FI1002 - SISTEMAS NEWTONIANOS Apuntes del curso Elaborado ...

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Osc. Amortiguadas Sistemas Newtonianos 163 5B.3. Oscilaciones amortiguadas En la unidad anterior se estudiaron oscilaciones armónicas mecánicas. Asípor ejemplo, si x(t) representa la posición de un objeto, entonces su movimiento está descrito por la ecuación ¨x + ω 2 ox = 0 , donde ωo representa la frecuencia natural del sistema. La solución x(t) a esta ecuación es x(t) = A cos(ωt + φo) . En ella, las constantes A (amplitud) y φo (constante de fase) dependen de las condiciones iniciales del sistema. En contraste, ωo depende exclusivamente de sus propiedades físicas. Consideremos esta vez el sistema formado por un bloque de masa m unido a un resorte de constante elástica k. Como es sabido, en este caso ω 2 o = k m . Además, supongamos la acción de una fuerza de roce viscoso −b ˙x actuando sobre el bloque. k m De acuerdo a la Segunda Ley de Newton, max = Fx, tenemos En forma estándar, O m¨x = −kx − b ˙x ⇒ ¨x + b k ˙x + x = 0 . m m ¨x + 1 τ ˙x + ω2 x = 0 , donde τ representa un tiempo de atenuación. En la asignatura de Mecánica, se estudiará en algún detalle sistemas que resultan descritos por este tipo de ecuaciones. La solución x(t) en este caso es x(t) = A e −t/2τ cos(Ωt + φo) , con x(t) Ω 2 = ω 2 2 1 o − 2τ Nótese que en ausencia de roce (b = 0), el tiempo de atenuación τ es infinito, con lo cual Ω → ωo. El movimiento es armónico simple, sin amortiguación. Universidad de Chile ∂fι fcfm .
Osc. Amortiguadas Sistemas Newtonianos 164 En la figura de más abajo se ilustra la posición de un cuerpo oscilando amortiguadamente. Se puede observar la ciclicidad y atenuación del movimiento. En este caso se utilizó τ=2 s, y Ω= 1 s −1 . Si el cuerpo en cuestión tiene una masa de 10 gramos, ¿cuál sería la constante elástica del resorte y el coeficiente de roce b? x [ m ] 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 nodos τ=2 s; Ω=1 s -1 x = A e -t/2τ cos(Ωt) -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tiempo [ s ] Universidad de Chile ∂fι fcfm
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7B.5.Principio de Arquímides . . .
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