CAPÍTULO 3. Movimiento ondulatorio y ondas - Biblioteca

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Movimiento ondulatorio y ondas Hugo Medina Guzmán a) Decir cuales de las funciones: 1 y , 2 y e 3 y son funciones de onda y justificar la respuesta. b) ¿Cuáles son las velocidades de propagación de dichas ondas? c) En la figura se representan varias “fotografías” de una cuerda tensa, en la cual se está propagando una onda que corresponde a una de las dos anteriores. Las “fotografías” corresponden a instantes separados 0,01 s. ¿A cuál de las ondas corresponden las “fotos”? Solución a) Cualquier perturbación que obedece en todo instante a la ecuación: y ( x, t) = f ( x ± vt) representa una onda unidimensional que se propaga hacia la derecha (signo negativo) o hacia la izquierda (signo positivo) del eje x , con velocidad v. Así pues, las funciones yl e y3 son las únicas posibles representantes de ecuaciones de onda. b) Para y1, el valor de la velocidad será 1 2m / s = v , hacia la derecha del eje x . Para y3, la transformamos en: −2 5× 10 1 y3 = ⇒ v 2 3 = − m/s , hacia ⎛ 1 ⎞ 2 0, 25 + 4⎜ x + t ⎟ ⎝ 2 ⎠ la izquierda del eje x . . c) Corresponde a y1 puesto que su propagación es hacia la derecha del eje x , y además, es claro que su velocidad es 2 m/s, lo que se deduce de las medidas dadas en las fotografías sucesivas. ONDAS ARMONICAS Un caso especialmente interesante y frecuente es aquel en que y es una función sinusoidal o armónica tal como y( x) = Asenkx , de modo que y( x, t) = Asenk( x − vt) (1) La cantidad k conocida como número de onda (diferente a la constante k del resorte) tiene un 4 significado especial. Reemplazando el valor de x por ⎛ 2π ⎞ ⎜ x + ⎟ , obtenemos para y ( x, t) , el mismo ⎝ k ⎠ valor; esto es, ⎛ 2π ⎞ ⎡⎛ 2π ⎞ ⎤ y⎜ x + , t ⎟ = Asenk⎢⎜ x + ⎟ − vt⎥ ⎝ k ⎠ ⎣⎝ k ⎠ ⎦ = A sen k[ ( x − vt) + 2π ] = A sen k( x − vt) = y( x, t) 2 π Observamos que es el “periodo de espacio” de la k 2 π curva, repitiéndose cada , cantidad la llamaremos k longitud de onda y la designaremos por λ . 2π Entonces λ = k Para un determinado tiempo Observamos que la ecuación (1) también puede ser escrita en la forma y x, t = Asen kx − kvt = Asen kx − ωt ( ) ( ) ( ) Donde la frecuencia angular ω = kv y La función ( x t) v k ω = y , es también periódica en el tiempo, 2π con un periodo T = ω Y por lo tanto, con una frecuencia Para un determinado espacio x. f ω = 2π Podemos obtener una relación importante de las ondas. λ v = = λf , expresión que concuerda con T ω 2πf v = = = λf k 2π λ También es frecuente escribir la ecuación de la onda sinusoidal en la forma: y = A ⎛ x t ⎞ 2π ⎜ − ⎟ ⎝ λ T ⎠ sen ⇒ y = Asen ( kx − ωt)
Movimiento ondulatorio y ondas Hugo Medina Guzmán Onda que viaja a la izquierda. Similarmente para una onda que viaja a la izquierda se tendría y = A ⎛ x t ⎞ 2π ⎜ + ⎟ ⎝ λ T ⎠ sen ⇒ y = Asen ( kx + ωt) Función sinusoidal desfasada con respecto al origen. Adicionalmente, podemos tener una función sinusoidal desfasada con respecto al origen de coordenadas, esto es, y( x) = Asen ( kx −ϕ ) y la onda viajera será y( x, t) = Asen( kx − ωt −ϕ ) Similarmente para una onda que viaja hacia la izquierda se tendrá y( x, t) = Asen( kx + ωt − ϕ) Nota. Una onda real no puede ser perfectamente armónica, puesto que unas ondas armónicas se extienden hacia el infinito en ambos sentidos a lo largo del eje x y no tienen ni principio ni fin en el tiempo. Una onda real debe tener principio y fin en algún lugar del espacio y del tiempo. Las ondas existentes en la naturaleza, como son las ondas de sonido o las ondas de luz, pueden frecuentemente aproximarse a ondas armónicas, puesto que su extensi6n en el espacio es mucho mayor que su longitud de onda, y el intervalo de tiempo que tardan en pasar por un punto es mucho mayor que su período. Una onda de este tipo se denomina tren de ondas. Así que una onda armónica es una representación idealizada de un tren de ondas. Ejemplo 2. Un veraneante que descansa en la playa observa que durante los últimos 30 minutos han arribado 90 olas a la orilla. Luego se mete al mar y se dirige nadando hacia un bote anclado y ubicado a 450 m mar adentro, tomándole un total de 5 minutos en llegar. En el trayecto el nadador sorteo 60 olas. Determine a) La velocidad con que las olas se acercan a la orilla es: b) La separación entre crestas de 2 olas consecutivas. Solución. Si en 30 minutos llegan 90 olas a la orilla, la frecuencia de las olas es: 90 f = = 30× 60 1 c 20 s Si hay 60 olas en 450 metros la longitud de onda de las olas es: 450 λ = = 7, 50 m 60 a) La velocidad con que las olas se acercan a la orilla. 1 = f = 7 , 50× 20 v λ = 0,375 m/s 5 b) La separación entre las crestas de 2 olas consecutivas es una longitud de onda: 450 λ = = 7, 50 m 60 Ejemplo 3. Una onda sinusoidal es enviada a lo largo de una de un resorte, por medio de un vibrador fijo en uno de sus extremos. La frecuencia del vibrador es 20 ciclos por segundo y la distancia entre puntos de mínimo sucesivos en el resorte es 24 cm. Encontrar: a) La velocidad de la onda b) La ecuación de la onda, sabiendo que el desplazamiento longitudinal máximo es de 4 cm. y que se mueve en el sentido positivo de x. Solución. a) Si f = 20 Hertz y λ = 24 cm. la velocidad es v = λf = 24 x 20 = 490 cm/seg. b) La ecuación de la onda que se mueve en el sentido positivo es y = Asen ( kx − ωt) Siendo 2π π A = 4cm, k = = y λ 12 2 π ω = = 2πf = 40 π T Luego la ecuación de la onda es ⎛ x ⎞ y( x, t ) = 4sen2π ⎜ − 20t ⎟ ⎝ 24 ⎠ y en cm x en cm y t en segundos. Corno la variable x aparece en la expresión con signo opuesto a la variable t, la onda se propaga en la dirección + x. Ejemplo 4. a) Una onda en una cuerda esta descrita por y = 0, 002sen( 0, 5x − 628t) . Determine la amplitud, la frecuencia, periodo, longitud de onda y velocidad de la onda. b) Una onda en una cuerda esta descrita por y = 25sen[ 1, 25π x − 0, 40π t] en el sistema cgs. Determine la amplitud, la frecuencia, periodo, longitud de onda, la velocidad de propagación y la velocidad transversal de la onda. Solución. a) La ecuación de la onda es y( x, t) = Asen( kx − ωt) A = 0, 002 m , 2 π k = = 0, 5 ⇒ λ = 12, 6 m λ 2 π ω = = 628 ⇒ T = 0, 001s T
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