Control´Optimo de Sistemas Mecánicos Actuados ... - GMC Network

4.1. SU FORMULACIÓN 19
Demostración
La condición para que una curva sea solución del problema vakonómico es
0 = dA(c) · u = d
ds A(cs) |s=0,
para toda variación cs de c en C 2 (q0, q1), donde u = dcs
ds |s=0. Entonces tenemos que
0 = d
ds A(cs)
s=0
En coordenadas locales,
0 =
=
=
= d
1
s=0 1
L(cs(t), ˙cs(t)) dt =
ds 0
0
1
0
1
0
1
0
d
ds L(cs(t)
˙cs(t))
s=0
∂L
∂qA uA + ∂L
∂ ˙q a ˙ua + ∂L
∂ ˙q α
∂Ψα ∂qA uA + ∂L
∂ ˙q α
∂Ψα
˙ua dt
∂ ˙q a
∂L ∂L
+
∂qA ∂ ˙q α
∂Ψα ∂qA
u A
∂L ∂L
+ +
∂ ˙q a ∂ ˙q α
∂Ψα ∂ ˙q a
˙u a
dt (4.3)
∂ ˜ L
∂qA uA + ∂ ˜
L
˙ua dt .
∂ ˙q a
De (4.1), sabemos que las variaciones infinitesimales u A , con 1 ≤ A ≤ n no son arbitrarias.
Consideremos las funciones µα defidas como las soluciones de los siguientes sistemas de
primer orden de ecuaciones diferenciales
˙µα = ∂ ˜ L
∂qα
∂Ψ
− µβ
c
β
∂qα
c
, 1 ≤ α ≤ m .
Entonces, usando el echo de que ˙u α = ∂Ψα
∂q A uA + ∂Ψα
∂ ˙q a ˙ua , obtenemos
d
dt (µαu α ) = µα ˙u α
+
0
∂ ˜ L
− µβ
∂qα ∂Ψ β
∂q α
dt .
u α = u α ∂ ˜ L ∂Ψ
+ µα
∂qα α
∂qa ua ∂Ψ
+ µα
α
∂ ˙q a ˙ua ,
o equivalentemente, u α ∂ ˜ L d
=
∂qα dt (µαu α ∂Ψ
) − µα
α
∂qa ua − µα
expresión en (4.3) e integrando por partes, tenemos que
1
∂
dA(c) · u =
˜ L ∂Ψ
− µα
∂qa α
∂qa
u a
∂
+
˜ L ∂Ψ
− µα
∂ ˙q a α
∂ ˙q a
˙u a
dt .
Ahora, de
∂ ˜ L
− µα
∂ ˙q a
∂Ψα ∂ ˙q a
˙u a = d
dt
∂ ˜ L
− µα
∂ ˙q a
∂Ψα ∂ ˙q a
u a
− d
dt
∂Ψ α
∂ ˙q a ˙ua . Sustituyendo la última
∂ ˜ L
− µα
∂ ˙q a
∂Ψα ∂ ˙q a
u a ,