Control´Optimo de Sistemas Mecánicos Actuados ... - GMC Network

6.2. SISTEMAS VARIACIONALES NOHOLÓNOMOS Y CONTROL ÓPTIMO 43
Teorema 6.2.1. Bajo la transformación (6.7), el sistema de Euler-Lagrange (6.4) es transformado
en el sistema Hamiltoniano
donde
˙q = ∂
H(q, p) (6.8)
∂p
˙p = − ∂
H(q, p),
∂q
H(q, p) = p · φ(q, p) − L(q, φ(q, p)). (6.9)
Demostración: El echo de que Φ(q, φ(q, p)) = 0 implica que
∂Φ
∂q
Entonces, usando (6.5), obtenemos que
De manera similar,
∂H
∂q
= −∂L
∂q +
∂H
∂p
p − ∂L
∂ ˙q
= φ +
∂φ
∂p
∂Φ ∂φ
+
∂ ˙q ∂q
∂Φ ∂φ
∂ ˙q ∂p
p − ∂L
∂φ
∂ ˙q ∂p
= −∂L
∂ ˙q
+ λ
= 0.
∂Φ
∂ ˙q
= 0
= ˙q + λ
∂Φ
∂ ˙q
∂φ
= ˙q.
∂p
∂φ ∂L
= − + λ∂Φ = −
∂p ∂ ˙q ∂q
∂Λ
∂q
= − ˙p.
Definición 6.2.2. Sean q ∈ Rn , u ∈ Rm el Problema de Control Óptimo viene dado
por
T
mín
u( · ) 0
g(q, u) dt, (6.10)
sujeto a
˙q = f(q, u),
con condiciones de borde q(0) = 0, q(T ) = qT
Con esta definición tenemos el siguiente resultado:
Teorema 6.2.3. El problema Lagrangiano (6.4) y el problema de Control Óptimo definido
arriba generan las mismas trayectorias extremales, si y sólo si:
1. Φ(q, ˙q) = 0 si y sólo si existe u tal que ˙q = f(q, u).
2. L(q, f(q, u)) = g(q, u).