Control´Optimo de Sistemas Mecánicos Actuados ... - GMC Network

5.1. SISTEMAS LAGRANGIANOS DE ORDEN SUPERIOR 29
Consideremos el funcional acción J de las C 2k -curvas en Q por la integración del
Lagrangiano L a lo largo de curvas
J : C 2k (x, y) −→ R
c ↦−→ 1
0 L(c(k) (t)) dt
(5.1)
El Principio de Hamilton busca curvas c : [0, 1] → Q tal que J sea estacionario; esto
es,
dJ (c) · (X) = 0, ∀X ∈ TcC 2k (x, y).
Para analizar esta condición consideremos una familia de curvas cɛ ∈ C 2k (x, y), con c0 = c,
Entonces
d
dɛ
dJ (c) · (X) = d
dɛ
ɛ=0
ɛ=0
J (cɛ) = 0
(J ◦ cɛ) = d
dɛ
Tomando c0 = c, γ(ɛ) = cɛ y x ∈ TcC 2k (x, y) tenemos que
Es decir,
dJ (c) · (X) = 0 ⇐⇒ d
dɛ
ɛ=0
ɛ=0
J (cɛ)
dJ (c) · (X) = 0, ∀X ∈ TcC 2k (x, y) ⇐⇒ d
dɛ
Ahora analicemos la derivada d
d
dɛ
ɛ=0
dɛ
ɛ=0
J (cɛ)
J (cɛ) = d
1
L(c
dɛ 0
k ɛ=0 1
ɛ )dt =
0
Si denotamos por δci = d
dɛciɛ
ɛ=0
se puede probar que
Además, δ (l) c i = d
dt δ(l−1) c i .
d
dɛ L(ck
ɛ )
y δ l c i = d(l)
dt (l) δc 1 .
∂q (0)i
dɛ
∂q (1)i
dɛ
∂q (l)i
dɛ
ɛ=0
= c
ɛ=0
i (t) = δc i ,
ɛ=0
ɛ=0
= d
dt ci (t) = δ 1 c i ,
.
= dl
dt l ci (t) = δ l c i .
J (cɛ).
ɛ=0
dt =
J (cɛ) = 0
1
0
k
l=0
∂L
∂q (l)i
∂q (l)i
dɛ
ɛ=0
dt