Control´Optimo de Sistemas Mecánicos Actuados ... - GMC Network

Capítulo 4
Sistemas Vakónomos con Vínculos de
Primer Orden
En este capítulo vamos a estudiar la llamada aproximación geométrica de los sistemas
vakónomos con vínculos de primer orden. En primer lugar analizaremos con detalle el
aprroach de la mecánica vakónoma de primer orden (para más detalles mirar [16]).
4.1. Su formulación
Sea Q el espacio de configuraciones de dimensión n de un sistema mecánico y sea
L : T Q → R un lagrangiano que describe su dinámica. Si denotamos (qA ) a las coordenadas
en Q, entonces tendremos como coordenadas naturales en el fibrado tangente a (qA , ˙q A ).
Como antes, consideraremos la proyección canónica de T Q sobre Q, πQ : T Q → Q dada
por πQ(qA , ˙q A ) = (qA ).
Supongamos que el sistema está sujeto a vínculos que vienen dados por una subvariedad
M de T Q de dimensión 2n − m, localmente definida por las ecuaciones Φα (q, ˙q) = 0 con
1 ≤ α ≤ m donde Φα : T Q → R son funciones diferenciables.
Vamos a suponer que el rango de la matriz
1 m ∂(Φ , ..., Φ )
∂( ˙q 1 , ..., ˙q n
) m×n
es consteante e igual a m. En consecuencia, por el teorema de la función implícita los vínculos
pueden expresarse al menos localmente (reordenando las coordenadas si es necesario)
como
˙q α = Ψ α (q A , ˙q a ) , (4.1)
donde 1 ≤ α ≤ m, m + 1 ≤ a ≤ n y 1 ≤ A ≤ n. Entonces (q A , ˙q a ) son coordenadas locales
en M ⊂ T Q.
Para formular el principio variacional restringuido que da lugar a las ecuaciones de
movimiento vakonómicas consideremos el siguiente espacio.
Dados q0 y q1 ∈ Q, denotamos al conjunto de curvas diferenciables que conectan los
puntos q0 y q1, como
C 2 (q0, q1) = {c : [0, 1] → Q | c es C 2 , c(0) = q0 c(1) = q1}.
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