Control´Optimo de Sistemas Mecánicos Actuados ... - GMC Network

6.1. CONTROL ÓPTIMO 41
Formulación General para el Problema de Control Óptimo
Supongamos que tenemos un problema clásico de control óptimo,
sujeto a las siguientes condiciones:
mín
u( · )
T
0
g(q, u) dt, (6.1)
una ecuación diferencial ˙q = f(q, u), el espacio de estados contiene a q ∈ Q y los
controles están en Ω ∈ R k ;
q(0) = q0, q(T ) = qT
donde f y g ≥ 0 son funciones suaves, Ω es un subconjunto cerrado de R k , y Q es una
variedad diferencial de dimensión n, llamada espacio de estados del sistema. La función
g es llamada comunmente función costo o objetivo.
Principio del Máximo de Pontryagin
Consideremos el Hamiltoniano parametrizado en T ∗ Q dado por
H(q, p, u) = 〈p, f(q, u)〉 − p0g(q, u),
donde p0 ≥ 0 es una constante positiva fija y p ∈ T ∗ Q. Observemos que p0 es un multiplo
del funcional costo y H es lineal en p. Denotaremos por t ↦→ u ∗ (t) la curva que satisface la
siguente relación a lo largo de trayectorias t ↦→ (q(t), p(t)) ∈ T ∗ Q :
H(q(t), p(t), u ∗ (t)) = máx
u∈Ω
H(q(t), p(t), u). (6.2)
Entonces, si u ∗ define implícitamente una función de q y p por la ecuación (6.2) podemos
definir H ∗ por
H ∗ (q(t), p(t), t) = H(q(t), p(t), u ∗ (t)).
La función H ∗ define un campo Hamiltoniano XH ∗ en T ∗ Q con respecto a la estructura
simpléctica canónica en T ∗ Q.
El principio del máximo de Pontryagin da condiciones necesarias para los extremos del
problema de control óptimo general: Una trayectoria extremal t ↦→ q(t) para el problema
de control óptimo es una proyeccion en Q de la trayectoria del flujo del campo vectorial XH ∗
que satisface q(0) = q0, q(T ) = qT y que la aplciación t ↦→ (p(t), p0) = 0 para todo t ∈ [0, T ].
Las trayectorias extremales se llaman normales cuando p0 = 0. Cuando p0 = 0 decimos
que es anormal.
Además u ∗ es determinada de manera única bajo la condición
Es decir, u ∗ maximiza la función H.
0 = ∂ H
∂u (q(t), p(t), u∗ (t)), t ∈ [0, T ].