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2.2. MECÁNICA LAGRANGIANA 9
2.2. Mecánica Lagrangiana
2.2.1. Elementos de su formulación
Si Q es una variedad diferencial de dimensión n, un sistema de coordenadas (qi ) definido
en un entorno coordenado U de Q induce una base en cada espacio tangente TqQ para cada
q ∈ U. Esta base está formada por los vectores ∂
∂qi tangentes a las curvas coordenadas.
El fibrado tangente T Q es la variedad diferencial de dimensión 2n
T Q :=
TqQ
con coordenadas (q i , v i ) sobre entornos coordenados de la forma
q∈Q
TUQ :=
TqQ
con U entorno coordenado de Q que están definidas de la siguiente manera si (qi ) son las
i ∂
coordenadas de q ∈ U y v = v ∂qi , al elemento (q, v) ∈ TUQ se le asignan las coordenadas
(qi , vi ).
Denotaremos πQ : T Q → Q a la proyección canónica; es decir, para (q, v) ∈ T Q se tiene
πQ(q, v) = q.
Ahora consideremos una variedad Q como el espacio de configuraciones de un sistema.
Entonces, el espacio de estados asociado está dado por el fibrado tangente T Q y la dinámica
del sistema está determinada por una función diferenciable L : T Q → R llamada función
lagrangiana o Lagrangiano.
En la sección V de la Mécanique Analytique (1788)[20] de J. L. Lagrange aparece descripta
la diferencia entre la energía cinética y potencial, L = T −V , que hoy día es conocida
como la función Lagrangiana o el Lagrangiano. También aparecen las ecuaciones del movimiento
en la forma que conocemos como ecuaciones de Euler-Lagrange
d
dt
q∈U
∂L
∂ ˙q i
∂L
−
∂qi
= 0 ∀ı = 1, ..., n
2.2.2. Principio de Acción Crítica
Para formular el Principio de Accíón Crítica de Hamilton consideraremos el espacio de
curvas
C(Q) = C([0, T ], Q) = {q : [0, T ] → Q | q es una curva C 2 }
para un intervalo de tiempo dado [0, T ].
Se puede probar que C(Q) tiene estructura de variedad diferenciable (ver por ejemplo
[1].)
El espacio tangente TqC(Q) de C(Q) en q es el conjunto de funciones C 2 vq : [0, T ] → T Q
tal que πQ ◦ vq = q.