phương</strong> pháp <strong>dạy</strong> và <strong>học</strong> theo hướng hiện đại: khắc phục lối<br />

truyền thụ áp đặt một chiều, ghi nhớ máy móc. Tập trung <strong>dạy</strong> cách <strong>học</strong>, cách<br />

nghĩ, khuyến khích người <strong>học</strong>, tạo cơ sở để người <strong>học</strong> tự cập nhật và đổi mới<br />

tri thức, kỹ <strong>năng</strong>, phát <strong>triển</strong> <strong>năng</strong> <strong>lực</strong>. Chuyển từ <strong>học</strong> chủ yếu trên lớp sang tổ<br />

chức hình thức <strong>học</strong> tập đa dạng, chú ý các hoạt động xã hội, ngoại khóa,<br />

nghiên cứu khoa <strong>học</strong>. Đẩy mạnh ứng dụng công nghệ thông tin và truyền<br />

thông trong <strong>dạy</strong> và <strong>học</strong>”.<br />

Như vậy, <strong>dạy</strong> và <strong>học</strong> theo định hướng phát <strong>triển</strong> <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> <strong>tư</strong> <strong>duy</strong> là một<br />

nhu cầu cấp thiết ở tất cả các môn <strong>học</strong> trong mọi cấp <strong>học</strong>. Cụ thể để hiểu rõ<br />

hơn về vấn đề này trước hết ta đi tìm hiểu các nội dung cơ bản về <strong>năng</strong> <strong>lực</strong>.<br />

a) Khái niệm <strong>năng</strong> <strong>lực</strong><br />

Các nhà tâm lí <strong>học</strong> <strong>cho</strong> rằng, <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> là sự kết hợp của các kiến thức,<br />

kĩ <strong>năng</strong> và thái độ có sẵn hoặc ở dạng tiềm <strong>năng</strong> của một cá nhân, là tổng hợp<br />

đặc điểm thuộc tính tâm lí của cá nhân phù hợp với yêu cầu đặc trưng của một<br />

hoạt động nhất định nhằm đảm bảo <strong>cho</strong> hoạt động đó có hiệu quả cao. Hiện<br />

nay, <strong>qua</strong>n niệm chung về <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> được nhiều người thừa nhận là: “Năng <strong>lực</strong><br />

là thuộc tính cá nhân được hình thành, phát <strong>triển</strong> nhờ tố chất sẵn có và quá<br />

<strong>trình</strong> <strong>học</strong> tập, rèn luyện, <strong>cho</strong> phép con người huy động tổng hợp các kiến thức,<br />

kĩ <strong>năng</strong> và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí,… thực<br />

hiện thành công một loại hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong<br />

4

những điều kiện cụ thể”. (Chương <strong>trình</strong> Giáo dục phổ thông tổng thể (tháng<br />

7/2017)). Như vậy:<br />

- Năng <strong>lực</strong> là sự kết hợp giữa tố chất sẵn có và quá <strong>trình</strong> <strong>học</strong> tập, rèn<br />

luyện của người <strong>học</strong>.<br />

- Năng <strong>lực</strong> là sự tích hợp của kiến thức, kĩ <strong>năng</strong> và các thuộc tính cá<br />

nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí,…<br />

- Năng <strong>lực</strong> được hình thành, phát <strong>triển</strong> thông <strong>qua</strong> hoạt động và thể hiện<br />

ở sự thành công trong hoạt động thực tiễn.<br />

Khái quát lại <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> có thể hiểu là sự kết hợp của các kiến thức, kĩ<br />

<strong>năng</strong>, phẩm chất, thái độ và hành vi của một cá nhân để thực hiện một công<br />

việc có hiệu quả. Năng <strong>lực</strong> không chỉ bao hàm kiến thức, kĩ <strong>năng</strong>, kĩ xảo, mà<br />

còn cả giá trị, động cơ, đạo đức và hành vi xã hội.<br />

b) Đặc điểm chung của <strong>năng</strong> <strong>lực</strong><br />

- Đề cập tới xu thế đạt được một kết quả nào đó của một công việc cụ<br />

thể, do một con người cụ thể thực hiện (<strong>năng</strong> <strong>lực</strong> <strong>học</strong> tập, <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> <strong>tư</strong> <strong>duy</strong>,<br />

<strong>năng</strong> <strong>lực</strong> tự quản lý bản thân, …). Như vậy, không tồn tại <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> chung<br />

chung.<br />

- Có sự tác động của một cá nhân cụ thể tới một đối <strong>tư</strong>ợng cụ thẻ (kiến<br />

thức, <strong>qua</strong>n hệ xã hội, …) để có một sản phẩm nhất định; do đó có thể phân<br />

biệt người này với người khác.<br />

- Năng <strong>lực</strong> là một yếu tố cấu thành trong một hoạt động cụ thể. Năng<br />

<strong>lực</strong> chỉ tồn tại trong quá <strong>trình</strong> vận động, phát <strong>triển</strong> của một hoạt động cụ thể.<br />

Vì vậy, <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> vừa là mục tiêu, vừa là kết quả hoạt động, là điều kiện<br />

của hoạt động, nhưng cũng phát <strong>triển</strong> trong chính hoạt động đó. Quá <strong>trình</strong> <strong>dạy</strong><br />

<strong>học</strong>, giáo dục nhằm hình thành, rèn luyện, phát <strong>triển</strong> <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> ở cá nhân tất<br />

yếu phải đưa cá nhân tham gia vào các hoạt động.<br />

c) Phân loại <strong>năng</strong> <strong>lực</strong><br />

Năng <strong>lực</strong> được chia thành hai nhóm bao gồm <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> chung và <strong>năng</strong><br />

<strong>lực</strong> chuyên biệt:<br />

Năng <strong>lực</strong> chung: là những <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> cơ bản, thiết yếu hoặc cốt lõi,…làm<br />

nền tảng <strong>cho</strong> mọi hoạt động của con người trong cuộc sống và lao động nghề<br />

5

nghiệp như: <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> nhận thức, <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> trí tuệ, <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> về ngôn ngữ và<br />

tính toán, <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> giao tiếp, <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> vận động,... Các <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> này được<br />

hình thành và phát <strong>triển</strong> dựa trên bản <strong>năng</strong> di truyền của con người, quá <strong>trình</strong><br />

giáo dục và trải nghiệm trong cuộc sống, đáp ứng yêu cầu của nhiều loại hình<br />

hoạt động khác nhau.<br />

Năng <strong>lực</strong> chuyên biệt: Là những <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> được hình thành và phát <strong>triển</strong><br />

trên cơ sở các <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> chung theo định hướng chuyên sâu, riêng biệt trong<br />

các loại hình hoạt động, công việc hoặc tình huống, môi trường đặc thù, cần<br />

thiết <strong>cho</strong> những hoạt động chuyên biệt đáp ứng yêu cầu hạn hẹp hơn của một<br />

hoạt động như Toán <strong>học</strong>, Âm nhạc, Mỹ thuật, Thể thao, Địa lý,...<br />

Năng <strong>lực</strong> chung và <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> chuyên biệt đều được hình thành và phát<br />

<strong>triển</strong> thông <strong>qua</strong> các môn <strong>học</strong>, hoạt động giáo dục; <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> chuyên biệt vừa là<br />

mục tiêu, vừa là “đơn vị thao tác” trong các hoạt động <strong>dạy</strong> <strong>học</strong>, giáo dục góp<br />

phần hình thành và phát <strong>triển</strong> các <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> chung.<br />

1.2.2. Tư <strong>duy</strong><br />

a) Khái niệm <strong>tư</strong> <strong>duy</strong><br />

Tư <strong>duy</strong> là một quá <strong>trình</strong> tâm lý phản ánh những thuộc tính bản chất,<br />

những mối liên hệ và <strong>qua</strong>n hệ bên trong có tính qui luật của sự vật, hiện <strong>tư</strong>ợng<br />

trong hiện thực khách <strong>qua</strong>n mà trước đó ta chưa biết [12; tr106].<br />

b) Đặc điểm của <strong>tư</strong> <strong>duy</strong><br />

Thuộc mức độ nhận thức cao – nhận thức lý tính, <strong>tư</strong> <strong>duy</strong> có những đặc<br />

điểm mới về chất so với cảm <strong>giác</strong>, tri <strong>giác</strong>. Theo [12] <strong>tư</strong> <strong>duy</strong> có những đặc<br />

điểm cơ bản sau:<br />

Tính có vấn đề của <strong>tư</strong> <strong>duy</strong><br />

Không phải bất cứ hoàn cảnh nào <strong>tư</strong> <strong>duy</strong> cũng xuất hiện. Trên thực tế,<br />

<strong>tư</strong> <strong>duy</strong> chỉ xuất hiện khi gặp những hoàn cảnh, những tình huống “có vấn đề”.<br />

Khi đó, muốn giải quyết vấn đề để đạt được mục đích con người phải tìm<br />

cách thức giải quyết vấn đề đó. Tức là con người phải <strong>tư</strong> <strong>duy</strong>.<br />

Hoàn cảnh (tình huống) có vấn đề kích thích con người <strong>tư</strong> <strong>duy</strong>. Song<br />

vấn đề chỉ trở nên tình huống “có vấn đề” khi con người nhận thức được tình<br />

huống có vấn đề, nhận thức được mâu thuẫn chứa đựng trong vấn đề, chủ thể<br />

6

phải có nhu cầu giải quyết và phải có những tri thức cần thiết có liên <strong>qua</strong>n tới<br />

vấn đề. Chỉ có trên cơ sở đó <strong>tư</strong> <strong>duy</strong> mới xuất hiện.<br />

Do vậy trong <strong>dạy</strong> <strong>học</strong> cũng như trong công tác giáo dục cần phải đưa<br />

<strong>học</strong> <strong>sinh</strong> vào “hoàn cảnh có vấn đề” và hướng dẫn các em tự giải quyết vấn<br />

đề.<br />

Tính gián tiếp của <strong>tư</strong> <strong>duy</strong><br />

Con người không nhận thức thế giới một cách trực tiếp mà có khả <strong>năng</strong><br />

nhận thức nó một cách gián tiếp.<br />

Tính gián tiếp của <strong>tư</strong> <strong>duy</strong> được thể hiện ở việc con người sử dụng ngôn<br />

ngữ để <strong>tư</strong> <strong>duy</strong> và trong quá <strong>trình</strong> <strong>tư</strong> <strong>duy</strong> con người sử dụng những công cụ,<br />

<strong>phương</strong> tiện để nhận thức đối <strong>tư</strong>ợng.<br />

Nhờ có tính gián tiếp mà <strong>tư</strong> <strong>duy</strong> của con người đã mở rộng không giới<br />

hạn những khả <strong>năng</strong> nhận thức của con người, con người không chỉ phản ánh<br />

những gì diễn ra trong hiện tại mà còn phản ánh được cả quá khứ và <strong>tư</strong>ơng<br />

lai.<br />

Tính trừu <strong>tư</strong>ợng và khái quát của <strong>tư</strong> <strong>duy</strong><br />

Khác với nhận thức cảm tính, <strong>tư</strong> <strong>duy</strong> không phản ánh sự vật, hiện <strong>tư</strong>ợng<br />

một cách cụ thể và riêng lẻ. Tư <strong>duy</strong> có khả <strong>năng</strong> trừu xuất khỏi sự vật, hiện<br />

<strong>tư</strong>ợng những thuộc tính, những dấu hiệu cá biệt, cụ thể chỉ giữ lại những<br />

thuộc tính bản chất chung <strong>cho</strong> nhiều sự vật và hiện <strong>tư</strong>ợng. Trên cơ sở đó mà<br />

khái quát những sự vật, hiện <strong>tư</strong>ợng riêng lẻ nhưng có những thuộc tính bản<br />

chất chung thành một nhóm, một loại, một phạm trù.<br />

Nhờ có tính trừu <strong>tư</strong>ợng và khái quát của <strong>tư</strong> <strong>duy</strong> mà con người không chỉ<br />

giải quyết được những nhiệm vụ hiện tại, mà còn có thể giải quyết được<br />

những nhiệm vụ của <strong>tư</strong>ơng lai.<br />

Tư <strong>duy</strong> có <strong>qua</strong>n hệ chặt chẽ với ngôn ngữ.<br />

Sở dĩ <strong>tư</strong> <strong>duy</strong> mang tính “có vấn đề”, tính gián tiếp, tính trừu <strong>tư</strong>ợng và<br />

khái quát vì nó gắn chặt với ngôn ngữ. Tư <strong>duy</strong> và ngôn ngữ có mối <strong>qua</strong>n hệ<br />

mật thiết với nhau. Nếu không có ngôn ngữ thì quá <strong>trình</strong> <strong>tư</strong> <strong>duy</strong> của con người<br />

không thể diễn ra đồng thời các sản phẩm của <strong>tư</strong> <strong>duy</strong> cũng không được chủ<br />

thể và người khác tiếp nhận.<br />

7

Ngôn ngữ cố định lại các kết quả của <strong>tư</strong> <strong>duy</strong>, là vỏ vật chất của <strong>tư</strong> <strong>duy</strong><br />

và là <strong>phương</strong> tiện biểu đạt kết quả <strong>tư</strong> <strong>duy</strong>. Tuy nhiên ngôn ngữ không phải là<br />

<strong>tư</strong> <strong>duy</strong>, ngôn ngữ chỉ là <strong>phương</strong> tiện của <strong>tư</strong> <strong>duy</strong>.<br />

Tư <strong>duy</strong> có mối <strong>qua</strong>n hệ mật thiết với nhận thức cảm tính<br />

Tư <strong>duy</strong> thường bắt đầu từ nhận thức cảm tính, trên cơ sở nhận thức cảm<br />

tính mà nảy <strong>sinh</strong> “tình huống có vấn đề”. Nhận thức cảm tính là một khâu của<br />

mối liên hệ trực tiếp giữa <strong>tư</strong> <strong>duy</strong> với hiện thực, là cơ sở, chất liệu của những<br />

khái quát hiện thực theo một nhóm, lớp, phạm trù mang tính quy luật trong<br />

quá <strong>trình</strong> <strong>tư</strong> <strong>duy</strong>.<br />

Ngược lại, <strong>tư</strong> <strong>duy</strong> và những kết quả của nó ảnh hưởng mạnh mẽ, chi<br />

phối khả <strong>năng</strong> phản ánh của nhận thức cảm tính: làm <strong>cho</strong> khả <strong>năng</strong> cảm <strong>giác</strong><br />

của con người tinh vi, nhạy bén hơn; làm <strong>cho</strong> tri <strong>giác</strong> của con người mang<br />

tính lựa chọn, tính ý nghĩa.<br />

Qua đó từ những đặc điểm trên của <strong>tư</strong> <strong>duy</strong> ta có thể rút ra những kết<br />

luận cần thiết trong công tác giảng <strong>dạy</strong> và giáo dục của người giáo viên như<br />

sau:<br />

- Phải coi trọng việc phát <strong>triển</strong> <strong>tư</strong> <strong>duy</strong> <strong>cho</strong> <strong>học</strong> <strong>sinh</strong>. Bởi lẽ, không có<br />

khả <strong>năng</strong> <strong>tư</strong> <strong>duy</strong>, <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> không <strong>học</strong> tập và rèn luyện được.<br />

- Muốn kích thích <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> <strong>tư</strong> <strong>duy</strong> thì phải đưa các em vào những tình<br />

huống có vấn đề và tổ chức <strong>cho</strong> <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> độc lập, sáng tạo giải quyết tình<br />

huống có vấn đề.<br />

- Việc phát <strong>triển</strong> <strong>tư</strong> <strong>duy</strong> phải được tiến hành song song và thông <strong>qua</strong><br />

truyền thụ tri thức.<br />

- Việc phát <strong>triển</strong> <strong>tư</strong> <strong>duy</strong> phải gắn với việc trau dồi ngôn ngữ. Bởi lẽ,<br />

phải nắm vũng ngôn ngữ thì <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> mới có <strong>phương</strong> tiện để <strong>tư</strong> <strong>duy</strong>. Đây là<br />

nhiệm vụ chung của các nhà giáo dục.<br />

- Việc phát <strong>triển</strong> <strong>tư</strong> <strong>duy</strong> phải gắn liền với việc rèn luyện cảm <strong>giác</strong>, tri<br />

<strong>giác</strong>, <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> <strong>qua</strong>n sát và trí nhớ <strong>cho</strong> <strong>học</strong> <strong>sinh</strong>. Bởi lẽ, thiếu những tài liệu<br />

cảm tính thì <strong>tư</strong> <strong>duy</strong> không thể diễn ra được.<br />

c) Quá <strong>trình</strong> <strong>tư</strong> <strong>duy</strong><br />

Các giai đoạn của quá <strong>trình</strong> <strong>tư</strong> <strong>duy</strong> gồm:<br />

Giai đoạn 1: Xác định vấn đề và biểu đạt vấn đề.<br />

8

Giai đoạn 2: Huy động các tri thức kinh nghiệm.<br />

Giai đoạn 3: Sàng lọc các liên <strong>tư</strong>ởng và hình thành giả thuyết.<br />

Giai đoạn 4: Kiểm tra giả thuyết.<br />

Giai đoạn 5: Giải quyết nhiệm vụ đặt ra.<br />

Các hoạt động trí tuệ phổ biến:<br />

- Phân tích và tổng hợp.<br />

- So sánh.<br />

- Trừu <strong>tư</strong>ợng hóa và khái quát hóa.<br />

1.2.3. Năng <strong>lực</strong> <strong>tư</strong> <strong>duy</strong> toán <strong>học</strong><br />

Năng <strong>lực</strong> <strong>tư</strong> <strong>duy</strong> là tổng hợp những khả <strong>năng</strong> ghi nhớ, tái hiện, trừu<br />

<strong>tư</strong>ợng hóa, khái quát hóa, trừu <strong>tư</strong>ợng, suy luận - giải quyết vấn đề, xử lý và<br />

linh cảm trong quá <strong>trình</strong> phản ánh, phát <strong>triển</strong> tri thức và vận dụng chúng vào<br />

thực tiễn [7].<br />

Năng <strong>lực</strong> <strong>tư</strong> <strong>duy</strong> và lập luận toán <strong>học</strong> được thể hiện thông <strong>qua</strong> việc thực<br />

hiện các hành động:<br />

- So sánh; phân tích; tổng hợp; đặc biệt hóa, khái quát hóa; <strong>tư</strong>ơng tự;<br />

quy nạp; diễn dịch: Thực hiện được <strong>tư</strong>ơng đối thành thạo các thao tác <strong>tư</strong> <strong>duy</strong>,<br />

đặc biệt phát hiện được sự <strong>tư</strong>ơng đồng và khác biệt trong những tình huống<br />

<strong>tư</strong>ơng đối phức tạp và lí giải được kết quả của việc <strong>qua</strong>n sát.<br />

- Chỉ ra được chứng cứ, lí lẽ và biết lập luận hợp lí trước khi kết luận:<br />

Sử dụng được các <strong>phương</strong> pháp lập luận, quy nạp và suy diễn để nhìn ra<br />

những cách thức khác nhau trong việc giải quyết vấn đề.<br />

- Giải thích hoặc điều chỉnh cách thức giải quyết vấn đề về <strong>phương</strong> diện<br />

toán <strong>học</strong>: Nêu và trả lời được câu hỏi khi lập luận, giải quyết vấn đề. Giải<br />

thích, chứng minh, điều chỉnh được giải pháp thực hiện về <strong>phương</strong> diện toán<br />

<strong>học</strong>.<br />

a) Các thao tác <strong>tư</strong> <strong>duy</strong> toán <strong>học</strong><br />

<br />

Phân tích và tổng hợp.<br />

Phân tích là thao tác <strong>tư</strong> <strong>duy</strong> nhằm tách đối <strong>tư</strong>ợng toán <strong>học</strong> thành những<br />

bộ phận, những dấu hiệu và thuộc tính, những liên hệ và <strong>qua</strong>n hệ giữa chúng<br />

9

theo một hướng nhất định, nhờ đó mà nhận thức đầy đủ, sâu sắc và trọn vẹn<br />

về đối <strong>tư</strong>ợng toán <strong>học</strong> ấy [3].<br />

Tổng hợp là một thao tác <strong>tư</strong> <strong>duy</strong> trong đó chủ thể <strong>tư</strong> <strong>duy</strong> dùng trí óc<br />

hợp nhất những đối <strong>tư</strong>ợng của bộ phận toán <strong>học</strong> đã được phân tích thành một<br />

chỉnh thể nhằm nhận thức đối <strong>tư</strong>ợng toán <strong>học</strong> bao quát và đầy đủ hơn [3].<br />

So sánh và <strong>tư</strong>ơng tự.<br />

So sánh là xem xét cái này với cái kia để thấy sự giống nhau, khác nhau<br />

hoặc sự hơn kém nhau. So sánh có hai mục đích: phát hiện những đặc điểm<br />

chung và những đặc điểm riêng khác nhau ở một số đối <strong>tư</strong>ợng, sự kiện. Mục<br />

đích thứ nhất thường dẫn đến <strong>tư</strong>ơng tự và đi đôi với khái quát hóa [9].<br />

Tương tự là một dạng so sánh mà từ hai đối <strong>tư</strong>ợng giống nhau ở một số<br />

dấu hiệu, rút ra kết luận hai đối <strong>tư</strong>ợng đó cũng giống nhau ở dấu hiệu khác.<br />

Như vậy, <strong>tư</strong>ơng tự là thao tác <strong>tư</strong> <strong>duy</strong> dựa trên sự giống nhau về tính chất và<br />

<strong>qua</strong>n hệ của những đối <strong>tư</strong>ợng toán <strong>học</strong> khác nhau [9].<br />

Khái quát hóa và đặc biệt hóa<br />

Theo Nguyễn Bá Kim “ Khái quát hóa là chuyển từ một tập hợp đối<br />

<strong>tư</strong>ợng sang một tập hợp đối <strong>tư</strong>ợng lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách<br />

nêu bật một số đặc điểm chung của các phần tử trong tập hợp xuất phát” [5,<br />

tr51]. Từ đó, khái quát hóa trong toán <strong>học</strong> có thể được hiểu là khái quát một<br />

hoặc nhiều yếu tố của định nghĩa, định lý,…thành một kết quả tổng quát.<br />

Đặc biệt hóa là quá <strong>trình</strong> ngược lại của quá <strong>trình</strong> khái quát hóa. Đặc<br />

biệt hóa là yêu cầu đi từ cái chung đến cái riêng và làm rõ mối <strong>qua</strong>n hệ chung<br />

riêng giữa cái tổng quát và cái cụ thể từ đó tìm được nhiều trường hợp riêng<br />

lẻ từ một bài toán xuất phát [9].<br />

Trừu <strong>tư</strong>ợng hóa<br />

Trừu <strong>tư</strong>ợng hóa là tách riêng trong <strong>tư</strong> <strong>duy</strong> một đăc tính, một <strong>qua</strong>n hệ<br />

nào đó khỏi những đặc tính, <strong>qua</strong>n hệ khác của sự vật để nhận thức một cách<br />

sâu sắc hơn. Về mặt Toán <strong>học</strong>, trừu <strong>tư</strong>ợng hóa là thao tác tách ra từ một đối<br />

<strong>tư</strong>ợng Toán <strong>học</strong> một tính chất (về <strong>qua</strong>n hệ số <strong>lượng</strong> hoặc hình dạng hoặc logic<br />

của thế giới khách <strong>qua</strong>n) để nghiên cứu tính chất đó. Trừu <strong>tư</strong>ợng hóa gắn liền<br />

với cụ thể hóa. Nó cũng có liên hệ mật thiết với khái quát hóa. Nhờ trừu<br />

10

<strong>tư</strong>ợng hóa, ta có thể khái quát hóa rộng và sâu hơn. Trừu <strong>tư</strong>ợng hóa và khái<br />

quát hóa là nguồn gốc của sự hình thành các khái niệm toán <strong>học</strong> [9].<br />

b) Các loại hình <strong>tư</strong> <strong>duy</strong> toán <strong>học</strong><br />

Những loại hình <strong>tư</strong> <strong>duy</strong> thường gặp trong <strong>dạy</strong> <strong>học</strong> môn Toán bao gồm:<br />

<strong>tư</strong> <strong>duy</strong> logic, <strong>tư</strong> <strong>duy</strong> logic biện chứng, <strong>tư</strong> <strong>duy</strong> thuật toán, <strong>tư</strong> <strong>duy</strong> hàm, <strong>tư</strong> <strong>duy</strong><br />

phê phán, <strong>tư</strong> <strong>duy</strong> sáng tạo.<br />

Tư <strong>duy</strong> độc lập<br />

Trong quá <strong>trình</strong> <strong>học</strong> tập, <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> có thể được rèn luyện <strong>tư</strong> <strong>duy</strong> độc lập<br />

khi được thực hiện các nhiệm vụ vừa sức với mình. Từ đó gây hứng thú <strong>học</strong><br />

tập <strong>cho</strong> <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> đồng thời tạo điều kiện <strong>cho</strong> <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> nắm bắt vấn đề một<br />

cách tự nhiên theo đúng quy luật của quá <strong>trình</strong> nhận thức.<br />

Tính độc lập của <strong>tư</strong> <strong>duy</strong> thể hiện ở khả <strong>năng</strong> tự mình phát hiện vấn đề,<br />

tự mình xác định <strong>phương</strong> hướng, tìm ra cách giải quyết, tự mình kiểm tra và<br />

hoàn thiện kết quả đạt được.<br />

Tư <strong>duy</strong> logic<br />

Tư <strong>duy</strong> logic là <strong>tư</strong> <strong>duy</strong> về mối <strong>qua</strong>n hệ nhân quả mang tính tất yếu, tính<br />

quy luật. Vì vậy các yếu tố, đối <strong>tư</strong>ợng trong <strong>tư</strong> <strong>duy</strong> logic bắt buộc phải có<br />

<strong>qua</strong>n hệ với nhau, trong đó có yếu tố là nguyên nhân, là tiền đề, yếu tố còn lại<br />

là kết quả, là kết luận.<br />

Tư <strong>duy</strong> logic bao gồm: logic hình thức, khái niệm, phán đoán, suy luận.<br />

<br />

Tư <strong>duy</strong> logic biện chứng<br />

Tư <strong>duy</strong> logic biện chứng là loại hình <strong>tư</strong> <strong>duy</strong> găn liền với logic biện<br />

chứng. Toán <strong>học</strong> cũng là đối <strong>tư</strong>ợng của logic biện chứng. Trong Toán <strong>học</strong><br />

cũng như trong <strong>dạy</strong> <strong>học</strong> môn toán thường gặp các cặp phạm trù: phân tích và<br />

tổng hợp, nội dung và hình thức, bản chất và hiện <strong>tư</strong>ợng, khả <strong>năng</strong> và hiện<br />

thực, vận động và đứng yên,…<br />

Tư <strong>duy</strong> thuật toán<br />

Thuật toán là một quy tắc chính xác và đơn trị quy định một số hữu hạn<br />

những thao tác sơ cấp theo một <strong>trình</strong> tự xác định trên những đối <strong>tư</strong>ợng sao<br />

<strong>cho</strong> sau một số hữu hạn những thao tác đó ta thu được kết quả mong muốn.<br />

Trong các hoạt động nói chung và <strong>học</strong> tập nói riêng đặc biệt là hoạt<br />

động <strong>dạy</strong> <strong>học</strong> toán, ta thường phải:<br />

11

- Thực hiện những thao tác theo một <strong>trình</strong> tự xác định định phù hợp với<br />

một thuật toán.<br />

- Phân tích một quá <strong>trình</strong> thành những thao tác được thực hiện theo một<br />

<strong>trình</strong> tự xác định.<br />

- Khái quát hóa một quá <strong>trình</strong> diễn ra trên một số đối <strong>tư</strong>ợng riêng lẻ<br />

thành một quá <strong>trình</strong> diễn ra trên cùng một lớp đối <strong>tư</strong>ợng.<br />

- Mô tả chính xác quá <strong>trình</strong> tiến hành một hoạt động.<br />

- <strong>Phát</strong> hiện thuật toán tối ưu để giải quyết một công việc.<br />

Đó chính là hoạt động <strong>tư</strong> <strong>duy</strong> của thuật toán. Hoạt động đầu tiên thể<br />

hiện khả <strong>năng</strong> thực hiện thuật toán, bốn hoạt động sau thể hiện <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> xây<br />

dựng thuật toán.<br />

Tư <strong>duy</strong> hàm<br />

Tư <strong>duy</strong> hàm là quá <strong>trình</strong> nhận thức liên <strong>qua</strong>n đến sự <strong>tư</strong>ơng ứng, những<br />

mối liên hệ phụ thuộc giữa các phần tử của một hay nhiều tập hợp trong sự<br />

vận động của chúng.<br />

Tư <strong>duy</strong> phê phán<br />

Tư <strong>duy</strong> phê phán là quá <strong>trình</strong> vận dụng tích cực trí tuệ vào việc phân<br />

tích, tổng hợp, đánh giá sự việc, xu hướng, ý <strong>tư</strong>ởng, giả thuyết từ sự <strong>qua</strong>n sát,<br />

kinh nghiệm, chứng cứ, thông tin và lý lẽ nhằm mục đích xác định đúng – sai,<br />

tốt - xấu, hay – dở, hợp lý – không hợp lý, nên – không nên, và rút ra quyết<br />

định, cách ứng xử của mỗi cá nhân.<br />

Trong <strong>dạy</strong> <strong>học</strong> môn Toán ở phổ thông, việc rèn luyện và phát <strong>triển</strong> <strong>tư</strong><br />

<strong>duy</strong> phê phán <strong>cho</strong> <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> có vai trò <strong>qua</strong>n trọng. Tư <strong>duy</strong> phê phán là nền tảng<br />

để phát <strong>triển</strong> <strong>tư</strong> <strong>duy</strong> độc lập, là bước đi thiết yếu dẫn đến <strong>tư</strong> <strong>duy</strong> sáng tạo.<br />

Tư <strong>duy</strong> sáng tạo<br />

Tư <strong>duy</strong> sáng tạo là một dạng <strong>tư</strong> <strong>duy</strong> độc lập, tạo ra ý <strong>tư</strong>ởng mới độc đáo<br />

và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao. Ý <strong>tư</strong>ởng mới thể hiện ở chỗ phát hiện<br />

vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới. Tính độc đáo của ý<br />

<strong>tư</strong>ởng mới thể hiện ở giải pháp lạ, hiếm, không quen thuộc hoặc <strong>duy</strong> nhất.<br />

Tư <strong>duy</strong> sáng tạo có những tính chất sau:<br />

- Tính mềm dẻo: đặc trưng bởi khả <strong>năng</strong> dễ dàng chuyển từ hoạt động<br />

trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác.<br />

12

- Tính nhuần nhuyễn: thể hiện ở việc sử dụng nhiều lọai hình <strong>tư</strong> <strong>duy</strong> đa<br />

dạng trong phát hiện và giải quyết vấn đề.<br />

- Tính độc đáo: đặc trưng bởi khả <strong>năng</strong> tìm kiếm mang tính phát <strong>triển</strong>,<br />

được ứng dụng rộng rãi.<br />

- Tính thăng hoa: thể hiện ở sản phẩm tìm được mang tính phát <strong>triển</strong><br />

được ứng dụng rộng rãi.<br />

Như vậy, với tất cả các môn <strong>học</strong> trong chương <strong>trình</strong> phổ thông nói<br />

chung và bộ môn Toán nói riêng thì sáng tạo là một trong những loại hình <strong>tư</strong><br />

<strong>duy</strong> <strong>qua</strong>n trọng nhất, cần được rèn luyện <strong>cho</strong> <strong>học</strong> <strong>sinh</strong>.<br />

1.3. Nội dung và mục tiêu <strong>dạy</strong> <strong>học</strong> phƣơng <strong>trình</strong> lƣợng <strong>giác</strong><br />

1.3.1. Nội dung cơ bản chủ đề <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong> lớp 11 ở trường<br />

<strong>THPT</strong><br />

Theo phân phối chương <strong>trình</strong> Đại số và Giải tích 11 ở <strong>THPT</strong>:<br />

Chương <strong>trình</strong> cơ bản: Nội dung chương 1 “Hàm số <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong> và<br />

<strong>phương</strong> <strong>trình</strong> <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong>” lớp 11 gồm 3 bài ( ), dự kiến được <strong>trình</strong><br />

bày trong 20 tiết.<br />

Chương <strong>trình</strong> nâng cao: Nội dung chương 1: “Hàm số <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong> và<br />

<strong>phương</strong> <strong>trình</strong> <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong>” lớp 11 gồm 3 bài ( ), dự kiến được <strong>trình</strong><br />

bày trong 20 tiết.<br />

Ta có bảng phân phối chương <strong>trình</strong> chương “Hàm số <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong> và<br />

Phương <strong>trình</strong> <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong>” như sau:<br />

13

Tên bài <strong>học</strong><br />

Số tiết<br />

§1. Hàm số <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong> 5 tiết<br />

§2. Phương <strong>trình</strong> <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong> cơ bản 6 tiết<br />

§3. Một số <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong> thường gặp 6 tiết<br />

Ôn tập chương 1<br />

Kiểm tra 45 phút chƣơng 1<br />

2 tiết<br />

1 tiết<br />

Tổng số tiết<br />

20 tiết<br />

Bảng 1.1. Phân phối chương <strong>trình</strong> chương “Hàm số <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong> và <strong>phương</strong><br />

<strong>trình</strong> <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong>” lớp 11 cơ bản<br />

Tên bài <strong>học</strong><br />

Số tiết<br />

§1. Các hàm số <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong> 6 tiết<br />

§2. Phương <strong>trình</strong> <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong> cơ bản 5 tiết<br />

§3. Một số <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong> đơn giản 6 tiết<br />

Câu hỏi và bài tập ôn tập chương 1<br />

Kiểm tra 45 phút chƣơng 1<br />

2 tiết<br />

1 tiết<br />

Tổng số tiết<br />

20 tiết<br />

Bảng 1.2. Phân phối chương <strong>trình</strong> chương “Hàm số <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong> và<br />

<strong>phương</strong> <strong>trình</strong> <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong>” lớp 11 nâng cao<br />

Như vậy, trong chương <strong>trình</strong> nâng cao ngoài tập trung vào giải các<br />

<strong>phương</strong> <strong>trình</strong> <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong> còn chú trọng nội dung các hàm số <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong>. Bởi<br />

trong nội dung đó đề cập tới tính chất tuần hoàn liên <strong>qua</strong>n đến phần dao động<br />

điều hòa trong vật lý 10 nâng cao.<br />

14

1.3.2. Mục tiêu <strong>dạy</strong> <strong>học</strong> <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong><br />

Tên bài <strong>học</strong><br />

§1. Hàm số <strong>lượng</strong><br />

<strong>giác</strong><br />

Kiến thức:<br />

Mục tiêu<br />

- Nhớ lại bảng giá trị <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong>.<br />

- Hàm số y sin x,<br />

y cos x,<br />

y<br />

tan x,<br />

và y<br />

cot x,<br />

sự biến thiên, tính tuần hoàn và các tính<br />

chất của các hàm số này.<br />

- Tìm hiểu tính chất tuần hoàn của các hàm số<br />

<strong>lượng</strong> <strong>giác</strong>.<br />

- Đồ thị của các hàm số <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong>.<br />

Kĩ <strong>năng</strong>:<br />

- Sau khi <strong>học</strong> xong bài này, <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> phải diễn tả<br />

được tính tuần hoàn, chu kì tuần hoàn và sự biến<br />

thiên của các hàm số <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong>.<br />

- Biểu diễn được đồ thị của các hàm số <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong>.<br />

§2. Phương <strong>trình</strong><br />

<strong>lượng</strong> <strong>giác</strong> cơ bản<br />

Kiến thức<br />

- Biết được các <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> như<br />

sin x m,<br />

cos x m,<br />

tan x m,<br />

cot x<br />

m.<br />

- Điều kiện có nghiệm và công thức nghiệm của các<br />

<strong>phương</strong> <strong>trình</strong> <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong> trên.<br />

Kĩ <strong>năng</strong>:<br />

- Giải thành thạo <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong> cơ bản.<br />

- Biết sử dụng máy tính để hỗ trợ tìm nghiệm<br />

<strong>phương</strong> <strong>trình</strong> <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong> cơ bản.<br />

§3. Một số <strong>phương</strong><br />

<strong>trình</strong> <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong><br />

Kiến thức:<br />

- Biết được dạng và cách giải <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> bậc<br />

nhất, bậc hai đối với một hàm số <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong>,<br />

<strong>phương</strong> <strong>trình</strong> bậc nhất đối vớisin x và cosx .<br />

- Biết đưa các <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> phức tạp về các dạng đã<br />

15

thường gặp<br />

biết.<br />

Kĩ <strong>năng</strong>:<br />

- Giải được <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> thuộc các dạng nêu trên.<br />

1.3.3. Những thuận lợi và khó khăn khi <strong>dạy</strong> <strong>học</strong> chủ đề <strong>phương</strong> <strong>trình</strong><br />

<strong>lượng</strong> <strong>giác</strong> lớp 11<br />

Trong tất cả các nội dung của bộ môn toán nói chung chương <strong>trình</strong> toán<br />

<strong>THPT</strong> nói riêng thì ở mỗi chương, mỗi bài đều có những thuận lợi cũng như<br />

khó khăn nhất định và nội dung <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong> cũng không ngoại lệ.<br />

Khi <strong>dạy</strong> <strong>học</strong> chủ đề <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong> thường có thuận lợi và khó khăn<br />

như sau:<br />

a. Thuận lợi:<br />

- Hệ thống công thức cũng như <strong>phương</strong> pháp giải các <strong>phương</strong> <strong>trình</strong><br />

<strong>lượng</strong> <strong>giác</strong> cơ bản và một số <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong> thường gặp được <strong>trình</strong><br />

bày chi tiết và rõ ràng trong SGK.<br />

- Nguồn tài liệu đa dạng, phong phú thuận tiện <strong>cho</strong> công tác giảng <strong>dạy</strong>.<br />

b. Khó khăn:<br />

Bên cạnh những thuận lợi thì khi <strong>dạy</strong> <strong>học</strong> nội dung <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> <strong>lượng</strong><br />

<strong>giác</strong> còn gặp một số khó khăn:<br />

- Công thức <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong> khá nhiều khiến <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> rất khó để nhớ hết và<br />

thường dễ nhầm lẫn.<br />

- Bài tập về <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong> đa dạng nhưng chủ yếu là bài tập<br />

với lời giải khô khan, phạm vi biến đổi và sử dụng công thức khá rộng <strong>học</strong><br />

<strong>sinh</strong> khó định hướng cách giải.<br />

- Thời <strong>lượng</strong> <strong>cho</strong> việc rèn luyện bài tập để nhớ công thức theo phân<br />

phối chương <strong>trình</strong> còn hạn chế.<br />

Qua đó, từ những thuận lợi và khó khăn này chúng ta có thể đưa ra<br />

<strong>phương</strong> pháp <strong>dạy</strong> <strong>học</strong> hợp lí thông <strong>qua</strong> việc xây dựng hệ thống bài tập phù<br />

hợp nhằm phát <strong>triển</strong> <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> <strong>tư</strong> <strong>duy</strong> của <strong>học</strong> <strong>sinh</strong>.<br />

16

TIỂU KẾT CHƢƠNG 1<br />

Chương 1 đã <strong>trình</strong> bày một số vấn đề về cơ sở lý luận của đề tài trong<br />

đó đặc biệt tập trung tới các vấn đề sau:<br />

- Các khái niệm <strong>năng</strong> <strong>lực</strong>, đưa ra định nghĩa <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> một cách tổng<br />

quát, đặc điểm chung của <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> và phân loại <strong>năng</strong> <strong>lực</strong>.<br />

- Một số vấn đề của <strong>tư</strong> <strong>duy</strong>: khái niệm <strong>tư</strong> <strong>duy</strong>, đặc điểm của <strong>tư</strong> <strong>duy</strong>, quá<br />

<strong>trình</strong> <strong>tư</strong> <strong>duy</strong> và đưa ra khái niệm <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> <strong>tư</strong> <strong>duy</strong>.<br />

- Những nội dung cơ bản của <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> <strong>tư</strong> <strong>duy</strong> Toán <strong>học</strong>: khái niệm, các<br />

thao tác <strong>tư</strong> <strong>duy</strong> Toán <strong>học</strong> và các loại hình <strong>tư</strong> <strong>duy</strong> Toán <strong>học</strong>.<br />

<strong>THPT</strong>.<br />

- Nội dung cơ bản chủ đề <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong> lớp 11 ở trường<br />

- Những thuận lợi và khó khăn khi <strong>dạy</strong> <strong>học</strong> chủ đề <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> <strong>lượng</strong><br />

<strong>giác</strong> lớp 11.<br />

Với các lí luận trên là cơ sở để xây dựng hệ thống bài tập về <strong>phương</strong><br />

<strong>trình</strong> <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong>.<br />

17

CHƢƠNG 2. PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƢ DUY CHO HỌC SINH<br />

<strong>THPT</strong> TRONG DẠY HỌC PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC<br />

2.1. Định hƣớng phát <strong>triển</strong> <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> tƣ <strong>duy</strong> <strong>cho</strong> <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> <strong>THPT</strong> trong <strong>dạy</strong><br />

<strong>học</strong> môn toán<br />

Việc định hướng và phát <strong>triển</strong> <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> <strong>tư</strong> <strong>duy</strong> <strong>cho</strong> <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> ở trường<br />

<strong>THPT</strong> là yếu tố cần thiết <strong>cho</strong> tất cả các môn <strong>học</strong> nói chung và đối với môn<br />

Toán nói riêng. Bởi lẽ, <strong>lượng</strong> kiến thức và bài tập trong bộ môn này khá đa<br />

dạng, phức tạp, đặc biệt trong nội dung <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong> khiến <strong>học</strong><br />

<strong>sinh</strong> gặp không ít khó khăn để tìm ra lời giải <strong>cho</strong> bài toán. Do đó, trong quá<br />

<strong>trình</strong> <strong>học</strong> tập nên chú trọng các biện pháp nhằm phát <strong>triển</strong> <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> <strong>tư</strong> <strong>duy</strong> <strong>cho</strong><br />

<strong>học</strong> <strong>sinh</strong>.<br />

Trên cơ sở tìm hiểu, nghiên cứu về các biện pháp phát <strong>triển</strong> <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> <strong>tư</strong><br />

<strong>duy</strong> <strong>cho</strong> <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> <strong>THPT</strong>, cần có những kế hoạch, hoạt động cụ thể góp phần<br />

thúc đẩy khả <strong>năng</strong> <strong>tư</strong> <strong>duy</strong> của <strong>học</strong> <strong>sinh</strong>. Ngoài ra, các biện pháp này cần được<br />

thực hiện xuyên suốt quá <strong>trình</strong> tìm hiểu nội dung của bài <strong>học</strong> bắt đầu từ khâu<br />

<strong>dạy</strong> bài mới, luyện tập <strong>cho</strong> tới giao bài tập về nhà. Tất cả phải được thực hiện<br />

thường xuyên, liên tục để hình thành ý thức tự <strong>giác</strong> trong <strong>học</strong> tập.<br />

Hoạt động <strong>dạy</strong> bài mới<br />

Học <strong>sinh</strong> cần được đặt vào các tình huống có vấn đề nhằm kích thích<br />

khả <strong>năng</strong> tìm tòi phát hiện và giải quyết vấn đề dưới sự hướng dẫn của thầy cô<br />

thông <strong>qua</strong> các câu hỏi gợi ý. Chú trọng rèn luyện một số thao tác hoạt động trí<br />

tuệ như: Phân tích, tổng hợp, đặc biệt hóa, khái quát hóa,…và các loại hình <strong>tư</strong><br />

<strong>duy</strong> như: Tư <strong>duy</strong> phê phán, <strong>tư</strong> <strong>duy</strong> sáng tạo. Bên cạnh đó, <strong>qua</strong>n tâm chú ý tới<br />

những <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> trung bình, yếu để có các biện pháp phù hợp giúp các em hiểu<br />

bài.<br />

Hoạt động giải bài tập<br />

18

Hệ thống câu hỏi và bài tập cần được phân hóa từ thấp tới cao phù hợp<br />

với từng đối <strong>tư</strong>ợng <strong>học</strong> <strong>sinh</strong>. Khuyến khích <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> đưa ra ý <strong>tư</strong>ởng, <strong>phương</strong><br />

hướng giải bài toán theo nhiều cách khác nhau hoặc xây dựng các bài toán<br />

mới nếu có thể, góp phần bồi dưỡng <strong>tư</strong> <strong>duy</strong> sáng tạo.<br />

Bài tập về nhà<br />

Lượng bài tập về nhà đảm bảo yếu tố vừa sức, số <strong>lượng</strong> vừa đủ các nội<br />

dung cần thiết của bài <strong>học</strong>. Hướng dẫn <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> tổng hợp lại những kiến thức<br />

đã <strong>học</strong>, đọc bài mới đối chiếu kiến thức đã <strong>học</strong>, đã biết tạo cơ sở để tìm hiểu<br />

bài mới.<br />

2.2. Biện pháp phát <strong>triển</strong> <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> tƣ <strong>duy</strong> <strong>cho</strong> <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> <strong>THPT</strong> <strong>qua</strong> <strong>dạy</strong><br />

<strong>học</strong> phƣơng <strong>trình</strong> lƣợng <strong>giác</strong> lớp 11<br />

2.2.1. Cơ sở để đề xuất các biện pháp thực hiện<br />

Để đề xuất các biện pháp nhằm “ <strong>Phát</strong> <strong>triển</strong> <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> <strong>tư</strong> <strong>duy</strong> <strong>cho</strong> <strong>học</strong><br />

<strong>sinh</strong> <strong>THPT</strong> trong <strong>dạy</strong> <strong>học</strong> <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong>” một cách có hiệu quả cần<br />

căn cứ vào một số cơ sở sau:<br />

- Mục đích <strong>dạy</strong> <strong>học</strong> <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong> ở phổ thông.<br />

- Đặc điểm và vai trò của <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong> ở phổ thông.<br />

- Một số biểu hiện <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> <strong>tư</strong> <strong>duy</strong> của <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> <strong>THPT</strong> trong quá <strong>trình</strong><br />

<strong>học</strong> tập và giải bài tập Toán <strong>học</strong>.<br />

- Mức độ yêu cầu của chương <strong>trình</strong>, SGK và <strong>trình</strong> độ <strong>học</strong> <strong>sinh</strong>.<br />

2.2.2. Các biện pháp thực hiện<br />

Căn cứ vào những cơ sở nêu trên trong chương này đề xuất các biện<br />

pháp phát <strong>triển</strong> <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> <strong>tư</strong> <strong>duy</strong> <strong>cho</strong> <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> trong <strong>dạy</strong> <strong>học</strong> <strong>phương</strong> <strong>trình</strong><br />

<strong>lượng</strong> <strong>giác</strong> theo 2 <strong>phương</strong> diện: Thứ nhất, rèn luyện một số thao tác hoạt động<br />

trí tuệ: Phân tích, tổng hợp, đặc biệt hóa, tổng quát hóa,…Thứ hai, phát <strong>triển</strong><br />

một số loại hình <strong>tư</strong> <strong>duy</strong> Toán <strong>học</strong>: Tư <strong>duy</strong> phê phán, <strong>tư</strong> <strong>duy</strong> sáng tạo.<br />

a) Rèn luyện một số hoạt động trí tuệ<br />

19

Việc bồi dưỡng <strong>tư</strong> <strong>duy</strong> toán <strong>học</strong> <strong>cho</strong> <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> cần được tiến hành trong<br />

mối liên hệ với các hoạt động trí tuệ như: Phân tích, tổng hợp, so sánh, khái<br />

quát hóa…, trong đó phân tích và tổng hợp có vai trò <strong>qua</strong>n trọng. Rèn luyện<br />

những hoạt động đó <strong>cho</strong> <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> là yếu tố cơ bản và nền tảng trong <strong>dạy</strong> <strong>học</strong><br />

<strong>tư</strong> <strong>duy</strong> Toán <strong>học</strong>.<br />

Phân tích<br />

Phân tích là quá <strong>trình</strong> dùng trí óc để phân tích đối <strong>tư</strong>ợng nhận thức<br />

thành những “bộ phận”, những thuộc tính, những mối liên hệ và <strong>qua</strong>n hệ giữa<br />

chúng để nhận thức đối <strong>tư</strong>ợng sâu sắc hơn [10; tr116].<br />

Trong quá <strong>trình</strong> giải toán phân tích luôn luôn là yếu tố <strong>qua</strong>n trọng giúp<br />

<strong>học</strong> <strong>sinh</strong> nắm chắc kiến thức và vận dụng linh hoạt các kiến thức đó. Khi giải<br />

bài toán trước hết phải <strong>qua</strong>n sát đề bài một cách tổng quát, phân tích cái đã<br />

<strong>cho</strong> và cái cần tìm từ đó có thể phân chia bài toán thành những bài toán nhỏ<br />

đã biết cách giải. Như vậy, về bản chất phân tích là nêu rõ giả thiết, kết luận<br />

của bài toán và tìm mối liên hệ giữa chúng.<br />

Ví dụ 1: Giải các <strong>phương</strong> <strong>trình</strong><br />

1) 2 3tan x sin 2x<br />

0<br />

2) 2cos2x 2cos x 2 0<br />

3) 2cos2x1cos3x<br />

4) 5cos x2sin 2x<br />

0<br />

Phân tích:<br />

1) Khi gặp bài toán chứa tan và cot ta nhớ đặt điều kiện và xem xét<br />

mối liên hệ giữa các góc trong bài toán. Với bài này chứa tan x và sin 2x ta<br />

2t<br />

nghĩ ngay tới việc đặt t tan x sin 2 x . Khi đó bài toán trở thành giải<br />

2<br />

1 t<br />

<strong>phương</strong> <strong>trình</strong> đa thức.<br />

20

2) Ta thấy có cos2x và cosx nên nghĩ ngay tới công thức nhân đôi<br />

2<br />

cos2x2cos x 1<br />

cosx để giải.<br />

và đưa <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> về dạng <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> bậc hai theo<br />

3) Khi gặp bài toán <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong> việc đầu tiên ta đánh giá về hàm số<br />

<strong>lượng</strong> <strong>giác</strong>, các góc trong đó. Thử đưa về cùng hàm cùng góc nếu có thể. Với<br />

bài toán này <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> chỉ chứa một hàm cos nên ta nghĩ đến việc đưa về<br />

3<br />

2<br />

cùng góc. Ta có: cos3x 4cos x 3cos x và cos2x2cos x 1. Khi đó ta<br />

được <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> bậc ba theo cos.<br />

4) Ta thấy có cosx và sin 2x nên dùng công thưc nhân đôi<br />

sin 2x 2sin xcos<br />

x và đưa <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> về dạng <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> bậc nhất đối<br />

với một hàm số <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong> để giải bài toán.<br />

Như vậy, để giải các bài tập về <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong> thì việc phân<br />

tích bài toán là một khâu <strong>qua</strong>n trọng giúp <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> hình thành kỹ <strong>năng</strong> <strong>qua</strong>n<br />

sát khi gặp một bài toán. Tuy nhiên, để quá <strong>trình</strong> phân tích được thuận tiện<br />

yêu cầu <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> phải nắm vững các công thức <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong> cơ bản.<br />

Tổng hợp<br />

Tổng hợp là quá <strong>trình</strong> dùng trí óc để hợp nhất những “bộ phận”, những<br />

thuộc tính, những thành phần đã được phân tách nhờ phân tích thành một<br />

chỉnh thể [11; tr116].<br />

Ví dụ 2: Giải các <strong>phương</strong> <strong>trình</strong><br />

1) 2 3tan x sin 2x<br />

0<br />

2) 2cos2x 2cos x 2 0<br />

3) 2cos2x1cos3x<br />

4) 5cos x2sin 2x<br />

0<br />

Dựa trên cơ sở phân tích ví dụ ở trên <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> tổng hợp lại các kết quả<br />

đã phân tích được vào <strong>trình</strong> bày lời giải chi tiết <strong>cho</strong> bài toán.<br />

Giải<br />

1) 2 3tan x sin 2x<br />

0<br />

21

Điều kiện: cos x 0 x k; k .<br />

2<br />

Đặt<br />

t tan x. Phương <strong>trình</strong> trở thành:<br />

2t<br />

1<br />

t<br />

3 2<br />

2 3t 0 3t 2t t 2 0<br />

2<br />

<br />

Với t 1 ta có: tan x 1 x k; k .<br />

4<br />

t<br />

1<br />

<br />

<br />

2<br />

3t<br />

t 2 0<br />

2<br />

Phương <strong>trình</strong> 3t<br />

t 2 0 vô nghiệm nên không tìm được giá trị của t.<br />

<br />

Vậy nghiệm của <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> là: x k; k .<br />

4<br />

2) 2cos2x 2cos x 2 0<br />

<br />

2<br />

2(2cos x 1) 2cos x 2 0<br />

<br />

<br />

2<br />

4cos x 2cos x 2 2 0 *<br />

Đặt t cos x; 1 t 1 .<br />

Khi đó <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> <br />

Với<br />

2<br />

t<br />

TM<br />

2<br />

1<br />

2<br />

t<br />

<br />

2<br />

2<br />

4t<br />

2t<br />

2 2 0<br />

* trở thành:<br />

<br />

<br />

KTM<br />

2<br />

<br />

t ta có: cos x cos x k2 , k .<br />

2<br />

4 4<br />

<br />

Vậy nghiệm của <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> là x k2 , k .<br />

4<br />

3) 2cos2x1<br />

cos3x<br />

<br />

<br />

2 3<br />

2 2cos x 1 1 4cos x 3cos x<br />

<br />

<br />

3 2<br />

4cos x 4cos x 3cos x 3 0 *<br />

Đặt t cos x; 1 t 1 .<br />

Khi đó <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> <br />

<br />

* trở thành:<br />

22

t<br />

1 TM<br />

<br />

<br />

3<br />

t t t <br />

<br />

t TM<br />

<br />

<br />

2<br />

<br />

3<br />

t TM<br />

2<br />

3 2<br />

4 4 3 3 0<br />

Với t 1 ta có: cos x 1 x k2 ; k .<br />

<br />

Với<br />

t <br />

3<br />

2<br />

ta có:<br />

3<br />

<br />

cos x cos x cos x k2 ; k .<br />

2 6 6<br />

nghiệm).<br />

Vớit <br />

3<br />

2<br />

3 5<br />

ta có: cos x cos x<br />

cos<br />

2 6<br />

Vậy nghiệm của <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> là:<br />

5<br />

x k2 ; k Z.<br />

6<br />

5<br />

x k2 ; x <br />

<br />

k2 ; x k2 ; k .<br />

6 6<br />

4) 5cos x 2sin 2x 0 5cos x 4sin xcos x 0<br />

<br />

cos x 0 x k<br />

, k .<br />

2<br />

cos x 0<br />

cos x(5 4sin x) 0 <br />

5 4sin x 0.<br />

5<br />

5 4sin x 0 4sin x 5 sin x (vì 5 1 nên <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> vô<br />

4 4<br />

<br />

Vậy nghiệm của <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> là x k<br />

, k .<br />

2<br />

Như vậy, phân tích và tổng hợp có mối <strong>qua</strong>n hệ <strong>qua</strong> lại mật thiết với<br />

nhau, bổ sung <strong>cho</strong> nhau thành sự thống nhất không tách rời được, phân tích là<br />

cơ sở của tổng hợp (được tiến hành theo hướng tổng hợp), tổng hợp diễn ra<br />

trên cơ sở phân tích.<br />

23

Khái quát hóa<br />

Khái quát hóa là quá <strong>trình</strong> dùng trí óc để bao quát nhiều đối <strong>tư</strong>ợng khác<br />

nhau thành một nhóm, một loại theo những thuộc tính, những mối liên hệ,<br />

<strong>qua</strong>n hệ chung nhất định. Những thuộc tính chung này bao gồm hai loại:<br />

những thuộc tính giống nhau và những thuộc tính chung bản chất [10; tr117 ].<br />

Ví dụ 3: Giải <strong>phương</strong> <strong>trình</strong>:<br />

1) sin x sin 2x sin3x sin 4x sin5x sin 6x<br />

0<br />

2 2 2 3<br />

2) sin x sin 2x sin 3x<br />

<br />

2<br />

Phân tích<br />

1) Trong trường hợp này ta thấy x 6x 2x 5x 3x 4x<br />

. Khi đó ta<br />

có thể nhóm các số hạng lại thành cặp và đưa bài toán về dạng tích.<br />

2) Trong trường hợp này từ sự xuất hiện bậc chẵn của hàm số sin và<br />

tổng hai cung 6 x<br />

2 x<br />

4x<br />

mà ta nghĩ đến việc hạ bậc và sử dụng công thức<br />

2<br />

biến tổng sang tích sau đó nhóm các hạng tử để đưa về <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> tích.<br />

Giải<br />

1) sin x sin 2x sin3x sin 4x sin5x sin 6x<br />

0<br />

x x x x x x<br />

sin6 sin sin5 sin2 sin4 sin3 0<br />

7x 5x 3x x <br />

2sin cos cos cos <br />

0<br />

2 2 2 2 <br />

7x<br />

3x<br />

4sin cos 2cos x 1<br />

0<br />

2 2<br />

7x<br />

2<br />

<br />

sin 0<br />

2 <br />

x<br />

k<br />

7<br />

<br />

<br />

3x<br />

2<br />

cos 0 x k ; k .<br />

2 3 3<br />

<br />

2cos x 1 0 <br />

2<br />

x k2<br />

<br />

<br />

3<br />

Vậy nghiệm của <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> là:<br />

24

2<br />

x k 2<br />

2<br />

; x k ; x k2<br />

; k .<br />

7 3 3 3<br />

2 2 2 3<br />

2) sin x sin 2x sin 3x<br />

<br />

2<br />

1cos2x 1cos4x 1cos6x<br />

3<br />

<br />

2 2 2 2<br />

cos2x cos4x cos6x<br />

0<br />

<br />

cos4x<br />

2cos2x1 0<br />

<br />

<br />

cos4x 0<br />

<br />

x k<br />

8 4<br />

<br />

1 <br />

; k .<br />

cos2x<br />

<br />

2 x k<br />

3<br />

<br />

Vậy <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> có nghiệm x k ; x k<br />

; k .<br />

8 4 3<br />

Nhận xét:<br />

Từ ví dụ trên <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> có thể vận dụng đưa ra bài toán khái quát và<br />

cách giải <strong>tư</strong>ơng tự <strong>cho</strong> bài toán sau:<br />

Ví dụ 4: Giải <strong>phương</strong> <strong>trình</strong>:<br />

1) sin sin 1 sin 2<br />

nx n x n x <br />

2<br />

2 2 2 3<br />

sin x sin2x sin3 x ... sin n 1 x sin nx 0<br />

2) <br />

b) Yêu cầu <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> tìm và sửa chữa sai lầm trong lời giải<br />

Yêu cầu <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> tìm và sửa chữa sai lầm trong lời giải là một trong<br />

những biện pháp cơ bản góp phần phát <strong>triển</strong> <strong>tư</strong> <strong>duy</strong> phê phán <strong>cho</strong> <strong>học</strong> <strong>sinh</strong>. Đó<br />

là một trong những kĩ <strong>năng</strong> <strong>qua</strong>n trọng và cần thiết trong tất cả các môn <strong>học</strong><br />

và đặc biệt đối với môn Toán.<br />

Để rèn luyện <strong>tư</strong> <strong>duy</strong> phê phán <strong>cho</strong> <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> <strong>THPT</strong> thông <strong>qua</strong> <strong>dạy</strong> <strong>học</strong><br />

giải bài tập <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong> lớp 11 giáo viên thường tổ chức <strong>cho</strong> <strong>học</strong><br />

<strong>sinh</strong> nhận xét kết quả hoặc xây dựng những bài toán yêu cầu tìm lỗi sai và<br />

sửa.<br />

25

Ví dụ 5: Tìm lỗi sai và sửa lại <strong>cho</strong> đúng trong các <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> sau:<br />

1)<br />

3 3<br />

4sin xcos3x 4cos xsin3x 3 3cos4x<br />

3<br />

1 1<br />

4. 3sin x sin3xcos3x 4. cos3x 3cos xsin3x 3 3cos4x<br />

3<br />

4 4<br />

sin xcos3x sin3xcos x 3cos4x<br />

1<br />

sin 4x 3cos4x<br />

1<br />

Chia hai vế của <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> <strong>cho</strong> 2, ta có:<br />

1 3<br />

sin 4x<br />

cos4x<br />

1<br />

2 2<br />

<br />

sin 4xcos sin cos4x1<br />

3 3<br />

5<br />

sin4x 1 4x k2<br />

x k2 ; k .<br />

3 3 2 24<br />

5<br />

<br />

Vậy nghiệm của <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> là: x k ; k .<br />

24 2<br />

1 1 2<br />

2) <br />

cos x sin 2x sin 4x<br />

1 2 1<br />

cos x 2sin 2xcos2x sin 2x<br />

1 1<br />

cos2x<br />

<br />

cos x sin 2xcos2x<br />

2<br />

1 2sin x<br />

<br />

cos x 2sin xcos xcos2x<br />

1 sin x<br />

<br />

cos x cos xcos2x<br />

sin cos2 sin 1<br />

sin<br />

2<br />

x x x x<br />

<br />

2<br />

2sin x sin x 1 0<br />

1<br />

sin x <br />

2 <br />

sin<br />

x 1<br />

26

x k2<br />

1 <br />

6<br />

sin x sin <br />

; k<br />

.<br />

2 6 5<br />

x k2<br />

6<br />

<br />

sin x 1 x k; k .<br />

2<br />

Vậy nghiệm của <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> là:<br />

3)<br />

5<br />

x k; x k2 ; x k2 ; k .<br />

2 6 6<br />

2 2 2<br />

sin sin 3 2sin 2<br />

x x x<br />

1cos2x<br />

1cos6x<br />

1<br />

cos4x<br />

2 2<br />

cos2x cos6x 2cos4x<br />

2cos4xcos2x 2cos4x<br />

0<br />

<br />

2cos4x<br />

cos2x1 0<br />

<br />

cos4x 0 4x k<br />

<br />

2 ; k <br />

cos2x<br />

1<br />

<br />

2x<br />

k2<br />

<br />

<br />

x k<br />

8 4<br />

; k .<br />

<br />

x k<br />

2<br />

<br />

Vậy nghiệm của <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> là:<br />

<br />

x k ; x k; k .<br />

8 4 2<br />

4) 3 tan x 6cot x 2 3 3 0<br />

6<br />

3 tan x 2 3 3 0<br />

tan x<br />

27

2<br />

3 tan x 2 3 3 tan x 6 0<br />

<br />

Với tan x 3 tan x k ; k .<br />

3 3<br />

Với <br />

<br />

tan x 2 x arctan 2 k; k<br />

.<br />

Vậy nghiệm của <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> là:<br />

x<br />

Lỗi sai<br />

tan x 3<br />

<br />

tan x 2<br />

<br />

k<br />

; x arctan 2 k;<br />

k <br />

3<br />

1) + Khi chia hai vế của <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> <strong>cho</strong> 2, không chia vế phải <strong>cho</strong> 2.<br />

<br />

+ Sai công thức nghiệm: sin 4xcos sin cos4x sin4x<br />

<br />

3 3 3 <br />

2) + Giải <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> không đặt điều kiện <strong>cho</strong> mẫu khác 0.<br />

<br />

+ Sai công thức nghiệm: sin x 1 x k; k .<br />

2<br />

2 1<br />

cos2a<br />

3) Sai công thức <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong> : sin a <br />

2<br />

4) Không đặt điều kiện khi <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> có chứa tan và cot.<br />

Lời giải đúng<br />

1)<br />

3 3<br />

4sin xcos3x 4cos xsin3x 3 3cos4x<br />

3<br />

1 1<br />

4. 3sin x sin3xcos3x 4. cos3x 3cos xsin3x 3 3cos4x<br />

3<br />

4 4<br />

sin xcos3x sin xcos x 3cos4x<br />

1<br />

sin 4x 3cos4x<br />

1<br />

Chia hai vế của <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> <strong>cho</strong> 2, ta có:<br />

1 3 1<br />

sin 4x<br />

cos4x<br />

2 2 2<br />

1<br />

sin 4xcos sin cos4x<br />

3 3 2<br />

28

1 <br />

sin 4x sin 4x sin<br />

3 2 3 6<br />

<br />

<br />

4x k2<br />

x k2<br />

3 6 <br />

<br />

24<br />

<br />

<br />

; k .<br />

<br />

<br />

4x<br />

k2<br />

x<br />

k2<br />

<br />

3 6 <br />

8<br />

Vậy nghiệm của <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> là:<br />

<br />

x k ; x k ; k .<br />

24 2 8 2<br />

1 1 2<br />

2) <br />

cos x sin 2x sin 4x<br />

<br />

x k<br />

cos x 0 2<br />

Điều kiện:<br />

<br />

<br />

sin 2x 0 x k<br />

; k <br />

<br />

<br />

sin 4x<br />

0 <br />

x k<br />

4<br />

1 2 1<br />

cos x 2sin 2xcos2x sin 2x<br />

1 1<br />

cos2x<br />

<br />

cos x sin 2xcos2x<br />

2<br />

1 2sin x<br />

<br />

cos x 2sin xcos xcos2x<br />

1 sin x<br />

<br />

cos x cos xcos2x<br />

sin cos2 sin 1<br />

2sin<br />

2<br />

x x x x<br />

<br />

2<br />

2sin x sin x 1 0<br />

29

x k2<br />

2<br />

sin x 1<br />

<br />

<br />

<br />

1 x k2 ; k .<br />

sin<br />

x 6<br />

2 <br />

5<br />

x k2<br />

6<br />

Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> là:<br />

3)<br />

5<br />

x k2 ; x k2 ; x k2 ; k .<br />

2 6 6<br />

2 2 2<br />

sin sin 3 2sin 2<br />

x x x<br />

1cos2x<br />

1cos6x<br />

1<br />

cos4x<br />

2 2<br />

cos2x cos6x 2cos4x<br />

2cos4xcos2x 2cos4x<br />

0<br />

<br />

2cos4x<br />

cos2x1 0<br />

<br />

cos4x 0 4x k<br />

<br />

2 ; k <br />

cos2x<br />

1<br />

<br />

2x<br />

k2<br />

<br />

x k<br />

8 4; k .<br />

<br />

x<br />

k<br />

<br />

Vậy nghiệm của <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> là:<br />

<br />

x k ; x k; k .<br />

8 4<br />

*<br />

<br />

4) 3 tan x 6cot x 2 3 3 0<br />

Điều kiện:<br />

x<br />

k<br />

sin x 0<br />

<br />

; k .<br />

cos x 0 x k<br />

2<br />

30

6<br />

* 3 tan x 2 3 3 0<br />

tan x<br />

<br />

<br />

<br />

2<br />

3 tan x 2 3 3 tan x 6 0<br />

<br />

Với tan x 3 tan x k ; k .<br />

3 3<br />

Với <br />

<br />

tan x 2 x arctan 2 k; k<br />

.<br />

tan x 3<br />

<br />

tan x 2<br />

Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> là:<br />

<br />

x k<br />

; x arctan 2 k;<br />

k <br />

3<br />

Nhận xét: Thông <strong>qua</strong> ví dụ trên ta thấy được một số lỗi <strong>học</strong> <strong>sinh</strong><br />

thường mắc phải là: Không đặt điều kiện, sử dụng sai công thức <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong>,<br />

sai công thức nghiệm của các <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> lương <strong>giác</strong> cơ bản. Như vậy việc<br />

rèn luyện <strong>tư</strong> <strong>duy</strong> phê phán góp phần giúp <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> tự nhận thấy được sai lầm<br />

thường có của mình. Từ đó, <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> có thể tự rút kinh nghiệm <strong>cho</strong> bản thân.<br />

c) Biến đổi đề bài và <strong>cho</strong> <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> làm quen với nhiều dạng toán<br />

khác nhau<br />

Biện pháp biến đổi đề bài và <strong>cho</strong> <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> làm quen với nhiều dạng<br />

toán khác nhau mục đích rèn luyện tính mềm dẻo <strong>cho</strong> <strong>học</strong> <strong>sinh</strong>. Để rèn luyện<br />

tính mềm dẻo giáo viên cần hướng dẫn <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> hướng <strong>tư</strong> <strong>duy</strong> <strong>cho</strong> bài toán<br />

mới đảm bảo không dập khuôn, máy móc và phụ thuộc vào những kiến thức<br />

đã có một cách thụ động.<br />

Khi giải <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong> có thể có nhiều dạng đề bài khác<br />

nhau nhưng thực chất tất cả đều qui về biến đổi các công thức <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong> để<br />

đưa về bốn dạng <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong> cơ bản.<br />

Ví dụ 6:<br />

1) Với những giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số <strong>tư</strong>ơng ứng<br />

bằng nhau?<br />

31

y sin3x<br />

và ysinx<br />

<br />

4 <br />

3 3<br />

sin x<br />

cos x<br />

2) Cho <strong>phương</strong> <strong>trình</strong><br />

cos2x<br />

. Chứng minh rằng<br />

2cos x<br />

sin x<br />

<br />

x k<br />

nghiệm đúng <strong>phương</strong> <strong>trình</strong>.<br />

2<br />

3) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số:<br />

cos x<br />

2sin x<br />

a) y <br />

2 sin x<br />

2cos xsin x1<br />

b) y <br />

2 cos xsin<br />

x<br />

Nhận xét:<br />

Với ví dụ (1) và (2) thay vì yêu cầu giải <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong> ở<br />

dạng <strong>cho</strong> sẵn <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> thì đề bài có chút biến đổi trong cách đặt câu hỏi.<br />

Để làm ví dụ 3 <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> vận dụng điều kiện có nghiệm của <strong>phương</strong><br />

<strong>trình</strong> Asin x Bcos<br />

x C là:<br />

nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số có dạng:<br />

2 2 2<br />

A B C . Ta có thể tìm được giá trị lớn<br />

asin<br />

x bcos<br />

x c<br />

y <br />

a'sin x b'cos x c'<br />

2 2<br />

asin x bsin xcos x ccos<br />

x d<br />

2 2<br />

'sin 'sin cos 'cos '<br />

y a x b x x c x d<br />

Như vậy, với cách biến đổi các dạng bài khác nhau <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> không bị<br />

dập khuôn máy móc trong một dạng đề bài quen thuộc.<br />

d) Khuyến khích <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> tìm nhiều lời giải <strong>cho</strong> bài toán<br />

Khuyến khích <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> tìm nhiều lời giải <strong>cho</strong> bài toán là một trong<br />

những biện pháp góp phần phát <strong>triển</strong> và rèn luyện tính nhuần nhuyễn của <strong>tư</strong><br />

<strong>duy</strong> sáng tạo.<br />

32

Tính nhuần nhuyễn được thể hiện ở tính đa dạng của các cách xử lý khi<br />

giải toán, khả <strong>năng</strong> tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống<br />

khác nhau. Đứng trước một bài toán, <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> có <strong>tư</strong> <strong>duy</strong> nhuần nhuyễn sẽ<br />

nhanh chóng tìm và đề xuất được nhiều cách giải khác nhau và từ đó tìm được<br />

lời giải phù hợp nhất.<br />

Ví dụ 7: Giải <strong>phương</strong> <strong>trình</strong>:<br />

1) cot x 2tan 2x tan x<br />

2) sin xcos x<br />

0<br />

Phân tích<br />

1) Phương <strong>trình</strong> (1) là một <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong> cơ bản, không quá<br />

phức tạp đối với <strong>học</strong> <strong>sinh</strong>. Để giải <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> này thông thường <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> sử<br />

dụng <strong>phương</strong> pháp đặt ẩn phụ: Đặt<br />

t tan x suy ra<br />

Đưa bài toán về dạng giải <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> đa thức.<br />

Giải<br />

Điều kiện:<br />

1<br />

2t<br />

cot x và tan 2x<br />

<br />

2<br />

t<br />

1 t<br />

sin x 0<br />

<br />

sin 2x<br />

0<br />

<br />

cos x 0 sin 4x 0 x k ; k .<br />

<br />

cos2x<br />

0 4<br />

cos2x<br />

0<br />

<br />

<br />

Cách 1: Sử dụng phƣơng pháp đặt ẩn phụ<br />

Đặt<br />

t tan x, suy ra<br />

Khi đó, <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> có dạng:<br />

1<br />

2t<br />

cot x và tan 2x<br />

<br />

2<br />

t<br />

1 t<br />

1 4t<br />

t 1 t t<br />

2<br />

1 t 4t<br />

t 1<br />

t<br />

2 2 2 2<br />

2 t<br />

4 2 2 2<br />

t 6t 1 0 t 1<br />

4t<br />

<br />

t<br />

2<br />

2<br />

12t<br />

2t1 0<br />

33

tan x 1 2 tan1<br />

x k<br />

1<br />

<br />

t<br />

1 2 tan x 1 2 tan <br />

x k<br />

<br />

<br />

<br />

; .<br />

t<br />

1 2 tan x 1 2 tan<br />

<br />

x<br />

k<br />

3<br />

3<br />

<br />

<br />

tan x 1 2 tan<br />

x<br />

k<br />

4<br />

<br />

4<br />

2 2<br />

k <br />

Vậy <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> có 4 họ nghiệm.<br />

Nhận xét: Trong ví dụ này ngoài <strong>phương</strong> pháp đặt ẩn phụ <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> có<br />

thể sử dụng <strong>phương</strong> pháp luận hệ số để phân tích bằng cách tách 2tan 2x đưa<br />

<strong>phương</strong> <strong>trình</strong> về dạng cot x tan 2 x tan x tan 2 x và biến đổi <strong>phương</strong> <strong>trình</strong><br />

về dạng <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong> cơ bản.<br />

Cách 2: Sử dụng phƣơng pháp luận hệ số để phân tích.<br />

Biến đổi <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> về dạng:<br />

cos x sin 2x sin3x<br />

cot x tan 2x tan x tan 2x<br />

<br />

sin x cos2x cos x.cos2x<br />

<br />

cos2 x.cos x sin2 x.sin x .cos x sin3 x.sin<br />

x<br />

cos3 x.cos x sin3 x.sin x 0 cos4x<br />

0<br />

<br />

4 x k<br />

x k ; k .<br />

2 8 4<br />

<br />

Vậy nghiệm của <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> là: x k ; k .<br />

8 4<br />

<br />

2) Tương tự, ta có thể giải <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> (2) theo những cách sau:<br />

Cách 1:<br />

<br />

sin x cos x 0 2 cosx<br />

<br />

0<br />

4 <br />

<br />

cosx 0 x k<br />

; k<br />

.<br />

4 4 2<br />

3<br />

x k; k .<br />

4<br />

Vậy nghiệm của <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> là:<br />

3<br />

x k; k .<br />

4<br />

34

Cách 2:<br />

sin x cos x 0 cos x sin x<br />

cosx sin<br />

x<br />

<br />

<br />

cosx cos<br />

x<br />

2 <br />

<br />

<br />

x <br />

x k2 ;<br />

k<br />

2 <br />

<br />

x k; k .<br />

4<br />

<br />

Vậy nghiệm của <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> x k; k .<br />

4<br />

Cách 3:<br />

sin x cos x 0 sin x cos x<br />

Nhận xét:<br />

sin x<br />

<br />

cos x<br />

Cách 1 <strong>cho</strong> ta họ nghiệm<br />

1<br />

<br />

tan x 1 x k<br />

; k .<br />

4<br />

3<br />

x k;<br />

k .<br />

4<br />

<br />

Cách 2; 3 <strong>cho</strong> ta họ nghiệm x k<br />

; k .<br />

4<br />

Hai kết quả này về mặt hình thức khác nhau, nhưng thực chất thì hai tập<br />

nghiệm này bằng nhau.<br />

Như vậy, khi giải <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong> <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> có thể linh hoạt vận<br />

dụng nhiều cách giải khác nhau. Trong ví dụ trên <strong>qua</strong>n sát thấy giải theo cách<br />

2 sẽ rút ngắn được thời gian hơn <strong>cho</strong> <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> trong việc đưa ra kết quả của<br />

bài toán. Qua đó việc rèn luyện tính nhuần nhuyễn <strong>cho</strong> <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> khi giải<br />

<strong>phương</strong> <strong>trình</strong> <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong> là cần thiết và phù hợp với thực tế <strong>dạy</strong> và <strong>học</strong>.<br />

35

2.3. Xây dựng hệ thống bài tập<br />

Việc xây dựng hệ thống bài tập là một khâu <strong>qua</strong>n trọng trong việc hình<br />

thành và phát <strong>triển</strong> <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> <strong>tư</strong> <strong>duy</strong> của <strong>học</strong> <strong>sinh</strong>. Trên cơ sở phạm vi kiến<br />

thức và mục tiêu <strong>dạy</strong> <strong>học</strong> nội dung “ Phương <strong>trình</strong> <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong>” hệ thống bài<br />

tập được phân chia từ cơ bản đến phức tạp theo hai hình thức: Các dạng toán<br />

liên <strong>qua</strong>n và <strong>phương</strong> pháp giải cơ bản. Từ đó <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> có thể dễ dàng nhận<br />

biết cũng như phát huy <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> <strong>tư</strong> <strong>duy</strong> của mình.<br />

2.3.1. Các dạng toán liên <strong>qua</strong>n<br />

a) Phương <strong>trình</strong> <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong> cơ bản<br />

Việc nắm vững các công thức nghiệm của <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong> cơ<br />

bản là vô cùng <strong>qua</strong>n trọng, vì để giải quyết bất kì một <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> <strong>lượng</strong><br />

<strong>giác</strong> nào ta đều phải qui về <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong> cơ bản.<br />

Phương <strong>trình</strong> sin x<br />

a<br />

Nếu a 1 thì <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> vô nghiệm.<br />

Nếu a 1 gọi là một cung thỏa mãn sin a . Khi đó <strong>phương</strong><br />

<strong>trình</strong> sin x<br />

a có các nghiệm là<br />

x k2 ,<br />

k <br />

và x k2 ,<br />

k <br />

<br />

Nếu thỏa mãn điều kiện và sin a thì ta viết<br />

2 2<br />

arcsin a . Khi đó các nghiệm của <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> sin x a là:<br />

x arcsin a k2 ,<br />

k <br />

và x <br />

arcsin a k2 ,<br />

k <br />

Phương <strong>trình</strong> sin x sin <br />

o có các nghiệm là:<br />

o<br />

o<br />

x k360 , k <br />

và x 180 o <br />

o k360 o , k <br />

Các trường hợp đặc biệt:<br />

36

a 1 : Phương <strong>trình</strong> sin x 1 có các nghiệm là<br />

<br />

x k2 , k .<br />

2<br />

a 1 : Phương <strong>trình</strong> sin x 1 có các nghiệm là<br />

<br />

x k2 , k .<br />

2<br />

a 0 : Phương <strong>trình</strong> sin x 0 có các nghiệm là<br />

x k, k<br />

.<br />

37

Ví dụ 1: Giải các <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> sau:<br />

<br />

1) sin 2x sin x<br />

<br />

12 4 <br />

2)<br />

1<br />

sin x <br />

2<br />

<br />

3) 2sinx<br />

1<br />

0<br />

4 <br />

Phân tích: Trong ví dụ này <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> (1) đã được viết ở dạng<br />

sin x sin khi đó <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> dễ dàng áp dụng công thức tìm được nghiệm của<br />

<strong>phương</strong> <strong>trình</strong>. Tương tự <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> (1) để giải <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> (2) và (3) bước<br />

đầu tiên <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> cần biến đổi đưa <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> về dạng sin x sin<br />

sau đó<br />

áp dụng công thức tìm nghiệm của <strong>phương</strong> <strong>trình</strong>.<br />

Giải<br />

<br />

2x x k2<br />

12 4<br />

1) sin 2x sin x <br />

12 4 <br />

2x x k2<br />

12 4<br />

<br />

<br />

x k2<br />

6<br />

<br />

; k .<br />

2<br />

2<br />

x k<br />

9 3<br />

Vậy <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> có các nghiệm là<br />

<br />

2<br />

2<br />

x k2<br />

và x k ; k .<br />

6<br />

9 3<br />

2) Vì 1 <br />

sin nên<br />

2 6<br />

1<br />

<br />

sin x sin x<br />

sin<br />

2 6<br />

Vậy <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> có các nghiệm là<br />

<br />

x k2<br />

và<br />

6<br />

<br />

3) 2sinx<br />

1<br />

0<br />

4 <br />

5<br />

x <br />

k2 k2 , k <br />

6 6<br />

38

1<br />

sinx<br />

<br />

4<br />

2<br />

<br />

sin x sin <br />

4 6<br />

5<br />

<br />

x k2<br />

x k2<br />

4 6 <br />

<br />

<br />

12<br />

<br />

<br />

; k .<br />

<br />

x k2 x k2<br />

<br />

4 6 <br />

12<br />

Vậy <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> có các nghiệm là<br />

5<br />

<br />

x k2<br />

; x k2<br />

; k .<br />

12<br />

12<br />

Bài tập đề nghị 1<br />

Giải các <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> sau:<br />

<br />

1) 2sin x<br />

3 0<br />

4 <br />

2)<br />

1<br />

sin x <br />

5<br />

3) sin 45 <br />

x <br />

0 2<br />

4) sin 2x 1<br />

Phương <strong>trình</strong> cos x<br />

2<br />

a<br />

Nếu a 1 thì <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> vô nghiệm.<br />

Nếu a 1 gọi là một cung thỏa mãn cos a . Khi đó <strong>phương</strong><br />

<strong>trình</strong> cos x<br />

a có các nghiệm là<br />

x k2 ,<br />

k <br />

Nếu thỏa mãn điều kiện 0 và cos a thì ta viết<br />

arcsin a . Khi đó các nghiệm của <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> sin x a là:<br />

x arccos a k2 ,<br />

k <br />

o<br />

Phương <strong>trình</strong> cos x cos có các nghiệm là:<br />

o<br />

o<br />

x <br />

k360 , k <br />

39

Các trường hợp đặc biệt:<br />

a 1 : Phương <strong>trình</strong> cos x 1 có các nghiệm là:<br />

x k2 , k<br />

.<br />

a 1 : Phương <strong>trình</strong> cos x 1 có các nghiệm là:<br />

x <br />

k2 , k .<br />

a 0 : Phương <strong>trình</strong> cos x 0 có các nghiệm là:<br />

<br />

x k<br />

, k .<br />

2<br />

Ví dụ 2: Giải các <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> sau:<br />

<br />

1) cos 4x cos x<br />

<br />

6 3<br />

2)<br />

1<br />

cos x <br />

3<br />

3) 2cos2x 3 0<br />

Phân tích: Trong ví dụ này <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> (1) đã được viết ở dạng<br />

cos x cos<br />

khi đó <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> dễ dàng áp dụng công thức tìm được nghiệm của<br />

<strong>phương</strong> <strong>trình</strong>. Tương tự <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> (1) để giải <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> (2) và (3) bước<br />

đầu tiên <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> cần biến đổi đưa <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> về dạng cos x cos sau đó<br />

áp dụng công thức tìm nghiệm của <strong>phương</strong> <strong>trình</strong>.<br />

Giải<br />

<br />

4x x k2<br />

6 3<br />

1) cos 4x cos x <br />

6 3 <br />

4x x k2<br />

6 3<br />

2<br />

<br />

x k<br />

6 3<br />

<br />

; k .<br />

2<br />

x k<br />

30 5<br />

Vậy các nghiệm của <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> là<br />

2<br />

2<br />

x k<br />

và x k ; k .<br />

6 3 30 5<br />

40

1 1<br />

2) cos x x arccos k2 , k .<br />

3 3<br />

Vậy các nghiệm của <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> là:<br />

3)<br />

2cos2x 3 0 cos2x <br />

1<br />

x arccos k2 , k .<br />

3<br />

3<br />

2<br />

5<br />

cos2x<br />

cos 6<br />

Vậy các nghiệm của <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> là<br />

Bài tập đề nghị 2<br />

Giải các <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> sau:<br />

1)<br />

2<br />

cos3x<br />

<br />

6<br />

2<br />

2<br />

x <br />

5<br />

2) cos 2<br />

3) cos2 50 <br />

x <br />

2<br />

0 1<br />

4) x x<br />

1 2cos 3 cos 0<br />

Phương <strong>trình</strong> tan x<br />

a<br />

5<br />

5<br />

2x k2 x k; k .<br />

6 12<br />

5<br />

x k; k .<br />

12<br />

<br />

Điều kiện của <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> x k<br />

, k <br />

2<br />

<br />

Nếu thỏa mãn điều kiện và tan a thì ta viết<br />

2 2<br />

arctan a .<br />

Khi đó các nghiệm của <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> là<br />

x arctan a k2 ,<br />

k <br />

Phương <strong>trình</strong> tan x tan <br />

o có các nghiệm là:<br />

41

o<br />

o<br />

x k180 , k <br />

Ví dụ 3: Giải các <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> sau:<br />

<br />

1) tan x tan 5<br />

1<br />

2) tan 2x <br />

3<br />

Phân tích: Trong ví dụ này <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> (1) đã được viết ở dạng<br />

tan x tan khi đó <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> dễ dàng áp dụng công thức tìm được nghiệm của<br />

<strong>phương</strong> <strong>trình</strong>. Tương tự <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> (1) để giải <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> (2) bước đầu<br />

tiên <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> cần biến đổi đưa <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> về dạng tan x tan sau đó áp<br />

dụng công thức tìm nghiệm của <strong>phương</strong> <strong>trình</strong>.<br />

Giải<br />

Ta có:<br />

<br />

1) tan x tan x k<br />

, k .<br />

5 5<br />

<br />

Vậy nghiệm của <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> là: x k<br />

, k .<br />

5<br />

2)<br />

1 1<br />

tan 2x 2x arctan<br />

<br />

<br />

k<br />

3 3<br />

Vậy nghiệm của <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> là<br />

Bài tập đề nghị 3<br />

Giải các <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> sau:<br />

1)<br />

2<br />

tan 2x<br />

tan 7<br />

2) tan3x 30 <br />

1 1<br />

<br />

x arctan k , k .<br />

2 3 2<br />

<br />

0 3<br />

1 1<br />

<br />

x arctan k , k .<br />

2 3 2<br />

3<br />

42

3) tan3xtan x 1<br />

<br />

<br />

4) tan<br />

xtan 2x<br />

4 <br />

Phương <strong>trình</strong> cot x<br />

a<br />

Điều kiện của <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> x k,<br />

k <br />

Nếu thỏa mãn điều kiện 0 và cot a thì ta viết:<br />

Khi đó nghiệm của <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> là:<br />

arccot<br />

a.<br />

x arctan a k; k .<br />

o<br />

Phương <strong>trình</strong> cot x cot có các nghiệm là:<br />

0 0<br />

x k k<br />

Ví dụ 4: Giải các <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> sau:<br />

1)<br />

2<br />

cot 4x<br />

cot 7<br />

180 ; .<br />

2) cot3x 2<br />

Phân tích:Trong ví dụ này <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> (1) đã được viết ở dạng<br />

cot x cot khi đó <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> dễ dàng áp dụng công thức tìm được nghiệm của<br />

<strong>phương</strong> <strong>trình</strong>. Tương tự <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> (1) để giải <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> (2) bước đầu<br />

tiên <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> cần biến đổi đưa <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> về dạng cot x cot sau đó áp<br />

dụng công thức tìm nghiệm của <strong>phương</strong> <strong>trình</strong>.<br />

Giải<br />

2<br />

2<br />

1) cot 4x cot 4x k<br />

7 7<br />

<br />

x k , k .<br />

14 4<br />

Vậy nghiệm của <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> là<br />

2) cot3 2 3 arctan 2<br />

<br />

x k , k .<br />

14 4<br />

x x k<br />

1<br />

<br />

x arccot2 k , k .<br />

3 3<br />

43

Vậy nghiệm của <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> là<br />

Bài tập đề nghị 4<br />

Giải các <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> sau:<br />

<br />

1) cot 4x<br />

<br />

3<br />

6 <br />

2) cot2 10 <br />

x <br />

0 1<br />

x x <br />

3) cot 1cot 1<br />

0<br />

3 2 <br />

1<br />

<br />

x arccot2 k , k .<br />

3 3<br />

3<br />

1 <br />

4) cot 2x<br />

cot<br />

<br />

3 <br />

Chú ý: Việc nắm vững các công thức nghiệm của <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> <strong>lượng</strong><br />

<strong>giác</strong> cơ bản là vô cùng <strong>qua</strong>n trọng, vì để giải quyết bất kỳ một <strong>phương</strong> <strong>trình</strong><br />

<strong>lượng</strong> <strong>giác</strong> nào ta đều quy về các <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong> cơ bản.<br />

b) Phương <strong>trình</strong> bậc nhất đối với một hàm số <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong><br />

Định nghĩa: Phương <strong>trình</strong> bậc nhất đối với một hàm số <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong> là<br />

<strong>phương</strong> <strong>trình</strong> có dạng at+b=0, trong đó a, b là các hằng số a 0; t làm một<br />

trong các hàm số <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong>, là những <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> bậc nhất đối với một hàm<br />

số <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong>.<br />

Cách giải: Chuyển vế rồi chia 2 vế của <strong>phương</strong> <strong>trình</strong><br />

at b 0 ( a<br />

0) <strong>cho</strong> a ta đưa <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> về <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong> cơ<br />

bản.<br />

Ví dụ 5: Giải các <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> sau:<br />

1) 3 tan 2x 3 0<br />

2)<br />

2<br />

cos( 30 o<br />

o<br />

x ) 2cos 15 1<br />

Phân tích:<br />

44

1) Phương <strong>trình</strong> (1) là <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> bậc nhất đối với tan 2 x . Để giải<br />

<strong>phương</strong> <strong>trình</strong> này ta chia 2 vế của <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> <strong>cho</strong><br />

<strong>trình</strong> về dạng <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong> cơ bản.<br />

3<br />

3<br />

sau đó đưa <strong>phương</strong><br />

0<br />

2) Phương <strong>trình</strong> (2) là <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> bậc nhất đối với cos 30 <br />

x và hệ<br />

2 0<br />

số a 1. Để giải <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> ta chuyển 2cos 15 sang vế phải ta được:<br />

2 o o o<br />

1 2cos 15 cos30 cos150<br />

Dễ dàng đưa bài toán về dạng <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong> cơ bản.<br />

Giải<br />

1) 3 tan2 x 3 0<br />

3<br />

tan 2x tan 2x 3<br />

3<br />

<br />

tan 2x<br />

tan 2x k<br />

3 3<br />

<br />

x k , k .<br />

6 2<br />

<br />

Vậy nghiệm của <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> là x k , k .<br />

6 2<br />

2)<br />

2<br />

cos( 30 o<br />

o<br />

x ) 2cos 15 1<br />

Ta có<br />

2 o o o<br />

1 2cos 15 cos30 cos150<br />

. Khi đó<br />

2 2<br />

cos( x 30 o ) 2cos 15 o 1 cos( x 30 o ) 1<br />

2cos 15<br />

o<br />

o o o<br />

<br />

o<br />

o<br />

x 30 150 k360<br />

cos( x 30 ) cos150 <br />

x<br />

30 150 k360<br />

o<br />

o<br />

x120 k360<br />

o<br />

x<br />

180 k360<br />

o<br />

, k .<br />

o o o<br />

45

o<br />

o<br />

Vậy các nghiệm của <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> là x120 k360<br />

và<br />

o<br />

o<br />

x 180 k360<br />

(riêng họ nghiệm thứ hai cũng có thể viết là<br />

o<br />

o<br />

x180 k360<br />

).<br />

Nhận xét: Phương <strong>trình</strong> bậc nhất đối với một hàm số <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong> là một<br />

dạng toán cơ bản, không quá phức tạp nhưng là cơ sở để giải các <strong>phương</strong> <strong>trình</strong><br />

ở các dạng phức tạp hơn. Để giải các <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> dạng này, <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> bắt<br />

buộc phải nắm được các công thức nghiệm của các <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong><br />

cơ bản.<br />

Bài tập đề nghị 5<br />

Giải các <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> sau:<br />

1) 2sin x 3 0<br />

2) 3 tan x 1<br />

0<br />

3) 3cos x 5 0<br />

4) 3 cot x 3 0<br />

c) Phương <strong>trình</strong> bậc hai đối với một hàm số <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong><br />

Định nghĩa: Phương <strong>trình</strong> bậc hai đối với một hàm số <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong> là<br />

<strong>phương</strong> <strong>trình</strong> có dạng<br />

2<br />

at bt c<br />

và t làm một trong các hàm số <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong>.<br />

0 , trong đó a, b, c là các hằng sốa 0<br />

Cách giải: Đặt biểu thức <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong> làm ẩn phụ và đặt điều kiện <strong>cho</strong> ẩn<br />

phụ ( nếu có) rồi giải <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> theo ẩn phụ này. Cuối cùng, ta đưa về việc<br />

giải các <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong> cơ bản.<br />

Ví dụ 6: Giải các <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> sau:<br />

1)<br />

2)<br />

2<br />

2sin x 5sin x 3 0<br />

2 2<br />

2cos 2x3sin x<br />

2<br />

Phân tích:<br />

46

1) Phương <strong>trình</strong> (1) là <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> bậc hai đối với sin x . Để giải<br />

<strong>phương</strong> <strong>trình</strong> chỉ cần đặt sin x<br />

của <strong>phương</strong> <strong>trình</strong>.<br />

2) Phương <strong>trình</strong> (2) có xuất hiện<br />

t( với t 1) khi đó dễ dàng tìm được nghiệm<br />

2<br />

sin x và<br />

2<br />

cos 2x làm <strong>cho</strong> <strong>phương</strong><br />

<strong>trình</strong> chưa ở dạng tổng quát chính vì vậy bước đầu tiên <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> cần đưa<br />

<strong>phương</strong> <strong>trình</strong> về dạng tổng quát bằng cách hạ bậc<br />

<strong>phương</strong> <strong>trình</strong> (2) đưa về <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> bậc hai theo cos2x .<br />

Giải<br />

1)<br />

2<br />

2sin x 5sin x 3 0<br />

Đặt sin x<br />

t ( với t 1) ta được <strong>phương</strong> <strong>trình</strong><br />

t<br />

3, ( KTM )<br />

1<br />

2<br />

2t<br />

5t 3 0 <br />

<br />

1<br />

t2<br />

, ( TM )<br />

Với<br />

1<br />

t ta có<br />

2<br />

<br />

2<br />

1<br />

sin x <br />

2<br />

<br />

x k2<br />

<br />

6<br />

sin x sin <br />

, k<br />

.<br />

6 5<br />

x k2<br />

6<br />

<br />

Vậy nghiệm của <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> là x k2<br />

và<br />

6<br />

2)<br />

2 2 2 1<br />

cos2x<br />

2cos 2x 3sin x 2 2cos 2x<br />

3. 2<br />

2<br />

<br />

2<br />

4cos 2x<br />

3cos2x<br />

1 0<br />

Đặt t cos2 x, ( t 1). Khi đó ta được <strong>phương</strong> <strong>trình</strong>:<br />

t<br />

1 ( TM )<br />

<br />

2<br />

4t<br />

3t 1 0 1 t ( TM )<br />

<br />

4<br />

2 1<br />

cos2x<br />

sin x . Khi đó<br />

2<br />

5<br />

x k2<br />

, k .<br />

6<br />

47

Với t 1 ta có cos2x 1 2x k2 x k, k .<br />

Với<br />

một số lỗi:<br />

1<br />

t ta có<br />

4<br />

1 1<br />

cos2x 2x arccos <br />

<br />

k2<br />

4 4<br />

Vậy các nghiệm của <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> là:<br />

x k2 ,<br />

k và<br />

1 1<br />

x arccos k<br />

, k .<br />

2 4<br />

1 1<br />

x arccos k<br />

, k .<br />

2 4<br />

Nhận xét: Khi giải các dạng <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> này <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> thường mắc<br />

- Nhầm công thức hạ bậc<br />

sin<br />

1cos2x<br />

1cos2x<br />

x ; cos x<br />

2 2<br />

2 2<br />

- Khi đặt ẩn phụ thường bỏ <strong>qua</strong> điều kiện dẫn đến thừa hoặc thiếu<br />

nghiệm của <strong>phương</strong> <strong>trình</strong>.<br />

Bài tập đề nghị 6<br />

Giải các <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> sau:<br />

1)<br />

2)<br />

3)<br />

4)<br />

2<br />

3cos x 5cos x 2 0<br />

2<br />

3cot x 5cot x 7 0<br />

sin x cos x sin 2x<br />

2<br />

4 4 1<br />

2 cos x<br />

sin<br />

2 4<br />

x<br />

d) Phương <strong>trình</strong> bậc nhất đối với sinx và cosx<br />

Định nghĩa: Phương <strong>trình</strong> dạng asin x bcos<br />

x c trong đó, a, b,c là<br />

các hằng số và<br />

cosx.<br />

a<br />

Cách giải:<br />

b<br />

0 được gọi là <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> bậc nhất đối với sin x và<br />

2 2<br />

Xét <strong>phương</strong> <strong>trình</strong>:<br />

<br />

2 2<br />

asin x bcos x c a; b; c ; a b 0 (1)<br />

<br />

48

Chia cả 2 vế <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> (1) <strong>cho</strong><br />

Nhận thấy<br />

a<br />

b ta được:<br />

2 2<br />

a .sin x<br />

b .cos x<br />

c<br />

a b a b a b<br />

2 2 2 2 2 2<br />

2 2<br />

a b <br />

<br />

a b a b<br />

2 2 2 2<br />

<br />

a<br />

b<br />

cos ;<br />

a b a b<br />

2 2 2 2<br />

Khi đó <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> (1) có dạng:<br />

sin x.cos<br />

sin .cos<br />

x<br />

c<br />

sin x <br />

2 2<br />

a b<br />

1<br />

nên tồn tại sao <strong>cho</strong>:<br />

sin<br />

c<br />

a<br />

b<br />

2 2<br />

Đây là <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong> cơ bản đã biết cách giải.<br />

Chú ý:<br />

c<br />

1 có nghiệm 1 a b c<br />

2 2<br />

a b<br />

<br />

<br />

2 2 2<br />

1 vô nghiệm a b c<br />

2 2 2<br />

Từ điều kiện có nghiệm của <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> ta có thể tìm được giá trị lớn<br />

nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số có dạng:<br />

asin<br />

x bcos<br />

x c<br />

y <br />

a'sin x b'cos x c'<br />

2 2<br />

asin x bsin xcos x ccos<br />

x d<br />

2 2<br />

'sin 'sin cos 'cos '<br />

y a x b x x c x d<br />

Nhận xét:<br />

Ta có thể giải <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> dạng này theo cách khác như sau:<br />

x<br />

có phải là nghiệm<br />

2<br />

Kiểm tra xem với cos 0 x k2<br />

k<br />

<br />

của <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> hay không?<br />

49

x<br />

x<br />

. Đặt t tan ta có:<br />

2<br />

2<br />

Với cos 0 x k2<br />

k<br />

<br />

Khi đó <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> (1) trở thành:<br />

2t<br />

1<br />

t<br />

sin x<br />

; cos x<br />

1t<br />

1t<br />

2 2<br />

2<br />

1<br />

t 2t<br />

a. b.<br />

c<br />

2 2<br />

1t<br />

1t<br />

a ct 2 2bt c a 0<br />

Đây là <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> bậc hai mà ta đã biết cách giải.<br />

Ví dụ 7:<br />

a) Giải <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> sau: cos3xsin3x<br />

1<br />

b) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:<br />

Giải<br />

a) Cách 1:<br />

cos3xsin3x<br />

1<br />

Chia cả 2 vế của <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> <strong>cho</strong><br />

2cos xsin x1<br />

y <br />

2 cos xsin<br />

x<br />

2 ta được;<br />

1 1 1<br />

cos3x sin3x<br />

2 2 2<br />

<br />

cos cos3x sin sin3x<br />

cos<br />

4 4 4<br />

<br />

cos3x cos 3x k2<br />

4 4 4 4<br />

2<br />

3x k2 , k <br />

<br />

x k , k <br />

3<br />

<br />

<br />

<br />

3x k2 , k 2<br />

2<br />

x k , k <br />

6 3<br />

Vậy các nghiệm của <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> là<br />

2<br />

50

Cách 2:<br />

Với<br />

2 <br />

x k , k và<br />

3<br />

2 <br />

x k , k .<br />

6 3<br />

3x cos 0 không thỏa mãn <strong>phương</strong> <strong>trình</strong>.<br />

2<br />

3x<br />

2<br />

đặt<br />

2 3 3<br />

Với cos 0 x k k<br />

<br />

2t<br />

2t<br />

sin3 x<br />

; cos3x<br />

1t<br />

1t<br />

Khi đó <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> đã <strong>cho</strong> trở thành:<br />

2<br />

1<br />

t 2t<br />

<br />

1t<br />

1t<br />

2 2<br />

2 2<br />

3x<br />

t tan ta có: 2<br />

2 t<br />

0<br />

1<br />

2t<br />

2t<br />

0 <br />

t<br />

1<br />

3x 3x k 2<br />

2 2 3<br />

Với t 0 tan 0<br />

k x k<br />

<br />

3x 3x k 2<br />

2 2 4 6 3<br />

Với t 1 tan 1<br />

k x <br />

k <br />

Vậy nghiệm của <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> là:<br />

b)<br />

2cos xsin x1<br />

y <br />

2 cos xsin<br />

x<br />

2 <br />

x k , k và<br />

3<br />

*<br />

<br />

Xét <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> * với ẩn số x, ta có:<br />

<br />

2 cos x sin x 2 2 cosx 0, x<br />

4 <br />

Khi đó: * <br />

2 <br />

x k , k .<br />

6 3<br />

y 2 cos x sin x 2cos x sin x 1<br />

<br />

y 1 sin x y 2 cos x 2y<br />

1<br />

* có nghiệm y 1 y 2 2y<br />

1<br />

<br />

2 2 2<br />

2<br />

2y<br />

6y<br />

4 0<br />

51

Vậy<br />

3 17 3<br />

17<br />

y <br />

2 2<br />

3 17 3 17<br />

max y ; min y<br />

2 2<br />

Bài tập đề nghị 7<br />

1. Giải các <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> sau<br />

a) 3sin xcos x<br />

2<br />

b) cos2 xsin 2 x<br />

2<br />

c)<br />

5<br />

3sin2 x4cos2<br />

x<br />

2<br />

d) sin x 2sin 2 x sin3 x 3<br />

2. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:<br />

cos<br />

y <br />

2<br />

x sin xcos<br />

x<br />

2<br />

1<br />

sin x<br />

3. Chứng minh x , ta có:<br />

4 71 2sin x cos x 4 71<br />

<br />

<br />

<br />

11 sin x2cos x4 11<br />

e) Phương <strong>trình</strong> thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx<br />

Xét <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> dạng<br />

a x b x x x<br />

2 2<br />

sin sin cos cos 0<br />

Trong đó a,b,c là những số đã <strong>cho</strong>, với a 0 hoặc b 0 hoặc c 0 .<br />

Chúng được gọi là <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> thuần nhất bậc hai đối với sin x và cosx<br />

Cách giải: Chia hai vế <strong>cho</strong><br />

<strong>phương</strong> <strong>trình</strong> đối với tan x , hoặc chia hai vế <strong>cho</strong><br />

sin x 0 ) để đưa về <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> đối với cot x .<br />

2<br />

cos x ( với điều kiện cos x 0 ) để đưa về<br />

2<br />

sin x ( với điều kiện<br />

Chú ý: Nếu không xét trường hợp cosx 0 mà chia hai vế <strong>cho</strong><br />

2<br />

cos x thì xảy ra trường hợp mất nghiệm x k<br />

; k .<br />

<br />

2<br />

52

Nhận xét:<br />

- Từ <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> thuần nhất bậc hai đối với sin x và cosx <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> có<br />

thể rút ra cách giải <strong>cho</strong> <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> bậc ba, bậc bốn,…<strong>tư</strong>ơng tự như <strong>phương</strong><br />

<strong>trình</strong> bậc hai.<br />

2 2<br />

- Phương <strong>trình</strong> asin x bsin xcos x ccos x 0 khi a 0 hoặc c 0<br />

có thể được giải gọn hơn bằng cách đưa về <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> tích.<br />

- Đối với <strong>phương</strong> <strong>trình</strong>:<br />

a x b x x c x d a b c d a b c<br />

2 2 2 2 2<br />

sin sin cos cos , , , ; 0<br />

ta có thể quy về <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> thuần nhất bậc hai đối với sin x và cosx bằng<br />

cách viết d dưới dạng d d sin<br />

2 x cos<br />

2 x<br />

Ví dụ 8: Giải các <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> sau:<br />

1)<br />

2)<br />

3)<br />

2 2<br />

4sin x 5sin xcos x 6cos x 0<br />

2 2<br />

cos x 2sin xcos x 5sin x 2<br />

2 2<br />

4cos x 3sin xcos x 3sin x 1<br />

Phân tích: Phương <strong>trình</strong> (1) và (2) đều là <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> thuần nhất bậc<br />

<br />

<br />

hai. Để giải <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> này ta chia hai vế của <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> <strong>cho</strong><br />

2<br />

sin x hoặc<br />

2<br />

cos x<br />

Giải<br />

1)<br />

2 2<br />

4sin x 5sin xcos x 6cos x 0<br />

Với cos x 0 sinx 1 VT 4<br />

VP . Vậy cos x 0 không thỏa<br />

mãn <strong>phương</strong> <strong>trình</strong>.<br />

Với cos x 0 chia 2 vế <strong>cho</strong><br />

2<br />

cos x ta được<br />

2<br />

4tan x 5tan x 6 0<br />

tan x 2 xarctan 2 k<br />

<br />

3 <br />

<br />

3 ; k .<br />

<br />

<br />

tan x x arctan <br />

k<br />

4 <br />

4 <br />

Vậy nghiệm của <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> là:<br />

53

2)<br />

3 <br />

x arctan 2 k; x arctan k; k .<br />

4 <br />

2 2<br />

cos x 2sin xcos x 5sin x 2<br />

Với cos x 0 ta có VT 5<br />

VP . Do đó cos x 0 không thỏa mãn<br />

<strong>phương</strong> <strong>trình</strong>.<br />

Với cos x 0 chia 2 vế <strong>cho</strong><br />

2 2<br />

1 2tan x 5tan x 2(1 tan x)<br />

<br />

2<br />

3tan x 2tan x 1 0<br />

2<br />

cos x ta được<br />

<br />

tan x 1 <br />

x k<br />

, k <br />

4<br />

<br />

1 <br />

tan<br />

x 1<br />

3 x arctan , k .<br />

3<br />

Kết hợp điều kiện ta có các nghiệm của <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> là<br />

<br />

x k<br />

, k và<br />

4<br />

3)<br />

1<br />

xarctan , k<br />

.<br />

3<br />

2 2<br />

4cos x 3sin xcos x 3sin x 1<br />

Với cos x 0 ta có VT 3<br />

VP . Do đó cos x 0 không thỏa mãn<br />

<strong>phương</strong> <strong>trình</strong>.<br />

<br />

Với cos x 0<br />

x k chia 2 vế <strong>cho</strong><br />

2<br />

4 3tan 3tan 1<br />

tan<br />

2 2<br />

x x x<br />

2<br />

2tan x 3tan x 3 0 ( vô nghiệm)<br />

Vậy <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> đã <strong>cho</strong> vô nghiệm.<br />

Bài tập đề nghị 8<br />

Giải các <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> sau:<br />

1)<br />

2)<br />

3)<br />

2 2<br />

sin x 2sin 2x 3cos x 0<br />

2 2<br />

2sin x 5sin 2x cos x 2<br />

sin x sin2x 2cos x <br />

2<br />

2 2 1<br />

2<br />

cos x ta được<br />

54

4)<br />

2 2<br />

2cos x 3 3sin 2x 4sin x 4<br />

2.3.2. Các <strong>phương</strong> pháp giải cơ bản<br />

a) Phương pháp biến đổi <strong>tư</strong>ơng đương<br />

Phương pháp: Sử dụng công thức <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong> đã <strong>học</strong> thực hiện các<br />

phép biến đổi đại số và <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong> đưa <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> về dạng quen thuộc đã<br />

biết cách giải..<br />

Ví dụ 1: Giải các <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> sau:<br />

1) cos3x cos4x cos5x<br />

0<br />

2) 2sin xcot x 0<br />

Phân tích: Đây là các <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong> cơ bản khoog quá phức<br />

tạp. Để giải các <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> này <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> cần nhớ được các công thức biến<br />

đổi <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong> để đưa <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> về dạng <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong> cơ bản<br />

đã biết cách giải.<br />

Giải<br />

1) cos3x cos4x cos5x<br />

0<br />

cos3x cos5x cos4x<br />

0<br />

2cos4xcos x cos4x<br />

0<br />

cos4 x(2cos x1) 0<br />

<br />

<br />

cos4x 0<br />

<br />

4 x k<br />

, k x k , k<br />

2<br />

<br />

<br />

8 4<br />

<br />

1 <br />

<br />

cos<br />

x <br />

<br />

2 x k2 , k . <br />

<br />

x k2 , k .<br />

<br />

3 <br />

3<br />

Vậy các nghiệm của <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> là<br />

<br />

<br />

x k , k và x k2 , k <br />

8 4<br />

3<br />

2) 2sin xcot x 0 (ĐK: sin x 0 x k )<br />

cos x<br />

2sin xcos x. 0<br />

sin x<br />

<br />

<br />

2<br />

2<br />

2cos x 0 cos x 0 x k<br />

, k .<br />

55

Các giá trị này thỏa mãn điều kiện của <strong>phương</strong> <strong>trình</strong>. Vậy các nghiệm<br />

<br />

của <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> là x k<br />

, k .<br />

2<br />

Nhận xét:<br />

Khi giải <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong> bằng <strong>phương</strong> pháp biến đổi <strong>tư</strong>ơng<br />

đương <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> cần chú ý đến mối liên hệ giữa các cung của các hàm <strong>lượng</strong><br />

<strong>giác</strong>, mối liên hệ này sẽ chỉ đường <strong>cho</strong> cách biến đổi <strong>phương</strong> <strong>trình</strong>.<br />

hơn.<br />

Bài tập đề nghị 1:<br />

Giải các <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> sau:<br />

<br />

<br />

1) sin xsin 4x 2cos<br />

x<br />

3cos xsin 4x<br />

6 <br />

2) 2cos2x sin2x 2sin x cos x<br />

3) cos2x cos8x cos6x<br />

1<br />

4) x x x x<br />

sin4 4sin cos4 4cos 1<br />

b) Phương pháp đặt ẩn phụ<br />

Phương pháp: Có 2 loại đặt ẩn phụ<br />

(1) Đặt ẩn phụ, đưa <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> đã <strong>cho</strong> về <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> mới dễ giải<br />

(2) Đặt ẩn phụ đưa <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> đã <strong>cho</strong> về hệ <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> đại số.<br />

Phụ thuộc vào mỗi <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> mà ta phải biết đặt ẩn phụ một cách<br />

khéo léo để có được một <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> mới đơn giản hơn, dễ giải hơn.<br />

Thông thường trong Phương pháp đặt ẩn phụ để giải <strong>phương</strong> <strong>trình</strong><br />

<strong>lượng</strong> <strong>giác</strong> ta thường gặp 2 loại đặt ẩn phụ sau:<br />

Đổi biến dưới hàm <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong>.<br />

Đặt cả biểu thức <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong> làm ẩn phụ<br />

Nhận xét: Một số <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong> có thể giải được bằng cách<br />

quy về <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> đại số <strong>qua</strong> một số phép đặt ẩn phụ thường gặp:<br />

Đặt t sin x; t cos x thì t 1<br />

56

Đặt t tan x; t cot x thì t <br />

Đặt t asin x bcos<br />

x thì<br />

Đặt t tan x cot x thì t 2...<br />

2 2<br />

t a b<br />

Ví dụ 2: Giải các <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> sau:<br />

1)<br />

2)<br />

3)<br />

4)<br />

Giải<br />

1)<br />

2<br />

3sin x 4cos x 2 0<br />

3<br />

x 1 3x<br />

sin sin <br />

10 2 2 10 2 <br />

2 3 2 3<br />

tan x tan x tan x cot x cot x cot x 6<br />

6<br />

3cos x 4sin x 0<br />

3cos x4sin x1<br />

<br />

2<br />

3sin x 4cos x 2 0<br />

<br />

2<br />

3(1 cos x) 4cos x 2 0<br />

<br />

2<br />

3cos x 4cos x 1 0 (*)<br />

Đặt t cos x, ( t 1) . Khi đó <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> (*) trở thành:<br />

2<br />

7<br />

t<br />

<br />

2<br />

2 7<br />

t<br />

<br />

3<br />

2<br />

3t<br />

4t1 0 <br />

<br />

<br />

<br />

TM<br />

<br />

KTM<br />

<br />

Với<br />

2<br />

7<br />

t ta có<br />

3<br />

cos x <br />

2<br />

7<br />

3<br />

2<br />

7 <br />

x arccos<br />

k2 , k .<br />

3 <br />

Vậy các nghiệm của <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> là:<br />

2<br />

7 <br />

x arccos<br />

k2 , k .<br />

3 <br />

57

3<br />

x 1 3x<br />

2) sin sin <br />

10 2 2 10 2 <br />

3 3 3<br />

Ta có: sin x <br />

sin x <br />

<br />

<br />

sin3<br />

x <br />

<br />

10 2<br />

<br />

10 2<br />

<br />

<br />

10 2 <br />

3<br />

x 3<br />

Đặt t x 2t<br />

. Khi đó <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> trở thành:<br />

10 2 5<br />

1<br />

sint sin3t sint 4sin t 1 0 sint 2cos2t<br />

1<br />

2<br />

2<br />

<br />

sint<br />

0 t k<br />

2t k2<br />

<br />

1 <br />

<br />

<br />

cos2t<br />

2t k2<br />

2t k2<br />

2 3 3<br />

3<br />

3<br />

<br />

2t<br />

k2<br />

5 5<br />

hay<br />

3 3 <br />

2t<br />

k2<br />

5 5 3<br />

3<br />

<br />

x 2k<br />

5<br />

<br />

4<br />

x 2 k<br />

, k .<br />

5<br />

<br />

<br />

14<br />

x 2k<br />

5<br />

Vậy các nghiệm của <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> là<br />

3<br />

4<br />

14<br />

x 2k<br />

; x 2k<br />

và x 2k<br />

(k ).<br />

5<br />

5<br />

5<br />

3)<br />

2 3 2 3<br />

tan x tan x tan x cot x cot x cot x 6<br />

sin x 0<br />

k<br />

Điều kiện: sin 2x 0 x<br />

cos x 0 2<br />

1 2<br />

Đặt t tan x cot x t t 2<br />

sin xcos x sin 2x<br />

2 2 2<br />

tan x cot x t 2<br />

<br />

<br />

2 3<br />

t t 3 t 3t<br />

<br />

3 3 2 2<br />

tan x cot x tan x cot x tan x tan xcot x cot x<br />

<br />

58

Phương <strong>trình</strong> đã <strong>cho</strong> trở thành:<br />

3 2<br />

<br />

t 3t t 2 t 6<br />

3 2<br />

t t t <br />

2 8 0<br />

2<br />

<br />

t 2 t 3t 4 0 t 2<br />

2<br />

t 2 2 sin 2x1<br />

sin 2x<br />

<br />

<br />

2x k2<br />

x k<br />

k<br />

<br />

2 4<br />

Vậy <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> đã <strong>cho</strong> có một họ nghiệm:<br />

4)<br />

<br />

x k; k .<br />

4<br />

6<br />

3cos x 4sin x 0<br />

3cos x4sin x1<br />

<br />

Đặt t 3cos x 4sin x 1<br />

Do 5 3cos x 4sin x 1 5 4 t 6<br />

Vậy t 4;6 \ 0<br />

<br />

Phương <strong>trình</strong> đã <strong>cho</strong> trở thành:<br />

2 t<br />

1<br />

6<br />

t 7 t 7t<br />

6 0 <br />

t<br />

<br />

t<br />

6<br />

Với t 1: 3cos x4sin x<br />

0<br />

3 3<br />

tan x x arctan k; k .<br />

4 4<br />

Với t 6: 3cos x 4sin x 5<br />

3 4<br />

cos x sin x<br />

1<br />

5 5<br />

Thay 3 cos ; 4 sin<br />

. Ta được:<br />

5 5<br />

cos xcos<br />

sin xsin<br />

1<br />

<br />

59

cos x 1 x k2 x k2 ; k .<br />

Vậy <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> có 2 họ nghiệm:<br />

3<br />

x arctan k; x k2 ; k .<br />

4<br />

Chú ý: Sai lầm <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> thường gặp khi giải <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong><br />

bằng <strong>phương</strong> pháp đặt ẩn phụ là không đặt điều kiện <strong>cho</strong> ẩn phụ đẫn đến thừa<br />

hoặc thiếu nghiệm.<br />

Bài tập đề nghị 2<br />

Giải các <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> sau:<br />

1)<br />

cos2 4sin 8cos<br />

4 6<br />

x x x<br />

x<br />

2) 2 cos x 2tan 2<br />

3) <br />

4)<br />

1 tan x 1 sin2x 1<br />

tan x<br />

cos<br />

2<br />

1 1<br />

x cos x<br />

2<br />

cos x cos x<br />

1 5<br />

cot tan cot 2 0<br />

x <br />

2<br />

5) x x x<br />

2<br />

cos 2<br />

c) Phương pháp đối lập<br />

Giả sử ta cần giải <strong>phương</strong> <strong>trình</strong>:<br />

Nếu ta chứng minh được:<br />

thì <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> *<br />

<br />

f ( x) g( x),<br />

x D (*)<br />

<br />

<br />

f x a;<br />

x D<br />

<br />

g x a ; x D<br />

<br />

<br />

f x<br />

<br />

g x<br />

a<br />

a<br />

Để đánh giá 2 vế của một <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> ta thường sử dụng các bất đẳng<br />

thức đại số như bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức Bunhiacopxki.<br />

Bất đẳng thức Cauchy:<br />

60

Cho a 0; i 1,2,..., n<br />

i<br />

ta có:<br />

a a ... a<br />

1 2<br />

n<br />

n<br />

<br />

n<br />

a a ... a<br />

Dấu " " xảy ra khi và chi khi a a ... a .<br />

1 2 n<br />

Bất đẳng thức Bunhiacopxki<br />

Cho hai dãy số thực: a1; a2;...; a<br />

n<br />

b1; b2;...; b n<br />

Ta có<br />

a b a b a b 2 a 2 a 2 ...a 2 b 2 b 2 ...<br />

b<br />

2<br />

1 1 2 2 n n 1 2 n 1 2<br />

n <br />

1 2<br />

a1 a2<br />

an<br />

Dấu " " xảy ra khi và chi khi ... <br />

b b b<br />

1 2<br />

Ví dụ 3: Giải các <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> <strong>lượng</strong> sau:<br />

1)<br />

sin x cos x 2(sin x cos x) cos2x<br />

4<br />

2) sin<br />

8 8 10 10 5<br />

xcos<br />

10 10<br />

x<br />

8 8 1<br />

sin<br />

x<br />

cos<br />

6 6<br />

x<br />

x<br />

2 2<br />

sin 2x<br />

cos 2<br />

3) sin xcos<br />

x<br />

8<br />

2 2<br />

4) sin x 2 sin x sin x 2 sin x 3<br />

Giải<br />

1)<br />

sin x cos x 2(sin x cos x) cos2x<br />

4<br />

8 8 10 10 5<br />

2 8 2 8 5<br />

(1 2sin x)sin x (2cos x 1)cos x cos2x<br />

4<br />

8 8 5<br />

cos2xsin x cos2xcos x cos2x<br />

4<br />

cos2x<br />

0<br />

8 8 5<br />

(sin x cos x)cos2x cos2x<br />

<br />

8 8 5<br />

4 sin xcos<br />

x<br />

<br />

4<br />

n<br />

n<br />

61

cos2x 0 2 x k<br />

x k , k .<br />

2 4 2<br />

sin<br />

xcos<br />

x . Ta có nhận xét<br />

4<br />

8 8 5<br />

8 8 8<br />

sin x cos x sin x 1<br />

nên<br />

8 8 5<br />

<strong>phương</strong> <strong>trình</strong> sin xcos<br />

x vô nghiệm.<br />

4<br />

<br />

Vậy nghiệm của <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> ban đầu là x k , k .<br />

4 2<br />

2) sin<br />

xcos<br />

10 10<br />

Ta có nhận xét<br />

x<br />

sin<br />

x<br />

cos<br />

6 6<br />

x<br />

x<br />

2 2<br />

sin 2x<br />

cos 2<br />

3 2 2<br />

(sin x cos x) 3sin xcos x<br />

2<br />

1<br />

sin 2x<br />

4 1<br />

2 2 2<br />

4(sin 2x cos 2 x) 3sin 2x 2<br />

4 3sin 2x<br />

4<br />

VP <br />

Mặt khác:<br />

<br />

<br />

sin<br />

10 2<br />

cos x<br />

cos x 1 10 10 1 2 2 1<br />

x<br />

sin<br />

10 2<br />

x<br />

3<br />

VT (sin x cos x) (sin x cos x)<br />

<br />

4 4 4<br />

Do đó:<br />

sin<br />

10 10<br />

6 6<br />

sin x<br />

cos x 1<br />

2 2<br />

sin 2x<br />

cos 2x<br />

4<br />

x cos x VT <br />

cos x 0<br />

<br />

<br />

cos x 1<br />

<br />

<br />

10 2<br />

<br />

<br />

sin x<br />

sin x sin x 0 sin x 0<br />

<br />

sin x 1<br />

10 2<br />

cos x cos x cos x 0<br />

<br />

sin 2x 0 2 x k<br />

x k , k .<br />

2<br />

<br />

Vậy nghiệm của <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> là x k , k .<br />

2<br />

Như vậy bằng nhận xét<br />

có thể giải bài toán dễ dàng.<br />

n<br />

2 n 2<br />

cos x cos x, sin x sin x ( n 2, n )<br />

ta<br />

62

3)<br />

sin<br />

xcos<br />

x (1)<br />

8<br />

8 8 1<br />

Sử dụng bất đẳng thức Cosi ta có nhận xét:<br />

4 4 4<br />

<br />

8 1 1 1 1 2<br />

cos 2x cos 2x<br />

2 2 2 2<br />

<br />

<br />

4 4 4<br />

8 1 1 1 1 2<br />

<br />

sin 2x sin 2x<br />

2 2 2 2<br />

Cộng vế với vế ta có:<br />

4<br />

8 8 1<br />

1 2 2<br />

sin 2x cos 2x 6 (sin 2x cos 2 x)<br />

2<br />

2<br />

8 8 1<br />

sin 2x cos 2x<br />

8<br />

4<br />

<br />

8 1<br />

<br />

cos 2x<br />

<br />

2 <br />

<br />

4<br />

Do đó (1) 8 1<br />

<br />

<br />

sin 2x<br />

<br />

2<br />

<br />

1<br />

<br />

2<br />

2 2<br />

sin 2x cos 2x cos4x<br />

0<br />

<br />

4 x k<br />

x k , k . <br />

2 8 4<br />

Vậy nghiệm của <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> là:<br />

<br />

x k , k . <br />

8 4<br />

4)<br />

2 2<br />

sin x 2 sin x sin x 2 sin x 3<br />

Ta có:<br />

VT (1.sin x 2 sin x sin x 2 sin x)<br />

2 2 2 2<br />

<br />

2 2 2 2<br />

(1 2 sin x sin x)(sin x 1 2 sin x) 9<br />

VT<br />

3<br />

Vậy <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> vô nghiệm<br />

63

Bài tập đề nghị 3<br />

Giải các <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> sau:<br />

1) 2 x 3 x 2 x<br />

x<br />

2cos 2 2<br />

x<br />

2) cos3x 2 cos 2 3x 21 sin 2 2x<br />

2 2 2<br />

3) 2<br />

3 tan x tan 2x tan 3x tan xtan2x tan3x<br />

4)<br />

1 1<br />

2 2<br />

2 2<br />

cos x sin x 2<br />

64

TIỂU KẾT CHƢƠNG 2<br />

Chương 2 đã tập trung <strong>trình</strong> bày một số vấn đề sau:<br />

- Định hướng phát <strong>triển</strong> <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> <strong>tư</strong> <strong>duy</strong> <strong>cho</strong> <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> <strong>THPT</strong> trong <strong>dạy</strong><br />

<strong>học</strong> môn toán.<br />

- Biện pháp phát <strong>triển</strong> <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> <strong>tư</strong> <strong>duy</strong> <strong>cho</strong> <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> trong <strong>dạy</strong> <strong>học</strong><br />

<strong>phương</strong> <strong>trình</strong> <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong> lớp 11 bao gồm: Rèn luyện một số hoạt động trí tuệ<br />

và phát <strong>triển</strong> một số loại hình <strong>tư</strong> <strong>duy</strong> Toán <strong>học</strong>.<br />

- Xây dựng hệ thống bài tập bao gồm các dạng toán liên <strong>qua</strong>n và<br />

<strong>phương</strong> pháp giải cơ bản.<br />

65

CHƢƠNG 3. THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM<br />

Chương này mô tả quá <strong>trình</strong> thực thực nghiệm sư phạm trên cơ sở các<br />

biện pháp phát <strong>triển</strong> <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> <strong>tư</strong> <strong>duy</strong> khi <strong>dạy</strong> <strong>học</strong> <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong> đã<br />

đề xuất ở chương 2. Chúng tôi tiến hành <strong>dạy</strong> thực nghiệm ở một lớp, sau đó<br />

thu thập ý kiến của mỗi <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> về mức độ hiểu bài và hứng thú với nội dung<br />

bài <strong>học</strong>. Từ đó đánh giá kết quả thu được thông <strong>qua</strong> phiếu đánh giá của <strong>học</strong><br />

<strong>sinh</strong> đối với hai tiết <strong>học</strong> và đưa ra kết luận thực nghiệm sư phạm.<br />

3.1. Mục đích, yêu cầu thực nghiệm<br />

Mục đích: Bước đầu kiểm nghiệm tính khả thi của việc sử dụng các<br />

biện pháp “<strong>Phát</strong> <strong>triển</strong> <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> <strong>tư</strong> <strong>duy</strong> <strong>cho</strong> <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> <strong>THPT</strong> <strong>qua</strong> <strong>dạy</strong> <strong>học</strong><br />

<strong>phương</strong> <strong>trình</strong> <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong>” vào <strong>dạy</strong> <strong>học</strong> Toán nội dung <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong><br />

lớp 11 nhằm nâng cao kết quả <strong>dạy</strong> và <strong>học</strong>.<br />

Yêu cầu: Bảo đảm tính khách <strong>qua</strong>n của các thực nghiệm, quá <strong>trình</strong> thực<br />

nghiệm diễn ra sát với thực tế, phù hợp với môi trường <strong>học</strong> tập của <strong>học</strong> <strong>sinh</strong>.<br />

3.2. Nội dung thực nghiệm<br />

Tiến hành tổ chức <strong>dạy</strong> thực nghiệm 1 tiết bài “Luyện tập giải các<br />

<strong>phương</strong> <strong>trình</strong> <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong> thường gặp”. Trong giờ thực nghiệm, các nội dung<br />

<strong>dạy</strong> <strong>học</strong> được lựa chọn phù hợp, đáp ứng mục tiêu của bài <strong>học</strong>.<br />

3.3. Tổ chức thực nghiệm<br />

- Địa điểm thực nghiệm: Trường <strong>THPT</strong> Đông Anh, Hà Nội.<br />

- Đối <strong>tư</strong>ợng thực nghiệm: lớp 11A2, sĩ số 45.<br />

- Học <strong>lực</strong>: Hầu hết <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> trong lớp xếp loại <strong>học</strong> <strong>lực</strong> khá trở lên.<br />

Quy <strong>trình</strong> thực nghiệm:<br />

- Giáo viên <strong>dạy</strong> <strong>học</strong> 1 tiết bài “ Luyện tập giải các <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> <strong>lượng</strong><br />

<strong>giác</strong> thường gặp” theo 2 giáo án khác nhau với nội dung bài tập khác nhau.<br />

Một giáo án thông thường của giáo viên đã chuẩn bị và một giáo án thực<br />

nghiệm.<br />

66

- Tiến hành thu thập ý kiến của mỗi <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> thông <strong>qua</strong> phiếu đánh giá<br />

tiết <strong>dạy</strong>. Từ đó, xác định được tính hiệu quả của các biện pháp này.<br />

3.4. Đánh giá kết quả thực nghiệm<br />

Cách thức đánh giá: Kết quả thực nghiệm được đánh giá thông <strong>qua</strong><br />

hình thức bỏ phiếu nhận xét đối với hai tiết <strong>dạy</strong>.<br />

Kết quả: Đa số <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> có nhận xét như sau:<br />

Ưu điểm:<br />

- Tiết <strong>học</strong> thực nghiệm sôi nổi, nhiều hoạt động thú vị.<br />

- Bài tập trong giờ <strong>học</strong> thực nghiệm đa dạng, phù hợp với <strong>năng</strong> <strong>lực</strong><br />

của <strong>học</strong> <strong>sinh</strong>.<br />

- Học <strong>sinh</strong> được phát <strong>triển</strong> khả <strong>năng</strong> <strong>tư</strong> <strong>duy</strong> của mình thông <strong>qua</strong> việc<br />

sáng tạo các bài toán mới.<br />

- Tự rút ra những sai lầm thường gặp thông <strong>qua</strong> những bài toán tìm<br />

lỗi sai.<br />

Nhược điểm: Một số <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> chưa quen với <strong>phương</strong> pháp <strong>học</strong> tập mới.<br />

Qua kết quả khảo sát và quá <strong>trình</strong> <strong>dạy</strong> thực nghiệm thu được một số kết<br />

quả sau:<br />

Về nội dung: Nội dung thực nghiệm góp phần phát <strong>triển</strong> <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> <strong>tư</strong><br />

<strong>duy</strong> của <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> trong <strong>dạy</strong> <strong>học</strong> nội dung <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong>.<br />

Về <strong>phương</strong> pháp: Đã áp dụng một số <strong>phương</strong> pháp phát <strong>triển</strong> <strong>năng</strong> <strong>lực</strong><br />

<strong>lực</strong> <strong>tư</strong> <strong>duy</strong> <strong>cho</strong> <strong>học</strong> <strong>sinh</strong>: Thứ nhất, rèn luyện một số thao tác hoạt động trí tuệ:<br />

Phân tích, tổng hợp, đặc biệt hóa, tổng quát hóa,…Thứ hai, phát <strong>triển</strong> một số<br />

loại hình <strong>tư</strong> <strong>duy</strong> Toán <strong>học</strong>: Tư <strong>duy</strong> phê phán, <strong>tư</strong> <strong>duy</strong> sáng tạo.<br />

Khả <strong>năng</strong> tiếp thu của <strong>học</strong> <strong>sinh</strong>: Đa số các <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> tiếp thu tốt, hứng<br />

thú với nội dung bài <strong>học</strong> trong tiết <strong>học</strong> thực nghiệm.<br />

Nhận xét quá <strong>trình</strong> thực nghiệm:<br />

Trong quá <strong>trình</strong> tiến hành thực nghiệm, chúng tôi đã giành thời gian<br />

nghiên cứu tài liệu, soạn giáo án, tìm hiểu tình hình của lớp thực nghiệm để<br />

<strong>lực</strong> chọn các nội dung và <strong>phương</strong> pháp <strong>dạy</strong> <strong>học</strong> phù hợp nhằm đạt được hiệu<br />

quả tốt nhất.<br />

67

Mặc dù, thời gian thực nghiệm chưa nhiều, nhưng từ kết quả thực<br />

nghiệm thu được bước đầu <strong>cho</strong> thấy tính khả thi của đề tài. Ở lớp thực<br />

nghiệm, <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> đã có sự thay đổi tích cực về <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> <strong>tư</strong> <strong>duy</strong> Toán <strong>học</strong> từ<br />

đó thúc đẩy hứng thú <strong>học</strong> tập đối với nội dung <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong> nói<br />

riêng và chương <strong>trình</strong> môn Toán nói chung.<br />

68

TIỂU KẾT CHƢƠNG 3<br />

Chương 3 tiến hành thực nghiệm sư phạm ở lớp 11A 2 của trường<br />

<strong>THPT</strong> Đông Anh, Hà Nội nhằm đánh giá tính khả thi và tính hiệu quả của các<br />

biện phát <strong>triển</strong> <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> <strong>tư</strong> <strong>duy</strong> <strong>cho</strong> <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> <strong>THPT</strong> khi <strong>dạy</strong> <strong>học</strong> nội dung<br />

<strong>phương</strong> <strong>trình</strong> <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong> lớp 11.<br />

Vì thời gian có hạn nên quá <strong>trình</strong> thực nghiệm bước đầu <strong>cho</strong> thấy rằng:<br />

- Các biện pháp phù hợp với <strong>học</strong> <strong>sinh</strong>, phù hợp với yêu cầu giáo dục.<br />

- Học <strong>sinh</strong> được hình thành và phát <strong>triển</strong> các một số thao tác hoạt động<br />

trí tuệ: Phân tích, tổng hợp, đặc biệt hóa, tổng quát hóa,…và phát <strong>triển</strong> một số<br />

loại hình <strong>tư</strong> <strong>duy</strong> Toán <strong>học</strong>: Tư <strong>duy</strong> phê phán, <strong>tư</strong> <strong>duy</strong> sáng tạo.<br />

Tóm lại, kết quả thực nghiệm sư phạm đã phần nào kiểm nghiệm được<br />

tính khả thi và hiệu quả của đề tài.<br />

69

KẾT LUẬN<br />

Qua quá <strong>trình</strong> thực hiện, đề tài đã thu được một số kết quả sau:<br />

- Phần nào làm sáng tỏ khái niệm <strong>năng</strong> <strong>lực</strong>, <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> <strong>tư</strong> <strong>duy</strong> và phát<br />

<strong>triển</strong> <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> <strong>tư</strong> <strong>duy</strong>.<br />

- Tìm hiểu thực trạng <strong>dạy</strong> và <strong>học</strong> nội dung giải <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong><br />

trong chương <strong>trình</strong> toán <strong>THPT</strong>.<br />

- Bước đầu đề xuất giải pháp để nâng cao hiệu quả phát <strong>triển</strong> <strong>năng</strong> <strong>lực</strong><br />

<strong>tư</strong> <strong>duy</strong> <strong>cho</strong> <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> trong <strong>dạy</strong> <strong>học</strong>.<br />

- Điều tra, thực nghiệm sư phạm và đã xác định được tính khả thi của<br />

các <strong>phương</strong> án đề xuất.<br />

- Hoàn thành <strong>tư</strong>ơng đối nhiệm vụ nghiên cứu đề ra.<br />

Tuy nhiên, do khả <strong>năng</strong> và thời gian nghiên cứu có hạn nên kết quả của<br />

đề tài mới chỉ dừng lại ở những kết luận ban đầu, nhiều vấn đề vẫn chưa được<br />

phát <strong>triển</strong> sâu và không tránh khỏi những sai sót. Vì vậy, em rất mong nhận<br />

được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn để bổ sung thêm <strong>cho</strong> đề<br />

tài của mình.<br />

70

TÀI LIỆU THAM KHẢO<br />

[1]. Bộ Giáo dục và Đào tạo (2018), Chương <strong>trình</strong> giáo dục phổ thông môn<br />

Toán.<br />

[2]. Đậu Thế Cấp (hiệu đính), Nguyễn Tiến Dũng, Dương Tiến Đạt, Trần<br />

Phan Đông Hưng, Nguyễn Lê Thống Nhất, Các <strong>phương</strong> pháp giải toán<br />

<strong>THPT</strong> <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong> 11, NXB Đại <strong>học</strong> Quốc gia TP. Hồ Chí Minh.<br />

[3]. Nguyễn Thu Hương (2010), <strong>Phát</strong> <strong>triển</strong> <strong>tư</strong> <strong>duy</strong> <strong>cho</strong> <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> thông <strong>qua</strong><br />

<strong>dạy</strong> <strong>học</strong> chương “Tứ <strong>giác</strong>” lớp 8 trung <strong>học</strong> cơ sở, Luận văn Thạc sĩ Sư phạm<br />

Toán <strong>học</strong>, Trường Đại <strong>học</strong> Giáo dục – Đại <strong>học</strong> Quốc gia Hà Nội.<br />

[4]. Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Vũ Tuấn (Chủ biên), Đào Ngọc Nam, Lê<br />

Văn Tiến, Vũ Viết Yên, Đại số và Giải tích 11, NXB Giáo dục.<br />

[5]. Nguyễn Bá Kim, Phương pháp <strong>dạy</strong> <strong>học</strong> môn Toán, NXB Đại <strong>học</strong> Sư<br />

phạm.<br />

[6]. Vũ Tuấn (Chủ biên), Trần Văn Hạo, Đào Ngọc Nam, Phạm Phu, Lê Văn<br />

Tiến, Vũ Viết Yên, Bài tập Đại số và Giải tích 11, NXB Giáo dục.<br />

[7]. Nguyễn Thị Tươi (2015), <strong>Phát</strong> <strong>triển</strong> một số <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> <strong>tư</strong> <strong>duy</strong> Toán <strong>học</strong> <strong>cho</strong><br />

<strong>học</strong> <strong>sinh</strong> <strong>THPT</strong> <strong>qua</strong> <strong>dạy</strong> <strong>học</strong> <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> vô tỉ, Luận văn Thac sĩ Sư phạm<br />

Toán <strong>học</strong>, Trường Đại <strong>học</strong> Giáo dục – Đại <strong>học</strong> Quốc gia Hà Nội.<br />

[8]. Nguyễn Thế Thạch (chủ biên), Hướng dẫn thực hiện chuẩn kiến thức, kĩ<br />

<strong>năng</strong> môn Toán lớp 11, NXB Giáo dục Việt Nam.<br />

[9]. Đỗ Đức Thái (chủ biên), Dạy <strong>học</strong> phát <strong>triển</strong> <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> môn Toán trung<br />

<strong>học</strong> cơ sở, NXB Đại <strong>học</strong> Sư phạm.<br />

[10]. Chu Cẩm Thơ (2015), <strong>Phát</strong> <strong>triển</strong> <strong>tư</strong> <strong>duy</strong> thông <strong>qua</strong> <strong>dạy</strong> <strong>học</strong> môn Toán ở<br />

trường phổ thông, NXB Đại <strong>học</strong> Sư phạm Hà Nội.<br />

[11]. Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên), Đại số và<br />

Giải tích 11 nâng cao, NXB Giáo dục.<br />

71

[12]. Nguyễn Quang Uẩn (Chủ biên), Tâm lý <strong>học</strong> đại cương, NXB Đại <strong>học</strong> Sư<br />

phạm.<br />

72

PHỤ LỤC<br />

Phụ lục 1: Giáo án bài “ Luyện tập giải các <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong> thường<br />

gặp”.<br />

Giáo án thực nghiệm<br />

I. Mục tiêu<br />

1. Kiến thức<br />

Củng cố lại kiến thức cơ bản về một số <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong> thường<br />

gặp: Phương <strong>trình</strong> bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong> và <strong>phương</strong><br />

<strong>trình</strong> đưa về <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> bậc hai đối với một hàm số <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong>.<br />

2. Kỹ <strong>năng</strong><br />

- Nhận dạng được bài toán.<br />

- Vận dụng các cách biến đổi vào giải bài toán.<br />

- Vận dụng giải thành thạo các <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong> khác.<br />

3. Thái độ<br />

Tạo <strong>cho</strong> <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> tinh thần hợp tác, tích cực tham gia bài <strong>học</strong>, hứng thú<br />

trong tiếp thu kiến thức.<br />

4. Tư <strong>duy</strong><br />

<strong>Phát</strong> <strong>triển</strong> <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> <strong>tư</strong> <strong>duy</strong> <strong>cho</strong> <strong>học</strong> <strong>sinh</strong>: đặc biệt là <strong>tư</strong> <strong>duy</strong> phê phán và<br />

<strong>tư</strong> <strong>duy</strong> sáng tạo.<br />

II. Chuẩn bị<br />

1. Giáo viên: SGK; giáo án; phiếu <strong>học</strong> tập.<br />

2. Học <strong>sinh</strong>: SGK; vở ghi; bài cũ.<br />

III. Tiến <strong>trình</strong> bài <strong>dạy</strong><br />

1. Ổn định lớp: (1’)<br />

2. Kiểm tra bài cũ: (3’)<br />

73

Câu hỏi: Nêu dạng và cách giải của <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> bậc nhất và bậc hai<br />

đối với một hàm số <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong>.<br />

3. Bài mới<br />

Hoạt động của Hoạt động của Nội dung ghi bảng<br />

giáo viên<br />

<strong>học</strong> <strong>sinh</strong><br />

Hoạt động 1: Bài tập về <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> bậc nhất đối với một hàm số<br />

<strong>lượng</strong> <strong>giác</strong> (17’)<br />

HĐ 1: Giáo viên đưa<br />

đề bài tập 1<br />

Ghi đề bài<br />

Bài 1: Giải các <strong>phương</strong> <strong>trình</strong><br />

sau:<br />

H: Nhận xét gì về các<br />

<strong>phương</strong> <strong>trình</strong> đã <strong>cho</strong>?<br />

Nêu cách giải?<br />

HĐ 2: Gọi 3 <strong>học</strong> <strong>sinh</strong><br />

lên bảng <strong>trình</strong> bày.<br />

HĐ 3: Gọi 1 <strong>học</strong> <strong>sinh</strong><br />

nhận xét bài trên bảng.<br />

HĐ 5: Củng cố.<br />

+ Chia lớp thành các<br />

nhóm: 2 bàn một<br />

nhóm thảo luận 5 phút<br />

trả lời các câu hỏi<br />

trong phiếu <strong>học</strong> tập 1.<br />

+ Gọi đại diện của 4<br />

nhóm lên bảng <strong>trình</strong><br />

bày.<br />

+ Yêu cầu các nhóm<br />

còn lại so sánh kết quả<br />

và nhận xét.<br />

TL:<br />

+ Phương <strong>trình</strong> (1);<br />

(2) lần lượt là <strong>phương</strong><br />

<strong>trình</strong> bậc nhất đối với<br />

cos 2<br />

x và tan x .<br />

Cách giải: Chuyển vế<br />

rồi đưa về <strong>phương</strong><br />

<strong>trình</strong> <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong> cơ<br />

bản.<br />

+ Phương <strong>trình</strong> (3) là<br />

<strong>phương</strong> <strong>trình</strong> tích.<br />

Cách giải: Cho từng<br />

nhân tử bằng 0 và<br />

giải <strong>tư</strong>ơng tự như<br />

<strong>phương</strong> <strong>trình</strong> (1) và<br />

(2).<br />

x<br />

1)2cos 3 0<br />

2<br />

2) 3 tan x 1 0<br />

x x <br />

3) sin 1 2cos2 2 0<br />

Giải<br />

x<br />

1)2cos 3 0<br />

2<br />

x 3 5<br />

<br />

cos cos <br />

2 2 6 <br />

x 5<br />

k2 ; k<br />

.<br />

2 6<br />

5<br />

x k4 ; k .<br />

3<br />

Vậy nghiệm của <strong>phương</strong> <strong>trình</strong><br />

là:<br />

5<br />

x k4 ; k .<br />

3<br />

2) 3 tan x 1<br />

0 *<br />

<br />

<br />

Điều kiện: x k; k .<br />

2<br />

1 <br />

* tan x tan <br />

3 6 <br />

74

x k; k TM<br />

.<br />

6<br />

Vậy nghiệm của <strong>phương</strong> <strong>trình</strong><br />

là:<br />

<br />

x k; k .<br />

6<br />

x x <br />

3) sin 1 2cos2 2 0<br />

sin x 1 0<br />

<br />

2cos2x<br />

2 0<br />

sin x 1<br />

<br />

2<br />

cos2x<br />

<br />

2<br />

sin x 1 x k2<br />

2<br />

2 <br />

cos2x<br />

cos<br />

2 4<br />

<br />

2x k2 ;<br />

k <br />

4<br />

<br />

x k; k .<br />

2<br />

Vậy nghiệm của <strong>phương</strong> <strong>trình</strong><br />

là :<br />

<br />

x k; k .<br />

2<br />

Hoạt động 2: Bài tập về phƣơng <strong>trình</strong> bậc hai đối với một hàm số<br />

lƣợng <strong>giác</strong> (17’)<br />

HĐ 1: Giáo viên đưa Ghi đề bài vào vở Bài 2: Giải các <strong>phương</strong> <strong>trình</strong><br />

đề bài tập 2<br />

sau:<br />

2<br />

1) 3sin x 2sin x 5 0<br />

H1: Nhận xét gì về các TL:<br />

4 2<br />

2) tan x 2tan x1<br />

0<br />

<strong>phương</strong> <strong>trình</strong> đã <strong>cho</strong>? + Phương <strong>trình</strong> (1) là<br />

2 2<br />

Nêu cách giải? <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> bậc hai<br />

3)2sin x 5sin2x cos x 2<br />

với sin x .<br />

Cách giải: Đặt ẩn phụ<br />

Giải<br />

75

HĐ 2: Gọi 3 <strong>học</strong> <strong>sinh</strong><br />

lên bảng <strong>trình</strong> bày.<br />

HĐ 3: Gọi 1 <strong>học</strong> <strong>sinh</strong><br />

nhận xét bài trên bảng.<br />

H2: Với các <strong>phương</strong><br />

<strong>trình</strong> trên có cách giải<br />

nào khác không?<br />

HĐ 4: Củng cố<br />

+ Chia lớp thành các<br />

nhóm 2 bàn một nhóm<br />

thảo luận 5 phút trả<br />

lời các câu hỏi trong<br />

phiếu <strong>học</strong> tập 2.<br />

+ Gọi đại diện của 4<br />

nhóm lên bảng <strong>trình</strong><br />

bày.<br />

+ Yêu cầu các nhóm<br />

còn lại so sánh kết quả<br />

rồi giải <strong>phương</strong> <strong>trình</strong><br />

theo ẩn phụ.<br />

x 2<br />

2<br />

1 tan x<br />

2<br />

Với cos x 0 sin x<br />

1<br />

2<br />

Đặt sin x t 1 t 1<br />

được:<br />

t<br />

1<br />

TM<br />

<br />

2<br />

3t<br />

2t 5 0 <br />

5<br />

t KTM<br />

3<br />

Với t 1 ta có:<br />

<br />

x x k<br />

2<br />

k <br />

là:<br />

<br />

x k2 ; k .<br />

2<br />

2) Điều kiện: cos x 0<br />

<br />

x k; k <br />

2<br />

.<br />

2<br />

Đặt t tan x; t 0 ta được:<br />

2 t<br />

1<br />

t 2t1 0 <br />

t<br />

1<br />

Với t 1 ta có:<br />

2 tan x 1<br />

tan x 1 <br />

tan x 1<br />

<br />

<br />

x k<br />

<br />

4<br />

<br />

; k <br />

<br />

x k<br />

4<br />

.<br />

2<br />

x x <br />

2<br />

x <br />

2<br />

2sin 10sin cos<br />

2<br />

cos<br />

2 2<br />

2sin x<br />

cos x<br />

<br />

2<br />

x x x <br />

2<br />

x <br />

+ Phương <strong>trình</strong> (2) là<br />

<strong>phương</strong> <strong>trình</strong> bậc hai<br />

với<br />

2<br />

tan x .<br />

Cách giải: Đặt điều<br />

kiện rồi sử dụng<br />

<strong>phương</strong> pháp đặt ẩn<br />

phụ để giải <strong>phương</strong><br />

<strong>trình</strong>.<br />

+ Phương <strong>trình</strong> (3)<br />

đưa được về dạng<br />

<strong>phương</strong> <strong>trình</strong> bậc hai<br />

đối với một hàm số<br />

<strong>lượng</strong> <strong>giác</strong>.<br />

Cách giải: Chia 2 vế<br />

hoặc sin x 0) đưa<br />

<strong>phương</strong> <strong>trình</strong> về dạng<br />

<strong>phương</strong> <strong>trình</strong> bậc hai<br />

đối với tan x hoặc<br />

2<br />

cot x . <strong>cho</strong> cos x hoặc<br />

2<br />

sin x<br />

( điều kiện cos x 0<br />

TL: Có cách giải<br />

khác.<br />

1) Tách 5 3 2<br />

đưa <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> về<br />

dạng <strong>phương</strong> <strong>trình</strong><br />

tích.<br />

2) Tương tự, tách<br />

2<br />

2tan x đưa về<br />

<strong>phương</strong> <strong>trình</strong> tích.<br />

3) Chia cả 2 vế <strong>cho</strong><br />

2<br />

cos x ,sử dụng công<br />

thức<br />

1<br />

cos<br />

1) 3sin x 2sin x 5 0<br />

ta<br />

sin 1 2 ; .<br />

Vậy nghiệm của <strong>phương</strong> <strong>trình</strong><br />

Kết hợp với điều kiện ta được<br />

nghiệm trên là nghiệm của<br />

<strong>phương</strong> <strong>trình</strong>.<br />

3)2sin 5sin2 cos 2<br />

x x x x<br />

4sin 10sin cos cos 0<br />

<br />

76

và nhận xét.<br />

+ Giáo viên nhận xét<br />

và khái quát lại nội<br />

dung bài <strong>học</strong>.<br />

đưa <strong>phương</strong> trinhg về<br />

dạng <strong>phương</strong> <strong>trình</strong><br />

bậc hai.<br />

VT<br />

4 VP nên<br />

cos x 0không là nghiệm của<br />

<strong>phương</strong> <strong>trình</strong>.<br />

Với cos x 0 x k<br />

2<br />

2<br />

chia cả 2 vế <strong>cho</strong> cos x ta<br />

được:<br />

2<br />

4tan x10tan x1<br />

0<br />

5 21<br />

tan<br />

x <br />

4<br />

5 21<br />

tan<br />

x <br />

4<br />

5 21<br />

xarctan<br />

k<br />

<br />

4<br />

5 21<br />

xarctan<br />

k<br />

<br />

4<br />

Kết luận.<br />

4. Củng cố:<br />

- Nhắc lại cách giải <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> bậc nhất và bậc hai đối với một hàm số<br />

<strong>lượng</strong> <strong>giác</strong>.<br />

- Các lỗi thường gặp khi giải <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong>.<br />

5. Bài tập về nhà<br />

- Xem trước mục III SGK trang 35.<br />

- Làm bài tập 1; 2; 3; 4 SGK trang 37.<br />

77

Phụ lục 2 : Phiếu <strong>học</strong> tập<br />

Phiếu <strong>học</strong> tập số 1<br />

I. Trắc nghiệm<br />

Câu 1: Số nghiệm của <strong>phương</strong> <strong>trình</strong><br />

<br />

2 cosx<br />

1<br />

với 0 x 2<br />

là:<br />

3 <br />

A.0 B.2 C.1 D. 3<br />

<br />

Câu 2: Cho biết x k 2 ;<br />

k <br />

3<br />

là họ nghiệm của <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> nào sau<br />

đây?<br />

A. 2cosx 1 0 B. 2cos x 3 0 C. 2sin x 3 0 D.<br />

2sin x 1 0<br />

<br />

Câu 3: Họ nghiệm của <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> tanx<br />

5 <br />

3 0 là:<br />

8<br />

8<br />

A. x k; k .<br />

B. x k; k <br />

15<br />

15<br />

.<br />

8<br />

8<br />

C. x k2 ; k . D. x k2 ; k <br />

15<br />

15<br />

.<br />

Câu 4: Phương <strong>trình</strong> nào <strong>tư</strong>ơng đương với <strong>phương</strong> <strong>trình</strong><br />

2 2<br />

sin x cos x1 0?<br />

2<br />

A. cos2x 1 B. 2cos x 1 0 C. cos2x 1 D. sin xcos x 2<br />

1<br />

Câu 5: Tìm tất cả các nghiệm của <strong>phương</strong> <strong>trình</strong><br />

sin 2x<br />

1<br />

0<br />

2 cos x 1<br />

3<br />

<br />

A. x k2 ; k . B. x k2 ; k <br />

4<br />

4<br />

.<br />

<br />

<br />

C. x k2 ; k .<br />

D. x k; k <br />

4<br />

4<br />

.<br />

4 4<br />

Câu 6: Nghiệm của <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> sin xcos x 0 là:<br />

<br />

<br />

A. x k; k .<br />

B . x k ; k <br />

4<br />

4 2<br />

.<br />

3<br />

<br />

C. x k2 ; k .<br />

D. x k2 ; k <br />

4<br />

4<br />

.<br />

II. Tự luận<br />

Câu hỏi:<br />

1) Giải <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> sau:<br />

2 2 2 2<br />

a) sin 2x sin 3x sin 4x sin 5x<br />

2<br />

2 2 2 2<br />

b) sin x sin 2x sin 3x sin 4x<br />

2) Từ bài toán trên, viết bài toán tổng quát và giải bài toán đó.<br />

78

Phiếu <strong>học</strong> tập số 2<br />

I. Trắc nghiệm<br />

Câu 1: Trong các <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> sau, <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> nào là <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> bậc hai<br />

của một hàm số <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong>.<br />

2<br />

A. 2sin x sin 2x1 0<br />

2<br />

B. 2sin 2xsin 2x<br />

0<br />

2<br />

C. cos x cos2x 7 0<br />

2<br />

D. tan x cot x 5 0<br />

2<br />

Câu 2: Nghiệm của <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> 2sin x 3sin x1 0 thỏa mãn điều kiện<br />

<br />

0 x<br />

là:<br />

2<br />

<br />

<br />

<br />

5<br />

A. x B. x C. x D. x <br />

3<br />

2<br />

6<br />

6<br />

2<br />

Câu 3: Phương <strong>trình</strong> tan x 5tan x 6 0 có nghiệm là:<br />

<br />

A. x k; x arctan 6 k; k <br />

4<br />

.<br />

<br />

B. x k2 ; x arctan 6<br />

k2 ; k <br />

4<br />

.<br />

<br />

C. x k; x arctan 6<br />

k2 ; k <br />

4<br />

.<br />

x k; x arctan 6 k; k .<br />

D. <br />

Câu 4: Nghiệm của <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> 2cos2x 2cos x 2 0 là:<br />

<br />

<br />

A. x k2 ; k . B. x k; k <br />

4<br />

4<br />

.<br />

<br />

<br />

C. x k2 ; k . D. x k; k <br />

3<br />

3<br />

.<br />

Câu 5: Phương <strong>trình</strong> tan x3cot x 4 có nghiệm là:<br />

<br />

A. x k2 ; k <br />

4<br />

.; x arctan3 k2 ; k .<br />

<br />

B. x k; k <br />

4<br />

.<br />

C. x arctan4 k; k .<br />

<br />

D. x k; k <br />

4<br />

.; x arctan3 k; k .<br />

Câu 6: Trong các nghiệm sau, nghiệm âm lớn nhất của <strong>phương</strong> <strong>trình</strong><br />

2<br />

2tan x 5tan x 3 0 là:<br />

79

A.<br />

<br />

B.<br />

3<br />

II. Tự luận<br />

<br />

C.<br />

4<br />

<br />

D.<br />

6<br />

5<br />

<br />

6<br />

Câu hỏi : Tìm lỗi sai và sửa lại <strong>cho</strong> đúng trong các <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> sau:<br />

a) <br />

2 x x x 2 x<br />

3sin 1 3 sin cos cos 1 3 0<br />

Với cos x 0 chia cả 2 vế của <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> <strong>cho</strong><br />

<br />

x<br />

2 2<br />

3 tan x 1 3 tan x 1 1 3 1 tan x 0<br />

<br />

2<br />

tan x 1 3 tan 3 0<br />

2<br />

cos x ta được:<br />

<br />

tan x 1<br />

x k2<br />

4<br />

<br />

; k .<br />

tan x 3 <br />

x k2<br />

3<br />

<br />

Vậy nghiệm của <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> là: x k; x k; k .<br />

4 3<br />

4 4<br />

sin x<br />

cos x 1<br />

b)<br />

<br />

2 2 tan 2 x<br />

cos x<br />

sin x 2<br />

4 4<br />

sin x cos x sin 2x<br />

<br />

<br />

cos2x<br />

2cos2x<br />

4 4 1<br />

sin x cos x sin 2x<br />

2<br />

1 2sin xcos x sin 2x<br />

2<br />

sin x 1<br />

TM<br />

<br />

2<br />

sin 2x sin 2x 2 0 <br />

sin x 3<br />

KTM<br />

<br />

<br />

sin x 1 x k2 ; k .<br />

2<br />

<br />

Vậy nghiệm của <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> là: x k2 ; k .<br />

2<br />

2 2 1<br />

3) sin xcos 2x<br />

2<br />

1<br />

cos2x<br />

2 1<br />

cos 2x<br />

<br />

2 2<br />

2 2 1<br />

80

1<br />

2 1<br />

cos2x<br />

<br />

cos 2x cos2x 0 2<br />

2<br />

<br />

cos2x<br />

0<br />

2<br />

2<br />

<br />

2x k2<br />

x k2<br />

3 <br />

<br />

6<br />

<br />

<br />

; k .<br />

<br />

2x k<br />

x k<br />

<br />

2 <br />

4 2<br />

2<br />

Vậy nghiệm của <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> là: x k2<br />

;<br />

6<br />

<br />

x k ; k .<br />

4 2<br />

81

Phụ lục 3: Đáp án<br />

Phiếu <strong>học</strong> tập 1<br />

I. Trắc Nghiệm<br />

1 2 3 4 5 6<br />

B A B C A B<br />

II. Tự luận<br />

1) Giải <strong>phương</strong> <strong>trình</strong>:<br />

2 2 2 2<br />

a) sin 2x sin 3x sin 4x sin 5x<br />

2<br />

1 cos4x 1 cos6x 1 cos8x 1<br />

cos10x<br />

2<br />

2 2 2 2<br />

cos10x cos4x cos8x cos6x<br />

0<br />

2cos7 x.cos3x 2cos7 x.cos x 0<br />

2cos7 x. cos3x cos x<br />

0<br />

4cos7 x.cos2 x.cos x 0<br />

<br />

<br />

7x k<br />

cos7 0 2 <br />

x<br />

k<br />

x <br />

14 7<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

cos2x 0 2 x k<br />

x k ; k <br />

<br />

2 4 2<br />

<br />

cos x 0 <br />

<br />

<br />

<br />

x k<br />

x k<br />

<br />

2 <br />

2<br />

.<br />

Kết luận<br />

2 2 2 2<br />

b) sin x sin x sin 3x sin 4x<br />

1 cos2x 1 cos4x 1 cos6x 1<br />

cos8x<br />

<br />

2 2 2 2<br />

cos2x cos4x cos6x cos8x<br />

2cos3 x.cos<br />

x 2cos7 x.cos<br />

x<br />

cos x 0<br />

cos xcos7x cos3x<br />

0 <br />

cos7xcos3x0<br />

<br />

cos x 0 x k; k <br />

2<br />

.<br />

<br />

<br />

x<br />

k<br />

5<br />

cos3x cos7x 0 cos3x cos7x 3x 7x k2<br />

; k <br />

<br />

x<br />

k<br />

2<br />

.<br />

Vậy nghiệm của <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> là: x k <br />

; x k; k <br />

5 2<br />

.<br />

82

2) Bài toán tổng quát:<br />

sin 2 2nx sin 2 3nx sin 2 4nx sin 2 5nx 2 n<br />

a) <br />

b) sin 2 nx sin 2 2nx sin 2 3nx sin 2 4 nx n<br />

<br />

Giải : Tương tự như phần 1.<br />

Phiếu <strong>học</strong> tập 2<br />

I. Trắc Nghiệm<br />

1 2 3 4 5 6<br />

B C A A D B<br />

II. Tự luận<br />

<br />

1) Xét thiếu trường hợp cosx 0 x k<br />

; k <br />

2<br />

.<br />

2) Thiếu điều kiện:<br />

2 2<br />

cos xsin x0<br />

<br />

x x k k <br />

<br />

cos2x<br />

0<br />

cos2 0 ; .<br />

4 2<br />

3) Sai công thức <strong>lượng</strong> <strong>giác</strong>:<br />

2 1<br />

cos2x<br />

sin x <br />

2<br />

Lời giải đúng<br />

3) sin xcos 2x<br />

2<br />

2 2 1<br />

1<br />

cos2x<br />

1<br />

2 2<br />

2<br />

cos 2x<br />

<br />

cos 2x cos2x<br />

0<br />

2<br />

2 1<br />

<br />

cos2x 0 2 x k; k .<br />

2<br />

1<br />

<br />

cos2x cos2x cos 2x k2 x k; k .<br />

2 3 3 6<br />

<br />

Vậy nghiệm của <strong>phương</strong> <strong>trình</strong> là: x k; k .<br />

6<br />

83

logo

products

Resources

Company

Terms of service
Privacy policy
Cookie policy
Cookie settings
Imprint
Change language
Made with love in Switzerland
© 2024 Yumpu.com all rights reserved

Hooray! Your file is uploaded and ready to be published.

Saved successfully!

Ooh no, something went wrong!