CAPÍTULO 3. Movimiento ondulatorio y ondas - Biblioteca

Movimiento ondulatorio y ondas Hugo Medina Guzmán
⎛ 2π
⎞ ⎛ π ⎞
0 , 04sen⎜
0,
125⎟
= 0,
04sen⎜
⎟ =
⎝ 0,
40 ⎠ ⎝ 4 ⎠
0,
037 m
Solución.
La frecuencia para ondas estacionarias en una cuerda
fija en los dos extremos es
v
T
f n = n , como para una cuerda tensa v = ,
2L
μ
obtenemos:
f n
=
n
2L
T
μ
Como el punto de unión de los alambres tiene que ser
un nodo, tenemos 1 n nodos para el aluminio y 2 n
nodos para el acero.
Siendo la frecuencia f , la tensión T y la sección de
alambre S común para los dos alambres, tenemos:
Para el aluminio
n2
T
f =
2L μ
2
2
n
T
1
f = , para el acero
2L1 μ1
n1
T n2
T
Luego =
2L1 μ1
2L2
μ 2
La masa por unidad de longitud
m mS ⎛ m ⎞
μ = = = ⎜ ⎟S
= ρS
L LS ⎝ V ⎠
Reemplazando las expresiones de μ 1 y 2
μ :
23
n
L
1
1
n2
T n 1
= ⇒ =
1 L2
ρ 2 n2
Ejemplo 37. Un alambre de aluminio de 1 60,
0 = L
cm y con una superficie transversal 1,00x10 -2 cm 2 , está
conectado a un alambre de acero de la misma
superficie. El alambre compuesto, cargado con un
bloque m de 10,0 kg de masa, está dispuesto como se
indica en la figura, de manera que la distancia L 2 de
la unión con la polea de sostén es 86,6 cm. Se crean
ondas transversales en el alambre utilizando una fuente
externa de frecuencia variable.
a) Determine la frecuencia más baja de excitación en
que se observan las ondas estacionarias, de modo que
la unión en el alambre es un nodo.
b) ¿Cuál es el número total de nodos observados en
esta frecuencia, excluyendo los dos en los extremos del
alambre?
La densidad del aluminio es 2,60 g/cm 3 , y la del acero
es 7,80 g/cm 3 n1
Reemplazando valores, obtenemos: = 0,
4
n2
Como la menor es la frecuencia se obtiene con el
menor valor de n, tenemos que buscar los menores
valores de n1 y n2 que tengan la relación 0,4,
n1
2
=
n2
5
Correspondiendo 1 2
.
= n y 2 5 = n .
a) Usando 1 2 = n , obtenemos la frecuencia que
produce un nodo en la unión
n1
T 2 10(
9,
8)
f = =
3 −6
2L1
μ1
2(
0,
6)
2,
6 × 10 ( 10 )
= 324 Hz
b) El número total de nodos observados en esta
frecuencia, excluyendo los dos en los extremos del
alambre, se pueden contar en el esquema de la figura,
son 6 (hay un nodo común para el aluminio y para el
acero).
T
ρ
Ejemplo 38. Dos ondas armónicas se escriben por
medio de:
⎛ x
y − 40
1
( x,
t)
= 0,
015cos⎜
t ⎟
⎝ 2 ⎠
y2 ⎛ x
+ 40
⎝
, y e y
( x,
t)
= 0,
015cos⎜
t ⎟
2 ⎠
Donde x 1,
2 están en metros y t en segundos.
Dichas ondas se propagan en una cuerda tensa de gran
longitud e interfieren para producir una onda
estacionaria.
a) Determine la longitud de onda, frecuencia y rapidez
de propagación de las ondas que interfieren.
b) Determine la función de la onda estacionaria.
c) Determine la posición de los nodos y antinodos en la
onda estacionaria.
d) ¿Cuál es la amplitud de la onda en x = 0,4 m?
Solución.
a) La onda viajera es de la forma
⎛ 2π
y π
⎝
( x,
t)
= Acos⎜
x − 2 f t ⎟
λ ⎠
Luego comparando:
2 π
=
λ
1
2
2 π f = 40 ⇒
⇒ λ = 4π
= 12,56 m
20
=
π
⎞
⎞
,
⎞
L
L
f = 6,37 Hz
1
2
ρ
ρ
1
2