FI1002 - SISTEMAS NEWTONIANOS Apuntes del curso Elaborado ...

Osc. Amortiguadas Sistemas Newtonianos 162
Velocidad [ v o ]
Posicion [ v o τ ]
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0 1 2 3 4 5 6
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
alcance
v(t)
x(t)
0.0
0 1 2 3
Tiempo [ τ ]
4 5 6
La caída vertical por gravedad cuando actúa el roce viscoso se puede representar mediante la
ecuación ¨y = g − (1/τ) ˙y. Si el objeto parte del reposo en y = 0, entonces y(t) queda dado por
y(t) = gτ 2
t
τ + e−t/τ
− 1 .
La velocidad terminal Vt es aquella que adquiere el cuerpo cuando deja de acelerar. En este caso
es cuando el peso (mg) equipara la fuerza por roce (bVt). Así,
Vt = mg
b
= gτ .
Cuando un objeto cae verticalmente por gravedad en presencia de
una fuerza de roce cuadrática en la velocidad, su movimiento queda
descrito por
m¨y = mg − cv 2 y ⇒ ¨y = dvy
dt = g − β2 v 2 y ,
donde hemos definido β2 = c
m . Para una partícula que cae inicialmente
desde el reposo, vy(0) = 0, se obtiene para la velocidad
vy(t) =
√ g
β tanh √ gβt .
Notando que la velocidad terminal la podemos escribir como Vt =
√ g
β y reemplazando tanh por su expresión exponencial obtenemos
finalmente
vy(t) = Vt
1 − e−2gt/Vt .
−2gt/Vt 1 + e
Universidad de Chile ∂fι fcfm