Control´Optimo de Sistemas Mecánicos Actuados ... - GMC Network

2.2. MECÁNICA LAGRANGIANA 11
La función DELL es llamada Operador de Euler-Lagrange y en coordenadas tiene la
forma
(DELL) i = ∂L d ∂L
− .
δqi dt ∂ ˙q i
La 1-forma ΘL es llamada 1-Forma Lagrangiana y en coordenadas está dada por
ΘL = ∂L
∂ ˙q i dqi .
Las ecuaciones de movimiento del sistema, llamadas Ecuaciones de Euler-Lagrange se
escriben como DELL ≡ 0.
2.2.4. Approach Simpléctico
La existencia de la 1-forma ΘL permite formular una versión simpléctica de la mecánica
Lagrangiana.
Se define la 2-forma cerrada ΩL = −dΘL que es llamada la 2-forma Lagrangiana y
cuya expresión en coordenadas está dada por
ΩL(q, ˙q) = ∂2 L
∂q i ∂ ˙q j dqi ∧ dq j + ∂2 L
∂ ˙q i ∂ ˙q j d ˙qi ∧ dq j .
Su matriz asociada es de la forma :
A ∂ − 2L ∂ ˙q i∂ ˙q j
∂2L ∂ ˙q i∂ ˙q j 0
(2.3)
donde A es cierta matriz antisimétrica.
Vemos así que ΩL es una forma simpléctica en T Q si y sólo si el determinante de la
matriz (2.3) es no nulo y esto ocurre si y sólo si
2 ∂ L
det
∂ ˙q i∂ ˙q j
= 0.
Definición 2.2.2. Decimos que L ∈ C∞ (T Q) es un Lagrangiano regular si
2 ∂ L
det
∂ ˙q i∂ ˙q j
= 0
en todo punto; es decir, si ΩL es simpléctica en T Q.
Si asumimos que L es regular está bien definido el campo vectorial lagrangiano
XL : T Q → T (T Q) que es un campo vectorial de segundo orden en T Q que satisface
DELL ◦ XL = 0.