Control´Optimo de Sistemas Mecánicos Actuados ... - GMC Network

Capítulo 5
Sistemas Vakónomos de orden
superior
En este capítulo se describiran los elementos necesarios para la formulación de la mecánica
vakonómica de orden superior. En primer lugar se considerarán sistemas mecánicos cuya
dinámica está descripta por una función lagrangiana definida sobre un fibrado tangente de
orden superior. Después analizaremos sistemas mecánicos con este tipo de lagrangianos y
vínculos de orden superior desde un punto de vista vakonómico. Por último se completaran
las demostraciones de la formulación geométrica de este tipo de sistemas presentadas en [7].
Así mismo se generalizará el resultado obtenido para vínculos lineales al caso de vínculos
no necesariamente lineales.
5.1. Sistemas Lagrangianos de orden superior
5.1.1. Fibrados tangentes de orden superior
dada Q una variedad de dimension n vamos a definir sus fibrados tangentes de orden
superior. Para hacerlo es necesario introducior una relación de equivalencia en el conjunto
C∞ (R, Q) de curvas suaves de R a Q. Por definición, dadas dos curvas en Q, γ1(t) y γ2(t),
t ∈ (−a, a), a ∈ R + , decimos que tienen un contacto de orden k en q0 = γ1(0) = γ2(0)
si para cualquier carta local (ϕ, U) de Q tal que γ1(0), γ2(0) ∈ U se tiene que
ds
(ϕ ◦ γ1(t)) =
dts t=0
ds
(ϕ ◦ γ2(t)) s = 0, ..., k
dts t=0
Denotamos por [γ] (k)
0 la clase de equivalencia de γ. Se define T k Q como el conjunto de clases
de equivalencias y puede verse que tiene estructura de variedad diferenciable. Además, la
aplicación τ k Q : T (k) Q → Q donde τ k
Q [γ] (k)
0 = γ(0) define un fibrado tangente llamado
fibrado tangente de orden k sobre Q.
Se definen las funciones suryectivas: τ (l,k)
Q
τ (l,k)
Q
[γ] (k)
0
: T (k) Q → T (l) Q para l ≤ k, dadas por
= [γ] (l)
0 .
Es claro que T (1) Q ≡ T Q,es el fibrado tangente de Q, T (0) Q ≡ Q y τ (0,k)
Q
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= τ k Q .