Control´Optimo de Sistemas Mecánicos Actuados ... - GMC Network

5.1. SISTEMAS LAGRANGIANOS DE ORDEN SUPERIOR 31
Las Ecuaciones de movimiento del sistema, llamadas Ecuaciones de Euler-Lagrange
de Orden Superior, se escriben como
k
l dl
(−1)
dtl
∂L
∂q (l)i
= 0.
l=0
Por lo tanto,es posible definir la 2-forma ΩL = −dΘL. En coordenadas locales, se tiene
que
k
l dl
EL = (−1)
dtl
∂L
∂q (l)i
,
ΘL =
ΩL =
l=0
k−1
l=0
ˆp(l)i dq (l)i ,
k−1
dq (l)i ∧ dˆp(l)i ,
l=0
donde las funciones ˆp(l)i, 0 ≤ l ≤ k − 1, son los momentos generalizados de Jacobi-
Ostrogradski definidos por
k−l−1
l ds
ˆpl(i) = (−1)
dts
∂L
∂q (l+s+1)i
l=1
s=0
La expresion de la 2-forma se deduce del echo de que
k
n k
∂L
∂
ΩL = −dΘL = −d
dq(l−1)i = −
∂q (l−1)i ∂q (l−1)j
∂L
∂q (l−1)i
dq (l−1)j ∧dq (l−1)i =
−
n
j=1
k
l=1
j=1
l=1
∂ 2 L
∂q (l−1)j ∂q (l−1)i dq(l−1)j ∧ dq (l−1)i
y luego observando la forma que tienen los momentos se obtiene la expresion expuesta, la
cual el mucho sencilla de manejar en los cálculos.
Es sencillo probar que ΩL es simpléctica si y sólo si,
det
∂ 2 L
∂q (l−1)j ∂q (l−1)i
= 0.
Se dice que el Lagrangiano de orden superior L es regular si ΩL es simpléctica.
En lo que sigue, asumiremos que el Lagrangiano L es regular. Temeos ahora, la restricción
JL del funcional acción J en el subespacio CL de soluciones de las ecuaciones de
Euler-Lagrange . Este espacio puede ser identificado con el espacio de condiciones iniciales
en T (2k−1) Q de las ecuaciones de Euler-Lagrange. Esto es claro, pues cuando tenemos un
sistema de ecuaciones diferenciales con condiciones iniciales ya sabemos que existe una
única solución. Además las pedimos en T (2k−1) Q pues las ecuaciones de Euler-Lagrange
viven en T 2k Q.