CAPÍTULO 3. Movimiento ondulatorio y ondas - Biblioteca

Movimiento ondulatorio y ondas Hugo Medina Guzmán
Este elemento, de longitud, en la parte más elevada de
la onda, está sujeto a la tensión de la cuerda en los dos
sentidos de propagación de la onda. Podemos dibujar
una circunferencia de radio R, en que R es la amplitud
de la onda. Este elemento de la cuerda, considerado
bien pequeño, está en el lado de un triángulo cuyo
ángulo opuesto está dado por Δ θ . Instantáneamente,
es como si este elemento de cuerda estuviese en
movimiento en una trayectoria circular de radio R, con
velocidad v; la velocidad de la onda.
Aplicando la segunda ley de Newton al segmento de
cuerda Δ l
Δθ 2
T
Δθ
2
y y ma F =
Δθ
− 2Tsen
= −Δma
2
2
v Δ θ
= . Como es pequeño, podemos
R 2
Δθ
Δθ
sen ≈
2 2
x y ma ∑ F = ⇒ T cos − cos = 0
∑ ⇒ c
a c
considerar
Reemplazando:
2
Δθ
v
2T = μRΔθ
2 R
⇒
T μ
2
= v y
v =
Obtenemos la velocidad de la onda en la cuerda en
función de las propiedades de la cuerda: su tensión y
su densidad lineal.
Ejemplo 14. La cuerda Si de un mandolina tiene 0,34
m de largo y tiene una densidad linear de 0,004 kg/m.
El tornillo de ajuste manual unido a la cuerda se ajusta
para proporcionar una tensión de 71,1 N. ¿Cuál
entonces es la frecuencia fundamental de la cuerda?
Solución.
v 1 T 1 71,
1N
f1
= = =
2L
2L
μ 2(
0,
34m)
0,
004 kg m
= 196 Hz
Un instrumento de cuerda tal como una guitarra es
templada ajustando la tensión en una cuerda por medio
de un tornillo de ajuste manual. La longitud de la
cuerda es fija, así que el ajuste de la tensión da la
frecuencia fundamental. Otras frecuencias
fundamentales pueden ser alcanzadas acortando la
longitud de la cuerda presionando en un traste.
Finalmente, varias cuerdas de diversas densidades se
utilizan para dar una gama de las velocidades de la
onda, de tal modo proporcionando el acceso a una
mayor gama de frecuencias fundamentales.
T
μ
10
Ejemplo 15. Una onda Asen(
k x − ω t)
y = 1 1 viaja
por una cuerda de densidad de masa lineal μ y tensión
T. Diga, para cada una de las ondas que se dan a
continuación, si pueden viajar por la misma cuerda
simultáneamente con la onda dada. ¿Por qué? ¿Bajo
qué condición?
( k1x
+ t)
( k2
x + t)
( k2
x + t)
( k x + t)
y = A
2
y2 = Asen
= A
ω1
1 sen ω
y3 sen ω2
y4 = Asen
1 ω1
Siendo ω1 ≠ ω2
y k1 ≠ k2
Solución.
La velocidad de propagación es única;
v
T
ω1
μ k1
=
ω 1
= , por lo tanto, la relación esta
k1
determinada o fija.
y 1 . No puede viajar, se requiere:
nos lleva a una falsedad, contra lo supuesto,
ω = ω
2
1
ω 2 ω1
= , lo que
y 2 . No puede viajar, por que similar al caso anterior:
ω 1 ω1
= también nos lleva a una falsedad contra lo
k
k
2 1
supuesto, k 2 = k1
y 3 . Si puede viajar, bajo la condición:
k
1
k
1
ω 2 ω1
=
k2
k1
ω1 y k 1
y 4 . Si puede viajar, por que tienen igual
es la misma onda que viaja en sentido contrario.
Ejemplo 16. Una cuerda de masa M y longitud l
cuelga del techo de una habitación.
a) Probar que la velocidad de pulso transversal en
función de la posición cuando se propaga a lo largo de
ella es v = gx , siendo x la distancia al extremo
libre.
b) Probar que un pulso transversal recorrerá la cuerda
en un tiempo 2 l g .
Solución.