CAPÍTULO 3. Movimiento ondulatorio y ondas - Biblioteca

Movimiento ondulatorio y ondas Hugo Medina Guzmán
Ejemplo 11. Sometemos al extremo de una cuerda a
un vibrador que le produce una onda sinusoidal. Si la
ecuación de la vibración escrita en el sistema
y = 5sen0,
2πt
, propagándose en la cuerda con una
velocidad de 10 cm/s. Determine la ecuación de la
onda producida.
Solución.
La ecuación de la onda que se propaga el sentido
negativo del eje OX es:
⎛ x
( x,
t)
= y0
sen π ⎜ + + ϕ ⎟
⎝ λ T ⎠
y 2
⎛ t ⎞
= + ϕ
⇒ y( x,
t)
y0
sen2π
⎜ ⎟
⎝ T ⎠
Comparando con la dada: y( 0 , t)
= 5sen0,
2πt
2 π
y 0 = 5 cm , = 0,
2π
→ = 10 s
T
Además como
λ = vT → λ = 10 × 10 = 100 cm
De aquí
⎛
y π
⎝
( x,
t)
= 5sen2
⎜ + ⎟
100 10 ⎠
x
t
t
⎞
T , ϕ = 0
Ejemplo 12. Las ecuaciones de dos ondas escritas en
el sistema CGS vienen dadas por:
y1( x,
t)
= 4sen2π
( 4t
− 0,
5x)
e
y2 ( x,
t)
= 6sen(
4πx
− 5πt
)
Calcular en cada caso:
a) Velocidad en función del tiempo, de un punto
situado a 10 cm del foco.
b) Velocidad máxima de ese punto.
c) Velocidad de fase.
d) ¿En qué instante alcanza su velocidad máxima un
punto situado a 1,5 m del foco?
e) Posición de los puntos que tienen velocidad máxima
en t = 0.
Solución.
y1 ( x,
t)
= 4sen(
8πt
−πx)
,
y2 ( x,
t)
= 6sen(
4πx
− 5πt
)
∂y1
a) v y1
( x,
t)
= = 32π
cos(
8πt
− πx)
∂t
∂y2
v y2
( x,
t)
= = −30π
cos(
4πx
− 5πt
)
∂t
Cuando x = 10 cm, entonces:
v y 10,
t = 32π
cos 8πt
−10π
= 32 π cos8πt
1
v y2
−
( ) ( )
( 10,
t)
−30π
cos(
40π
− 5πt
)
30π
cos5πt
b) En valor absoluto: v
v y2
max
= =
cm
= 30π
s
y1max
⎞
cm
= 32π
s
8
ω1
8π
cm
c) v 1 = = = 8 ,
k1
π s
ω2
5π
5 cm
v 2 = = =
k2
4π
4 s
d) Para x = 150 cm, obtenemos:
v y 1
( 150,
t)
= 32π
cos(
8πt
−150π
)
= 32 π cos8πt
si v y1
es máxima, entonces:
n
cos 8π
t = ± 1 ⇒ 8 πt = nπ
⇒ t = s
8
En v y2
será:
v y2
150,
t
( ) = −30π
cos(
600π
− 5πt
)
= − 30π
cos5πt
En el máximo:
n
cos 5π
t = ± 1 ⇒ 5 πt = nπ
⇒ t = s
5
e) Para t = 0, entonces: v y1
( x,
0)
= 32π
cosπx
y para que sea máxima:
cos πx = ± 1 ⇒ πx = nπ
⇒ x = n
Para v y2
, será: v y2
( y,
0)
= −30π
cos 4πx
y para que sea máxima:
n
cos 4πx
= ± 1 ⇒ 4 πx = nπ
⇒ x =
4
Ejemplo 13. Sometemos al extremo de una cuerda
tensa a un vibrador que le produce vibraciones
sinusoidales. Por este efecto se propaga por la cuerda
una onda transversal que tiene por ecuación:
y( x,
t)
= 10 senπ
( 1,
6x
− 0,
8t)
, expresada en el
sistema CGS.
a) ¿Qué condiciones iniciales nos determinan esta
ecuación de onda?
b) Determínese para esta onda su amplitud, velocidad
de propagación y longitud de onda.
c) Tiempo que tarda en comenzar a vibrar una
partícula de la cuerda situada a 10 cm del extremo en
que se encuentra el vibrador y ecuaciones horarias del
movimiento de el1a [ y ( t)
, v () t , a () t ] una vez
transcurrido éste.
d) Dibujar la forma que tiene la cuerda [ y () t ] cuando
han transcurrido 5,625 s del comienzo de la vibración
(perfil de la onda).
Solución.
a) Si hacemos x = 0 y t = 0, tendremos:
y 0 , 0 = 10 sen0
=
( ) 0
v
∂y
∂t
8
v 0 , 0 = −8π
<
( x,
t)
= = −8π
cosπ
( 1,
6x
− 0,
t)
⇒ ( ) 0
La ecuación dada nos determina que en el extremo de
la cuerda en que se encuentra al vibrador x = 0 y para