CAPÍTULO 3. Movimiento ondulatorio y ondas - Biblioteca

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Movimiento ondulatorio y ondas Hugo Medina Guzmán A 2 = sen( kx − ωt) − Asenωt cos kx El primer término es una onda viajera y el Segundo una onda estacionaria. Ejemplo 34. Calcular la frecuencia del sonido fundamental emitido por una cuerda de 1 m de longitud y 1 mm de diámetro, cuya densidad es 2 g/cm 3 y está tensa por un peso de 9231,6 g. Solución. La frecuencia del sonido emitido por una cuerda es: f n = n 2L T μ m ⎞ ( 9, 2316kg) ⎜9, 8 ⎟ ⎝ s ⎠ = 2 ⎛ T = 90,47 N −6 ⎛ kg ⎞⎛10 π ⎞ μ = ρA = ⎜2000 ⎟ ⎜ ⎟ 3 ⎝ m ⎠⎝ 4 ⎠ −3 kg = 1, 57 × 10 m 1 90, 47 f = = 38,8 Hz −3 2 1 1, 57 × 10 () Ejemplo 35. Una cuerda está estirada por un peso de 10 N. Calcular el peso que debe tensar a otra cuerda de la misma sustancia, la misma longitud y doble radio para que emita la octava aguda de la que produce la primera. Se supone que ambas emiten el sonido fundamental. Solución. 2 μ = ρA = πr ρ , ( 2r) 2 m' ρπ μ' = = L L L 2 = 4πr ρ = 4 μ 1 f = 2L T y μ 1 f '= 2 f = 2L T ' 1 ⇒ f '= 2 f = μ' 2L Relacionando f y f’: 1 T ' f ' 2 f = f f 2L = 1 4μ 1 = T 2 T ' T 2L μ Como T = 10 N, T’ = 160 N T ' 4μ T ' ⇒ = 16 T 22 Ejemplo 36. Una cuerda horizontal, de longitud l = 0,80 m, esta sometida en uno de sus extremos a oscilaciones sinusoidales de frecuencia f = 120 Hz, esta frecuencia corresponde a uno de los modos resonantes de la cuerda y se observa que entre sus extremos aparecen 4 antínodos ó vientres cuya amplitud de oscilación es A = 2 cm. Calcular: a) La velocidad de propagación de las ondas. b) La velocidad y aceleración máxima que puede alcanzar un punto de la cuerda. c) La amplitud de oscilación de un punto de la cuerda situado a 0,050 m de un extremo de la cuerda. d) La amplitud de oscilación de un punto de la cuerda situado a 0,125 m de un extremo de la cuerda. Solución. λ = 0, 40 m , f = 120 Hz, a) La velocidad de propagación de las ondas. v = λ f = 0 , 40× 120 = 48 m/s b) La velocidad y aceleración máxima que puede alcanzar un punto de la cuerda. dy v = = Aωsenωt dt ⇒ = Aω = 0, 02× 240π = 4, 8π m/s v máx 2 d y 2 a = = −Aω senωt 2 dt ⇒ 2 2 2 = Aω = 0, 02 × 240π = 1152π m/s a máx ( ) 2 c) La amplitud de oscilación de un punto de la cuerda situado a 0,050 m de un extremo de la cuerda. Ecuación de una onda estacionaria: y = 2Asenkxcosωt La amplitud está dada por: 2π 2 Asenkx = 2Asen x λ Para 0,050 m ⎛ 2π ⎞ ⎛ π ⎞ 0 , 04sen⎜ 0, 050⎟ = 0, 04sen⎜ ⎟ = ⎝ 0, 40 ⎠ ⎝ 4 ⎠ 0, 028 m d) La amplitud de oscilación de un punto de la cuerda situado a 0,125 m de un extremo de la cuerda. Para 0,125 m
Movimiento ondulatorio y ondas Hugo Medina Guzmán ⎛ 2π ⎞ ⎛ π ⎞ 0 , 04sen⎜ 0, 125⎟ = 0, 04sen⎜ ⎟ = ⎝ 0, 40 ⎠ ⎝ 4 ⎠ 0, 037 m Solución. La frecuencia para ondas estacionarias en una cuerda fija en los dos extremos es v T f n = n , como para una cuerda tensa v = , 2L μ obtenemos: f n = n 2L T μ Como el punto de unión de los alambres tiene que ser un nodo, tenemos 1 n nodos para el aluminio y 2 n nodos para el acero. Siendo la frecuencia f , la tensión T y la sección de alambre S común para los dos alambres, tenemos: Para el aluminio n2 T f = 2L μ 2 2 n T 1 f = , para el acero 2L1 μ1 n1 T n2 T Luego = 2L1 μ1 2L2 μ 2 La masa por unidad de longitud m mS ⎛ m ⎞ μ = = = ⎜ ⎟S = ρS L LS ⎝ V ⎠ Reemplazando las expresiones de μ 1 y 2 μ : 23 n L 1 1 n2 T n 1 = ⇒ = 1 L2 ρ 2 n2 Ejemplo 37. Un alambre de aluminio de 1 60, 0 = L cm y con una superficie transversal 1,00x10 -2 cm 2 , está conectado a un alambre de acero de la misma superficie. El alambre compuesto, cargado con un bloque m de 10,0 kg de masa, está dispuesto como se indica en la figura, de manera que la distancia L 2 de la unión con la polea de sostén es 86,6 cm. Se crean ondas transversales en el alambre utilizando una fuente externa de frecuencia variable. a) Determine la frecuencia más baja de excitación en que se observan las ondas estacionarias, de modo que la unión en el alambre es un nodo. b) ¿Cuál es el número total de nodos observados en esta frecuencia, excluyendo los dos en los extremos del alambre? La densidad del aluminio es 2,60 g/cm 3 , y la del acero es 7,80 g/cm 3 n1 Reemplazando valores, obtenemos: = 0, 4 n2 Como la menor es la frecuencia se obtiene con el menor valor de n, tenemos que buscar los menores valores de n1 y n2 que tengan la relación 0,4, n1 2 = n2 5 Correspondiendo 1 2 . = n y 2 5 = n . a) Usando 1 2 = n , obtenemos la frecuencia que produce un nodo en la unión n1 T 2 10( 9, 8) f = = 3 −6 2L1 μ1 2( 0, 6) 2, 6 × 10 ( 10 ) = 324 Hz b) El número total de nodos observados en esta frecuencia, excluyendo los dos en los extremos del alambre, se pueden contar en el esquema de la figura, son 6 (hay un nodo común para el aluminio y para el acero). T ρ Ejemplo 38. Dos ondas armónicas se escriben por medio de: ⎛ x y − 40 1 ( x, t) = 0, 015cos⎜ t ⎟ ⎝ 2 ⎠ y2 ⎛ x + 40 ⎝ , y e y ( x, t) = 0, 015cos⎜ t ⎟ 2 ⎠ Donde x 1, 2 están en metros y t en segundos. Dichas ondas se propagan en una cuerda tensa de gran longitud e interfieren para producir una onda estacionaria. a) Determine la longitud de onda, frecuencia y rapidez de propagación de las ondas que interfieren. b) Determine la función de la onda estacionaria. c) Determine la posición de los nodos y antinodos en la onda estacionaria. d) ¿Cuál es la amplitud de la onda en x = 0,4 m? Solución. a) La onda viajera es de la forma ⎛ 2π y π ⎝ ( x, t) = Acos⎜ x − 2 f t ⎟ λ ⎠ Luego comparando: 2 π = λ 1 2 2 π f = 40 ⇒ ⇒ λ = 4π = 12,56 m 20 = π ⎞ ⎞ , ⎞ L L f = 6,37 Hz 1 2 ρ ρ 1 2
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