sistemas numericos y operaciones aritmeticas - Departamento de ...

SISTEMAS NUMERICOS Y OPERACIONES ARITMETICAS DE UN SISTEMA COMPUTACIONAL
La aritmética ha jugado un papel importante en la civilización,
especialmente en áreas de la ciencia, ingeniería y tecnología. Máquinas que
operan aritmética, podríamos encontrarlas desde el 500 AC., en forma de ábacos
usados en China. A través de la historia de las computadoras, los procesadores
aritméticos son la medida de capacidad de trabajo mas destacada. Obviamente
éstos son usados para ejecutar operaciones aritméticas y generar soluciones
numéricas a problemas computacionales. Desde el advenimiento de Medium/Large
Scale Integrated (MSI/LSI) mas y mas sofisticados procesadores se fueron
tornando estándar (hardware) en las computadoras de alta performance.
Estos procesadores en hardware (Aritméticos) proveen mayor velocidad de
cómputo que los m‚todos tradicionales de computación. La elección de un dado
sistema aritmético condiciona tanto al diseño del sistema como a las
aplicaciones.
Sea R un conjunto de números reales, la aritmética real podría definirse
como un mapeo algebraico
f: R x R -> M
Ejemplos típicos de f son las operaciones aritméticas +,-,*,/ de dos
operandos.
Sea M el conjunto de números representados en una máquina, cada número en
M podría tener solo un numero finito de dígitos. M será un subconjunto finito
de R, esto es, M está contenido en R. Una aritmética en la máquina podría
modelarse por el siguiente mapeo:
g: M x M -> M
La segunda difiere de la primera en el aspecto fundamental de la
precisión. Solo cómputos 'Finite Precision Aritmetic' (Aritmética de Precisión
Finita) pueden ser realizados por los procesadores aritméticos, mientras que la
aritmética real puede producir resultados de precisión arbitraria, sin
representación en la longitud. En otras palabras consideramos la aritmética de
la máquina como una aritmética real aproximada sujeta a los controles de
redondeo apropiados. En términos de mapeo funcional, la función máquina g puede
relacionarse a la real f por la siguiente función compuesta :
El mapeo h se define por
g : h o p
h = f| M x M -> R
Definida como la función real f restringida al dominio máquina M x M.
El mapeo definido por p: R -> M es el esquema de redondeo elegido, el
cual podría llevar un numero de longitud arbitraria a una forma representable en
la máquina. Nótese que las computadoras digitales, en contraste con las unidades
aritméticas convencionales, pueden realizar cómputos de precisión arbitrarios,
dada la suficiente capacidad de almacenamiento y tiempo de ejecución. 'Finite
Precision' surge de las restricciones en ambos aspectos impuestos al sistema:
tamaño de palabra restringida, registros, sumadores, capacidad de memoria y los
tiempos de ejecución.
El diseño aritmético incluye el desarrollo de los algoritmos aritméticos y
su implementación lógica. En el campo de arquitectura, esto interacciona con la
eficiencia de la implementación de una operación. En el campo del análisis
numérico esto concierne a la exactitud de una aritmética real aproximada.
Básicamente el diseño de esos sistemas involucra tanto el campo de ciencias de
la computación como el de la ingeniería digital.
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SISTEMAS NUMERICOS
La implementación de los algoritmos aritméticos en una computadora digital
depende en mucho de cómo el dato numérico es almacenado en memoria y en
registros. Diferentes representaciones internas resultarán en diferentes diseños
de Hardware. La elección de un sistema numérico impactar tanto al diseñador en
sus puntos de vista, como al usuario en sus métodos numéricos aplicados.
La aritmética real solo puede ser llevada a cabo por máquinas con
precisión finita, ya que todas las representaciones numéricas se deben
restringir a una longitud finita.
Una buena elección del sistema aritmético y de la representación interna
afecta tanto a la eficiencia de la implementación de las operaciones máquina
como a la exactitud de la aritmética real aproximada.
El diseñador deber estar atento a las realidades de la arquitectura en
cuanto a la eficiencia de tiempo y espacio, como también a la parte numérica
analítica de proveer suficiente exactitud para un rango amplio de aplicaciones.
Generalmente, los números a nivel máquina pueden dividirse en cinco
categorías:
A.- Sistemas Numéricos con Base (RADIX NUMBER)
Las computadoras usan base fija (FIXED RADIX) con r≥2 y un conjunto de
dígitos {0,1,2...,r-1}.
Todos los dígitos del número son pesados (ponderados) positivamente y cada
número es representado en forma única. Algunos sistemas especiales pueden usar
'Mixed Radix', en los cuales diferentes dígitos del número asumen valores
distintos de la base.
B.- Sistemas Numéricos de Dígito Signado
Este sistema puede ser considerado como una extensión del caso de Fixed-
Radix en el cual se advierten que los dígitos sean pesados tanto positiva como
negativamente en el conjunto {-α,...,-1,0,1,...,α} donde α es un entero positivo
limitado. Un dado valor numérico en este sistema podrá tener más de un valor
(representación). Por ello este sistema es considerado redundante.
C.- Sistema Numérico Residuo
A cada dígito no se le asigna un factor de peso, luego el orden de los
dígitos es irrelevante en la determinación del valor del número.
Además múltiples raíces son asignadas a diferentes dígitos.
Un número es representado por una n-tupla
con respecto a otra n-tupla
X= {r1,r2,...,rn}m
M={m1,m2,...,mn}
cada ri se denomina residuo de X módulo mi, donde todos los {mi: i=1,2,...n} son
relativamente primos de a pares. Todos los n dígitos residuos ri con
i=1,2,3,...n pueden ser procesados independientemente. A partir de esto la suma
y la multiplicación son inherentemente libres de carry en la aritmética residuo.
D.- Sistemas Numéricos Racionales
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Estos sistemas representan las cantidades numéricas como fracciones en
términos de pares de enteros numerador/denominador. Las operaciones básicas +,-
,*,/ de estos números siempre dan números racionales, luego estas operaciones
son cerradas, sin recurrir a precisión infinita. Una situación que torna esto
difícil es el caso de que numerador/denominador pueden hacerse muy grandes
rápidamente.
E.- Sistemas Numéricos Logarítmicos
Estos sistemas emplean un número real N>1 como base. El conjunto de
números reales es definido como el espacio logarítmico LN
LN = {x: |x|= Ni, i es entero} ∪ {0}
La idea de aplicar expresiones exponenciales surge para habilitar redondeo
geométrico mas que aritmético para aumentar la exactitud.
De todos los sistemas enunciados el básicamente empleado y del cual nos
ocuparemos es el sistema de base convencional, existiendo del segundo 'Redundant
Signed-Digit' un cierto número de implementaciones en sistemas. Los demás no han
probado a la fecha ser eficientes al grado de adoptarlos en implementaciones.
CLASIFICACION DE LAS OPERACIONES ARITMETICAS.
Se pueden clasificar en 3 clases desde el punto de vista del usuario y del
diseñador:
A.- Operaciones Aritméticas Estándar.
Esta incluye las 4 funciones aritméticas primitivas: suma, resta,
multiplicación y división tanto en punto fijo como en punto flotante.
Toda otra función matemática podrá ser expresada en términos de estas cuatro.
Respecto a los dos modos de operación, sobre lo que volveremos, podemos decir:
1.- Punto fijo (FXP) es usado normalmente en problemas con datos con
Fixed-Radix-Point, como los encontrados en aplicaciones comerciales o
cálculos estadísticos. FXP se puede subdividir en dos subclases, de
acuerdo a la posición aparente del punto. En aritmética entera todos los
esultados se alinean en el extremo derecho de los registros, como si el
punto estuviese en la derecha (extremo). En la aritmética fraccionaria
todos los resultados, independientemente de su longitud, se alinean a la
izquierda de los registros (extremo).
2.- Punto Flotante (FLP) es usado principalmente en cómputos de tipo
científico e ingenieril, en los cuales se requiere frecuentemente
escalamiento. FLP puede a su vez subdividirse en dos subclases de acuerdo
al formato de datos. Cuando se fuerza la normalización se tiene la
llamada FLP normalizada; cuando no se requiere los operandos normalizados
tanto durante etapas intermedias y finales del resultado, se tiene FLP no
normalizadas. La mayoría adopta la primera.
B.- Funciones Aritméticas Elementales.
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Se refiere a aquellas operaciones especiales usadas frecuentemente en
cómputos matemáticos. Incluye exponencial, raíz cuadrada, hiperbólicas, etc. No
todas las computadoras incluyen estas funciones como hardware estándar. En el
presente la mayoría implementa estas funciones elementarias por software o
firmware. 'Special Purpose Hardware' (Hardware de Propósito Especial) está
siendo utilizado cada vez más a partir de que el costo del hardware desciende.
C.- Operaciones Seudo-Aritméticas.
Estas requieren cierto grado de cálculo aritmético, pero principalmente
para propósitos dedicados en la ejecución de un programa. Dos subclases de
operaciones seudo-aritméticas serian:
1. Aritmética de direccionamiento: tiene que ver con el cómputo de la dirección
efectiva de memoria, como indexing, indirect, relative u offset.
2. Aritmética de edición de datos: incluye operaciones lógicas y de
transformación de datos como, comparación, complementación, load, store,
empaquetado, desempaquetado, logaritmos, normalización, etc. Estas son usadas en
la transformación de datos de un formato a otro, chequeo de consistencia con un
formato fuente, testeo para controlar la secuencia de ejecución.
Nosotros estamos interesados principalmente en la aritmética de FXP y FLP
estándar, de aplicación más general.
Las instrucciones aritméticas a su vez son subdivididas de acuerdo a la
precisión que manejan. 'Multiple Precision Aritmethic' se aplica tanto en
FXP,FLP.
1. SP se refiere a las operaciones definidas sobre operandos estándar con
longitud de palabra igual a una palabra de memoria.
2. DP usa el doble de la longitud de palabra para cada operando. Triple y
similares podrán definirse análogamente.
Algunos sistemas ofrecen Hardware para manejar datos binarios y decimal. En
estas máquinas las operaciones se definen directamente con operandos decimales.
La conversión (las operaciones de pack y unpack), requiere de instrucciones para
manejar los datos directamente en formato decimal.
Por ejemplo una instrucción ADD podría clasificarse en 16 categorias
SP
DP
FXP
FLP
Entero
Fraccionario
Normalizado
No Normalizado
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BINARIO
DECIMAL
Obs: El que clasifica
la operación es
el operando
Si no hubiese límite en la inversión de hardware en camino a aumentar la
velocidad de procesamiento, se podría diseñar una unidad aritmética para
procesar tanto datos reales como complejos, o hardware dedicados a resolver

cálculos especiales como 'Super Fast-Fourier Transformer' (SFFF), manipulador de
matrices. Esto es tanto m s posible cuando más avanza la tecnología.
BASE NUMBER SYSTEM.
El sistema adoptado, en su generalidad como quedó dicho, corresponde a estos
sistemas. Solo unos pocos utilizan SD y los restantes no han demostrado aún ser
eficientes por lo que no han sido aceptados.
Un número Base-r X se representa en una computadora por un 'Digital
Vector' de (n+k)-tuplas
X = (Xn-1 ....... X0, X-1 ....... X-k)r
donde cada componente Xi para -k ó i ó n-1 se denomina de i-ésimo dígito del
vector X. Cada dígito podrá asumir r distintos valores
{0,1,....,r-1}
donde r es la base del sistema numérico. En un sistema de base fija, todos los
dígitos asumen la misma base. El sistema decimal convencional pertenece a esta
categoría con r=10.
Los primeros n dígitos forman la parte entera del número, y los restantes
k, indexados negativamente forman la parte fraccionaria, un punto (o coma)
separa a ambas porciones. En una computadora ese punto es implícito, esto es, no
ocupa ninguna posición de almacenamiento.
Sistemas de Base Mezcla son aquellos que asumen para la base distintos
valores en diferentes posiciones del dígito. Por ejemplo 'Count Time' (horas,
minutos, segundos) sigue Bases Mezcla (24 60 60).
En un sistema pesado se asocia con cada vector digital X, un valor único
denotado como: n-1
Xu = (xi * wi)
i=-k
En donde cada wi se denomina el factor de peso para cada dígito, los n+k
factores de peso forman el vector de peso denotado por:
W = (wn-1,....,w0,w-1,w-2,....,w-k).
El valor de X se obtiene del producto escalar de X*W. En particular el
vector de peso
W = (rn-1, ..r0, r-1, ...., r-k)
corresponde a la representación posicional de un número base r con
valor: n-1 n-1
Xu = X * W = (xi * wi) = (xi * ri).
i=-k i=-k
En la práctica hay cuatro sistemas, correspondiendo a base r = 2,8,10,16
(binario, octal, decimal, hexadecimal).
A mayor r, más dígitos binarios para representarlos (codificarlos). En
general al menos k bits de requieren para codificar
un dígito en base r con:
k = log2 r
Los humanos estamos acostumbrados al sistema decimal, mientras que una
computadora digital codifica los datos en binario. Esta forma popular de
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codificación binaria est basada en la eficiencia de la representación,
facilidad para el diseño aritmético, y seguridad de la operación.
Para un sistema posicional de base b y n dígitos, podemos establecer que
la precisión, o la cantidad de números ser b n . Para cada posición habrá un
requerimiento de b símbolos, luego podemos definir:
E = n*b N = b n ln N = n*ln b
(E: espacio que me cuesta almacenarlo)
como una medida de la eficiencia del almacenamiento.
Si deseamos minimizar E con la restricción de una dada precisión, el
planteo es hallar b de tal forma que:
ln(N)
E = n*b = b* sea mínimo.
ln(b)
Derivando con respecto a b
dE (ln N) * (ln b −1)
=
db
2
(lnb)
El cual es 0, ln(b)=1 para b=e (2,73...).
Evidentemente la base de la de representación debe ser entera.
Desde el punto de vista de la eficiencia 3 es algo superior a 2, dado que 3/ln3
es menor que 2/ln2. Pero la elaboración de circuitos digitales con
representación de solo dos posibles estados para las variables es muy sencilla y
constituye una única alternativa lógica para un sistema digital desde un punto
de vista práctico. Se prefiere base 2 por su simplicidad y seguridad.
Como se dijo, la mente humana est acostumbrada a la notación decimal.
Leer y escribir strings extensos de 0's y 1's, los dígitos binarios posibles, no
solo es desagradable y engorroso al extremo, sino que también induce fácilmente
al error.
Para facilitar la comunicación hombre-máquina es deseable un sistema más
semejante a nuestra forma de pensar. Octal (b=8) y hexadecimal (b=16) son los
sistemas adoptados. La compactación que se logra, 3 para octal y 4 para
hexadecimal, es una enorme ventaja. Dado que estos sistemas tienen una base que
es potencia de 2, la conversión entre binario y octal o hexadecimal es trivial.
La elección entre octal y hexadecimal estar dada en un principio por el
hecho de ser múltiplos de 3 o 4, ¢ en algunos casos condicionada al número de
bits empleado para codificar campos de la instrucción, registros generales,
modos de direccionado, etc.
Veamos el problema general de convertir un número escrito en una base de
salida bs, a un número en una base destino bd. Esto puede ser manejado de varias
maneras. Los métodos más comunes o bien emplean multiplicación o división. Se
debe distinguir entre la conversión de números enteros y fraccionarios.
A- CONVERSION DE ENTEROS.
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Sea (xn,xn-1,......,x0) un entero en base bs y
(Xm,Xm-1,......,X0) su conversión a base bd.
A-I. METODO DEL PRODUCTO (usando aritmética destino bd)
Realizamos la suma:
n
|X| = (x i * (bs i ))
i=0
En aritmética base bd.
Ejemplo:
Sea x = 7632 en octal para convertir a decimal.
|X| = ((7*8+6)*8+3)*8+2 = 3994 en decimal.
A-II. METODO DE DIVISION (usando aritmética de salida bs)
Se tiene X0 = |x| mod bd, donde la división se realiza en base bs.
Continuando en igual sentido para los dígitos sucesivos, desde el menos
significativo al m s significativo, se tiene:
X = Q0 * bd + X0 X0 =|X| mod bd , X1=|Q1| mod bd
Q0 = Q1 * bd + X1 , X =Q0 * bd + X0, Q0= Q1 * bd + X1
El procedimiento termina con el valor de X1 correspondiente a Qi=0.
Ejemplo:
Convertir x = (7632)8 a base 10. La división se realiza en
octal y el resto se expresa en octal.
X0 = (7632)8 mod (12)8 = (4)8 y |7632/12| = (617)8
X1 = (617)8 mod (12)8 = (11)8 y |617/12| = (47)8
X2 = (47)8 mod (12)8 = (11)8 y |47/12| = (3)8
X3 = (3)8 mod (12)8 = (3)8
X = (3994)10.
B- CONVERSION DE FRACCIONES.
Se tiene ahora x =(x-1,x-2,....,x-n) y se deseala conversión a X=(X-1,X-2,....,X-m).
La primer cosa importante a destacar es que un número finito de dígitos en base
bs, no necesariamente tiene una representación completa en base bd. Sin embargo,
uno puede obtener los primeros m dígitos de la conversión nuevamente usando
multiplicación o división.
B-I. METODO DEL PRODUCTO (usando aritmética de salida).
Se multiplica por bd obteniendo:
X-1 = ⎣ |x| * bd ⎦
La parte fraccionaria de |x|*bd, la notamos ¯X-1 y se usa para computar:
Ejemplo:
X-2 = ⎣ ¯X-1 * bd ⎦
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Sea x = (.7632)8, convertirlo a decimal con 4 dígitos
fraccionarios.
(.7632)8 * (12)8 = (11.6004)8. Dando X-1 = 9
(.6004)8 * (12)8 = (7.405)8. Dando X-2 = 7
(.405)8 * (12)8 = (5.062)8. Dando X-3 = 5
(.062)8 * (12)8 = (0.764)8. Dando x-4 = 0
X = (.9750)10
B-II. METODO DE DIVISION (usando aritmética bd)
Simplemente se divide |x| por bs usando aritmética bd
n
X = (x -i * bs -i )
i=1
Ejemplo:
Convertir x = (.7632)8 a decimal. Esto puede ser escrito:
(((2/8 + 3)/8 + 6)/8 + 7)/8 = .9750 (todo en base 10)
Se tienen luego, para convertir de una base a otra dos métodos para
enteros, y dos métodos para fraccionarios. Muy a menudo se desea convertir de
binario (octal o hexadecimal) a decimal, y viceversa. Para calcular a mano,
acostumbrados a la aritmética decimal, se preferirán los métodos A.I y B.II
cuando se convierte de binario a decimal, y los métodos A.II y B.I cuando se
convierte de decimal a binario. Cuando el procedimiento se automatiza, por
programa o microprograma, la división debe evitarse y la aritmética binaria es
preferible. Dado que no siempre podremos usar multiplicación binaria, sobre
looks-ups podrán usarse o manejarse (ardid) como una simulación de la aritmética
decimal por procesos binarios.
Por ejemplo, multiplicar un número binario por 10 se puede realizar
corriendo 3 lugares a la derecha agregando al resultado 2.
Si se desea codificar cada dígito decimal con
k = ⎡log2 10⎤ = 4
hay varias formas de representar con 4 bits un número decimal: BCD, GRAY,
5211 y EXCESO 3. De estos los más populares son BCD y GRAY.
Es de notar que en algún caso de trabaja con código posicional, aunque
múltiple base como sería BCD, y en otros no posicional como EXCESO 3.
Díg.Dec. BCD GRAY 5211 EXC3 2421
0 0000 0010 0000 0011 0000
1 0001 0110 0001 0100 0001
2 0010 0111 0011 0101 0010
3 0011 0101 0101 0110 0011
4 0100 0100 __0111__ __0111__ __0100__
5 0101 1100 1000 1000 1011
6 0110 1101 1010 1001 1100
7 0111 1111 1100 1010 1101
8 1000 1110 1110 1011 1110
9 1001 1010 1111 1100 1111
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El código BCD, también expresable como 8421, se lo conoce como 'BCD
Natural'. Obsérvese que cada peso coincide con los cuatro primeros pesos del
sistema binario natural.
La ventaja del otro posicional, 2411, que comparte con EXCESO 3 y 5211 (no
posicionales), es su simetría según el eje que podemos trazar entre 4 y 5. Se
observa que la codificación de dos números simétricos al eje es obtenida
complementando cada uno de los bits de uno para pasar al otro. Esto se conoce
como autocomplementación.
Lo que sería el complemento a 9 (CRD) es trivial obtenerlo, además es de
observar que la suma de dos simétricos da 9 (1111) (esto facilita la resta de
igual signo y la suma de distinto signo).
El acarreo binario en exceso 3 coincide con el decimal.
En exceso 3, esto indica que el carry generado en sumas con códigos BCD
con estas características coincide con el carry binario, esto es, el que se
obtiene sumando en forma binaria los 1 y 0, que codifican el dígito decimal, lo
cual facilita la implementación de los mismos.
El GRAY conocido mas propiamente como 'Progresivo Cíclico' tiene la
característica de que de un dígito decimal al próximo se pasa cambiando un solo
bit. Esto puede ser útil en aplicaciones en donde la situación transitoria de
cambio de m s de un bit pudiese dar lugar a efectos no deseados. Se lo refiere
como GRAY pues esta codificación BCD es parte de ese código reflejado GRAY,
también llamado binario reflejado. Se construye reflejando a partir de una
primer línea de simetría 2 bits y agregando otros no reflejados, a su vez el
conjunto así formado se vuelve a reflejar a otra línea de simetría y así
sucesivamente.
0 0 0 0
1 0 0 1
--------------- Primer línea de simetría.
2 0 1 1
3 0 1 0
--------------- Segunda línea de simetría.
4 1 1 0
5 1 1 1
6 1 0 1
7 1 0 0
Puede observarse que las combinaciones 0010 a 1010 corresponden a lo que
hemos llamado código GRAY-BCD.
En lo concerniente a EXCESO 3 se obtiene el código sumando al código BCD
puro, 3 en binario. Como se vio es autocomplementado. En la operación de suma si
hay carry se debe recuperar el exceso, sino hay que quitarle 3 al resultado.
Esta operación se podría realizar en un hardware binario convencional
implementando la observación anterior.
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REPRESENTACION DE NUMEROS EN PUNTO FIJO.
Un número signado podrá ser positivo o negativo, pero no ambos.
Usualmente un dígito más a la izquierda de un n-positional number se reserva al
signo.
Considérese el siguiente número en base r:
A = (an-1 an-2 .... a0)r.
Donde el signo (dígito) an-1 ser :
an-1
0 si A ≥ 0
r-1 si A < 0
Los restantes dígitos en A especifican o bien la verdadera magnitud o el
complemento a la base (o a la base disminuida).
Dado que A es un número posicional, se puede (debe) ubicar el punto para
distinguir la parte entera de la fraccionaria. Si se adopta una posición fija
para el punto, se llama a esto 'PUNTO FIJO'. Teóricamente el punto puede ser
localizado entre dos dígitos adyacentes cualesquiera en una representación.
Hay dos representaciones aceptadas comúnmente, ambas son intercambiables.
Cada uno de los n-dígitos enteros puede ser considerado como una fracción
multiplicada por una constante r n , y cada dígito fraccionario puede ser
considerado como un entero multiplicado por un factor constante r -k , donde r es
la base adoptada. Es muy fácil convertir entre enteros y fraccionarios.
Luego las dos posiciones elegidas comúnmente para el punto son el extremo
izquierdo o el derecho de la magnitud del número. En el primer caso el punto cae
entre el bit de signo an-1, y la magnitud an-2 (bit más significativo). Esto
conduce a números fraccionarios estrictamente menores que uno. En el segundo
caso el punto pasa a la derecha del dígito menos significativo a0, lo que lleva
a números enteros.
Estas representaciones son esencialmente equivalentes. Se puede convertir
de una a otra multiplicando o dividiendo por un factor r n-1 . Fixed Radix es
implicada, no necesita espacio de almacenamiento
Para los números positivos an-1=0, y los restantes dígitos an-2,...,a0,
corresponden a la verdadera magnitud. Esto es la magnitud:
|A| = (mn-2,mn-3,....,m1,m0).
Donde mi=ai para i=n-2,...,1,0 cuando an-1=0 o A≥0.
La magnitud será:
n-1 n-2
|A| = (a i * r i ) = (m i * r i )
i=0 i=0
Hay tres diferentes notaciones para representar una magnitud negativa. Sea
A la versión negativa del número A, donde el bit de signo ahora es r-1:
1.- Signo Magnitud.
A = ((r-1), m-2, m-3, ..., m0)r
Donde los mi, n-2≥i≥0 son los dígitos de magnitud. Obviamente un número
difiere de su versión negativa, sólo en el bit de signo.
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2.- Complemento a la Base Disminuida (DRC).
A = ((r-1), m n-2, m n-1,..., m 0)r
Donde m i = (r-1)-mi , para n-2≥i≥0.
En esta notación A = r n -A-1.
A = 0 mn-2 .......... m1 m0
A = r-1 (r-1)-mn-2 ... (r-1)-m1 (r-1)-m0
A + A = r-1 r-1........... r-1 r-1 todos r-1, sumando 1:
A + A + 1 = 1 0 ........... 0 0 = r n
con lo cual A = r n -A-1.
3.- Complemento a la Base (RC).
A = (((r-1), m n-2,..., m 1, m 0)+1)r
En esta notación A = r n - A .
Veamos a modo de ejemplo almacenar con r=2 y n=16 la versión negativa y
positiva de A = (547)10 = (1000100011)2
Positivo Negativo
Sig-Magnitud 0000001000100011 1000001000100011
1ºComplement 0000001000100011 1111110111011100
2ºComplement 0000001000100011 1111110111011101
Para números negativos se completa con 1's tanto en complemento a 1 como
en complemento a 2. Para positivos se completa con 0's. Esto es lo que se
denomina 'Sign Extension' para el sistema numérico signado.
Observación:
En la adopción de un sistema numérico signado es importante la detección
de signo (facilidad de la misma), equivalencia en los rangos de positivos y
negativos, facilidad en las operaciones aritméticas básicas (+) y (-), y
representación del 0.
El rango de los enteros en cada representación est determinado por la
longitud de la palabra, 'n'. En los tres casos el límite superior positivo está
dado por el máximo entero que entra en n bits, incluyendo signo el cual es en
todos los casos 0. Esto es 2 n-1 -1 en decimal.
Se observa que el 0 tiene representación dual en Signo-Magnitud (100000)2
y en 1's Complemento (111111)2.
Mientras que en los casos anteriores el límite en cuanto al número
negativo más grande coincide con la magnitud del límite positivo, 2's
Complemento es asimétrico en el sentido que admite como negativo mas grande (en
magnitud) –2 n-1 (100...0). Es de observar que complementa sobre sí mismo lo cual
no es problema pues 100...0 está fuera de rango como positivo.
Ocurre 'Overflow' cuando un número positivo excede el límite superior.
Similarmente, ocurre 'Underflow' cuando un número negativo excede el límite
inferior.
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El rango lo podríamos resumir como:
Representación Rango Representado
Signo-Magnitud -(2 n-1 -1) ≤ A ≤ 2 n-1 -1 111...11 ó A ó 011...1
1's Complemento -(2 n-1 -1) ≤ A ≤ 2 n-1 -1 100...00 ó A ó 011...1
2's Complemento -2 n-1 ≤ A ≤ 2 n-1 -1 100...00 ó A ó 011...1
ALGORITMOS DE SUMA/RESTA
Signo-Magnitud
Sean
X = (xn-1 xn-2 .... x0)
Y = (yn-1 yn-2 .... y0)
S = (sn-1 sn-2 .... s0)
Si xn-1 = yn-1 es decir, si tienen el mismo signo entonces:
- se suman las magnitudes (xn-2 ... x0), (yn-2 ... y0)
- sn-1 será el signo de los sumandos
- Si Carryn-1 = 1 entonces se produjo un Overflow
Si xn-1 ≠ yn-1 es decir, si son de distinto signo entonces:
- |X| > |Y|, realizó |X|-|Y| (Circutito que reste)
- sn-1 será el signo del de mayor magnitud (xn-1)
Alternativa
Algoritmo
Realizo |X|-|Y|
Si OK ⇒ sn-1 = xn-1
|S|←|X|-|Y|
Si no (Si era |X|

2. Operandos de distinto signo
Si Carryn=0 entonces resultado correcto
Si Carryn=1 entonces se descarta el Carry y se suma 1 en la posicón menos
significativa
3. Ambos operandos negativos, luego Carryn=1
Descartamos el Carry y se suma 1 en la posición menos significativa
Si sn-1=o entonces Overflow
Análisis del Overflow
Ambos Cn = 0
+ Cn-1= 0
Ambos Cn = 1
- Cn-1= 0
Overflow = Cn ⊕ Cn-1 (⊕: OR exclusivo)
Complemento a la Base (RC / 2’s Comp.)
Sean
X = (xn-1 xn-2 .... x0)
Y = (yn-1 yn-2 .... y0)
S = (sn-1 sn-2 .... s0)
En RC para sumar se suman como si fuera todo el número incluyendo el signo, una
magnitud
1. Ambos operando positivos, luego Carryn=0
Si sn-1=1 entonces Overflow
2. Operandos de distinto signo
Si hay Carry entonces descarta y resultado correcto
3. Ambos operandos negativos, luego Carryn=1
Si hay Carry entonces descarta y resultado correcto
13

REPRESENTACION DE NUMEROS EN PUNTO FLOTANTE
La notación fija es conveniente para representar números de base pequeña
con órdenes de magnitud acotados. Considérese un binario con 32 bits (palabra).
El rango a manejar esta acotado por ±(2 31 -1), el que aproximadamente es ±(10 11 ).
Esto seria inadecuado para ingeniería y aplicaciones científicas. En camino a
representar números en un rango mucho mayor se emplea una representación por
partes:
f =(m,e)
Para expresar un número real:
f = m.r e
Donde m y e son ambos números signados en punto fijo, en una dada base.
Una posible representación para operandos de 32 bits sería reservar los 22 bits
m s a la izquierda para el m y los restantes 10 para el campo e con una base
implicada r=2.
Los dos componentes m y e se llaman mantisa y exponente de la notación f
respectivamente. En general, la mantisa m puede asumir uno de los tres sistemas
vistos para FXP (Punto Fijo). La base r no aparece en la representación ya que
es auto implicada.
Es interesante observar que el punto en la mantisa m puede flotar a partir
de ajustar la magnitud del exponente. Por esta razón a esta notación se la
refiere como 'Floating-Poing Representation' (FLP).
Es de notar que muchas de las primeras computadoras usaban FXP Arimetic.
Esto, en cálculos científicos, implicaba redondear los números constantemente
para reducir el número de dígitos a una cantidad manejable. Los problemas
generados es estas aplicaciones tienen que ver con rango, precisión y
significancia de los números representados.
El rango más usado en punto fijo es el intervalo unitario -1 a +1. Cuando
el rango de los números se hace muy grande o muy pequeño durante el cómputo, el
programador deber seguir la posición del punto de todos los números
intermedios. Los fuera de rango son manejados usualmente por escalamiento por
software, firmware o hardware. Obviamente, los números científicos no entran en
esta escala (intervalo) unitaria. En muchos casos, el número debe ser escalado
hacia arriba o hacia abajo para entrar en el intervalo unitario, y al final del
cómputo el resultado debe ser transformado de vuelta al dominio del usuario. Sin
estas transformaciones, el hardware de FXP produce resultados sin sentido.
El problema del escalamiento incluye la selección del factor de escala
adecuado, y en casos m s sofisticados empleo de Escaling Loop los que modifican
los Escaling Factors en el lazo según las circunstancias. Cualquier n-digit,
base r FXP number tiene un valor absoluto menor que r k dando un máximo error de
r k-n , adoptando un factor de escala común r k . En particular k=0 y k=n corresponde
a FXP fracción y FXP enteros, respectivamente.
La precisión natural de un FXP de n dígitos es luego limitada a un máximo
valor de r -n . Para incrementar la precisión, se sugirió múltiple precisión FXP
Arimetic. Pero usar mas de una palabra para cada Fixed Point Number normalmente
implica más Overhead de programación y consumo de espacio en almacenamiento de
datos e instrucciones.
Para cálculos complicados este escalamiento y extensión de precisión
implica un extensivo análisis matemático y cómputo lateral para seguir los
factores de escala o controlar las longitudes de las palabras. Usualmente el
máximo factor de escala es el usado en todo el conjunto de números. La
introducción del escalamiento puede acarrear pérdidas significantes de
significancia. Por ejemplo, la diferencia actual entre un factor de escala
común, r p y orden de magnitud r z de un número con algún z

significancia a situaciones muy singulares, las cuales el hardware no puede
manejar excepto con la intervención del programador.
Esto se propuso hacia 1940, para superar los problemas del FXP. Aun con un
hardware doble o triple, con mecanismos de redondeo más complicados, FLP es
universalmente aceptado para 'High Speed Scientific Computations'.
Hay dos tipos de FLP: 'no normalizados' y 'normalizados'. Uno normalizado
opera con normalizados y fuerza la post-normalización en todos los resultados
inmediatos e intermedios. La forma normalizada tiene las ventajas de simplificar
los procedimientos a partir de una única representación, y resulta en una máxima
significancia en la mantisa de cada cómputo. La aritmética de punto flotante es
un conocimiento a partir de los esfuerzos previos de desarrollo de escalamiento
automático para superar el limitado rango y la precisión rígida asociada a FXP.
La mayoría de las computadoras de propósito general están equipadas con
ambos FXP y FLP Aritmetic Procesor.
Formatos del Punto Flotante
Muchos factores deben ser pesados en la elección de m, e y r. En
particular el rango de valores a acomodar y la precisión que se desea obtener
son los dos factores m s importantes.
Es que ambos, e y m, comparten una o m s palabras en la representación. El
dar más espacio a una acorta a la otra. Incrementar el rango dando m s dígitos
al exponente decrementaría la longitud de la mantisa, disminuyendo luego la
precisión. Decrementar los bit del exponente conduce a lo opuesto. El tercer
par metro, la base de representación, tiene a su vez impacto en el rango y la
precisión. Más adelante veremos como juega este factor en la generación del
error.
Hay otras decisiones que son menos críticas. La mantisa podrá ser entera
o fraccionaria; el punto binario implicado a la izquierda o a la derecha de la
mantisa. Además esta podrá ser representada en una de las tres formas vistas. El
exponente ser un número signado con diferentes formas de representación.
Finalmente la base se elegir de acuerdo a la longitud de palabra, y de
acuerdo a la precisión y al rango como se dijo, pero siempre ser potencia de
dos.
Muchos puntos flotantes tienen tres campos, ocasionalmente 4, signo,
mantisa, exponente y siendo el signo del exponente el cuarto, raramente
expresado.
Como debe ser, o mas o menos, la forma de trabajar típica es notación
exceso. Si el exponente es de A bits de longitud todos los exponentes se
polarizan por 2 A-1 . Esto es, el exponente más negativo es cero. Esto facilita el
manejo de los exponentes (comparación). El exponente resultante ser e+2 A-1
(aclarar la aritmética).
Un ejemplo de formato de punto flotante es el sistema CDE 6000 serie 70:
0 1 11 59
sig-mantisa exponente mantisa no signada
exceso 1024
• Elecciones Básicas
Muchas computadoras son diseñadas con aritméticas en punto flotante binaria,
como es DEC con su PDP-11 Family, luego vino IBM con System/360 que adopto base
16 para su punto flotante. Otras máquinas como la Illiac II usaba base 4 y la
Burroughs usaba base 8. Se puede ver a medida que la base aumenta, menos
corrimientos por alineación (suma/resta) y normalización se requieren. Binario y
octal fueron usados en máquinas en punto flotante en aplicaciones científicas
con pocas protestas sobre sus propiedades numéricas. Las máquinas
15

hexadecimales, sin embargo, han despertando muchas críticas de usuarios con
aplicaciones científicas. Esto motorizó la investigación en las propiedades
numéricas de los sistemas de punto flotante en función de la base.
Esto tiene que ver con el análisis de los errores de representación,
simulación y redondeo; determinación de los limites rigurosos (en la
determinación funciones matemáticas) del error relativo y las correspondientes
consideraciones a nivel de diseño de la máquina.
Los argumentos y discusiones de los méritos relativos de binario, octal,
hexadecimal y otros FLP Sistems se centran principalmente en características
como rango del exponente, densidad de los números y error relativo máximo.
Las operaciones de punto flotante pueden dar lugar a situaciones singulares
aún cuando estas sean legítimas sobre datos legítimos. Se usaran los símbolos +∞
y -∞ para referirse a los quasi-infinite positivos y negativos correspondientes
a FLP Numbers cuyo exponente excede el máximo valor positivo. Dos
infinitesimales, +∈ y -∈ inicialmente se definen como aquellos FLP Numbers cuyo
exponente excede el máximo negativo. ±∈u no normalizados y ±∈n normalizados.
Si p es el número de dígitos en la mantisa y q+1 el del exponente, los
infinitos infinitesimales definidos anteriormente satisfacen las siguientes
propiedades con r=2 k donde k=log2r es el número de bits requerido para
representar cada dígito base r. Nótese que el menor no cero 2 -p fracción binaria
es igual al menor no cero fracción base r, r -p/k .
q
2
+∞ > (1-2 -p −1
) * r Max mantisa + / Max exponente
-∞ < -(1-2 -p q
2 −1
) * r Min mantisa - / Max exponente
1) 0 < +∈u < 2 -p q
-(2
−1)
* r Min mantisa + / Min exponente
2) -2 -p q
-(2
−1)
* r < -∈u < 0 Max mantisa - / Min exponente
3) 0 < +∈n < r -1 q
-(2
−1)
* r Min mantisa + / Min exponente
4) -r -1 q
-(2
−1)
* r < -∈n < 0 Max mantisa - / Min exponente
1 y 2) NO NORMALIZADOS 3 Y 4) NORMALIZADOS
Gráficamente:
NORMALIZADOS NO NORMALIZADOS
Overflow +∞ +∞ Overflow
(1-2 -p q
2 −1
)* r (1-2 -p q
2 −1
)* r
q
+N
r -1 -(2
* r
−1)
0+ 2 -p -(2
* r
−1)
0+
+∈n
+∈u
Underflow 0 verdadero Underflow 0 verdadero
-∈n -∈u
-r -1 q
-(2
−1)
* r 0- -2 -p q
-(2
−1)
* r 0-
-N
-(1-2 -p q
2 −1
) * r -(1-2 -p q
2 −1
) * r
Overflow -∞ -∞ Overflow
16
q

Ahora bien, qué situaciones se pueden dar en los resultados durante una
ejecución de instrucciones de punto flotante en una computadora digital:
- Overflow del Exponente:
Esto se refiere a la condición de que el exponente resultante exceda el
límite superior, tanto para mantisas positivas como negativas, dando lugar a +∞
, -∞.
- Underflow del Exponente:
Se refiere a la condición de que el exponente resultante exceda el mínimo
valor permitido y caiga en el intervalo (-∈,0-) y (0+,+∈). Es de notar que el
verdadero cero al origen de coordenadas es una excepción. En otras palabras,
cero no cae en el intervalo infinitesimal (-∈,0-) y (0+,+∈).
Cuando un exponente lleva a 'Overflow\Underflow', el hardware genera una
señal aproximada. A veces esto se saltea sin interrumpir el cómputo y otras se
dá intervención al software para preservar el sentido del cómputo.
A diferencia de FXP, cero en FLP puede tener más de un significado.
Orden de Magnitud Cero
Todo punto flotante teniendo mantisa 0, esto es (m,e) = (0,e), se denomina
'Orden de Magnitud Zero' (OMZ), donde e puede asumir cualquier valor legítimo en
ese campo. Esto surge al realizar el siguiente cálculo:
(m,e) - (m,e) = (0,e)
Este valor representa un amplio rango de valores indeterminados que
satisfacen la siguiente desigualdad:
-r e-p < (0,e) < r e-p
donde p es el número de dígitos de la mantisa y r la base implícita.
Recordar que el verdadero 0 no pertenece al conjunto infinitesimal, esto
se da con un OMZ con exponente cero, (0,0).
Los números legítimos como se indica en la figura son:
+∈ < +N < +∞
-∞ < -N < -∈
El verdadero cero corresponde a la línea divisoria entre positivos y
negativos.
Tabulemos una serie de operaciones involucrando números infinitos,
infinitesimales, OMZ y FLP normalizados.
N normal ∞ infinito ∈ infinitesimal Zi=(0,ei) (OMZ)
Suma / Resta
∞ ± N = ∞ N ± ∈ = N N - ∞ = -∞
∈ - N = -N ∞ + ∞ = ∞ ∞ ± ∈ = ∞
∈ ± ∈ = ∈ ∈ - ∞ = -∞ ∞ - ∞ = ∞
∈ - ∈ = ∈ N ± Z = N Z – N = -N
Z1 ± Z2 = Z3
Multiplicación
∞ * N = ∞ N * ∈ = ∈ ∞ * ∞ = ∞
∈ * ∈ = ∈ ∞ * ∈ = ∞ (ó ∞ * ∈ = ∈ )
Z1 * Z2 = Z3
N * Z1 = Z2
17

División
∞ / N = ∞ ∈ / N = ∈ N / ∞ = ∈
N / ∈ = ∞ ∞ / ∈ = ∞ ∈ / ∞ = ∈
∞ / ∞ = ∞ ∈ / ∈ = ∞ (ó ∈ / ∈ = ∈)
Z1 / N = Z2
N / Z1 = N / 0
Muchas máquinas adoptan ∞ * ∈ = ∞ y ∈ / ∈ = ∞ en lugar de ∞ * ∈ = ∈
y ∈ / ∈ = ∈ para enfatizar la alarma a través del OVERFLOW. N / Z ó N / 0
seteará el flag de división por 0.
NORMALIZACION
La representación de punto flotante es inherentemente redundante en el
sentido que el mismo número puede ser representado en más de una forma, por
ejemplo:
1 * 10 18 = 0.1 * 10 19
Generalmente es deseable en una implementación adoptar una única forma
siempre.
Si la mantisa es Signo-Magnitud fraccionaria y la base 2, se dice que la
mantisa est normalizada si el dígito a la derecha del punto no es 0. Esto
significa que no hay ceros al comienzo en la magnitud del número:
0.1 * 10 19 es la única forma de representar el número del
ejemplo anterior.
La fracción binaria en complemento a 2 está normalizada cuando el bit de
signo difiere del bit de más significancia a su derecha. Esto implica que no hay
unos al comienzo de un número normalizado negativo en complemento a 2.
El rango está dado por
1/2 ≤ |M| < 1
( M=mantisa para cualquier base.)
Para normalizar se desplaza la mantisa a la izquierda, modificando en
forma acorde el exponente (decrementándolo), en múltiplos de k siendo k= log2 r.
Obviamente la normalización asegura la máxima significancia. Hay una
posibilidad de incrementarla trabajando con el HIDDEN BIT (oculto). Dado que el
número siempre estar normalizado, el almacenamiento del primer dígito es
innecesario. Si se evita se gana un bit de significancia en el caso de binarios.
18

• Operaciones de Punto Flotante Normalizadas:
Las cuatro operaciones estándar : suma, resta, multiplicación y división, se
pueden realizar en punto flotante por HARDWARE con un rango mucho mayor y un
mejor control de la precisión. Los operandos x1=(m1,e1), x2=(m2,e2) con x=m*(r e )
y r la base implicada. La mantisa m ser una fracción con p dígitos
significativos (excluyendo el signo) dando el siguiente rango normalizado:
1/r ≤ |m| ≤ 1-r -p < 1
y el exponente e un número signado de q bits (excluyendo el signo) tal que:
0 ≤ |e| < r q-1
El exponente es una variable que determina la real posición del punto
OPERACIONES DE PUNTO FLOTANTE
SUMA / RESTA
(M1,e1)+/-(M2,e2)= ( (M1 +/- M2*r -(e1-e2) ),e1) , si e1 > e2
( (M1*r -(e1-e2) ) +/- M2),e2), si e1 ≤ e2
Algoritmo:
• Detectar el operando con exponente mayor
• Correr la mantisa del de menor exponente |e1-e2|*log2 r
lugares
• Sumar las mantisas
• Normalizar si es necesario
MULTIPLICACION
(M1,e1)*(M2,e2)=(M1*M2,e1+e2)
Algoritmo:
• Sumar los dos exponentes(eventualmente obtener el exceso
correcto)
• Multiplicar las mantisas
• Post-Normalizar el resultado, si es necesario, multiplicando
la mantisa por r y restando 1 al exponente.
DIVISION
(M1,e1)/(M2,e2)=(M1/M2,e1-e2)
Algoritmo:
• Restar los exponentes(eventualmente realizando el ajuste)
• Dividir las mantisas
• Post-Normalizar, si es necesario y/o deseado, multiplicando
la mantisa por 1/r y sumando 1 al exponente.
19

TRUNCADO (CHOPPING) Y REDONDEO (ROUNDING).
En muchos casos el resultado de una operación de punto flotante puede
exceder con p dígitos de la mantisa. Por ejemplo:
(*) p+1 dígitos resultan de sumar dos números de p dígitos normalizados(si la
suma excede el valor 1).
(*) 2*p dígitos se obtienen al multiplicar dos números de p-dígitos.
En el primer caso, suma overflow, se corre a derecha una posición y se
quita el último bit (menos significativo) independientemente de su valor. Esta
operación se llama 'Truncado'. En esta aritmética la mantisa resultante se
normaliza primero y luego, los bits de mas allá de la posición p se descartan y
los p de orden superior se retienen incambiados. Si x=0.130581 trunco a 4 daría
(x)4 = 0.1305
Cuando realizamos la segunda operación, producto, una forma razonable de
quitar de los 2*p dígitos los p inferiores, es sumar uno si el bit más
significativo de la segunda mitad es 1, de otra manera sumar 0. Esto define una
manera de 'Redondeo' de los p bits menos significativos.
Como se podrá ver, el redondeo conduce al número más próximo de p. Este
método aproxima el valor del resultado o bien por arriba o por abajo. Por ello,
el margen de error está dado como máximo por:
E = r -p / 2
El umbral se resuelve solo a partir del bit más significativo (el bit mas
significativo, si es ò r/2, es siempre 1) de la posición a ser quitada,
independientemente de la base.
Es decir, La operación de redondeo se resuelve en sí mirando el primer bit
de la porción del número a descartar (si es 1 entonces la porción a descartar es
ò r/2), independientemente de la base en que se trabaja.
Si el dígito tiene un valor entre:
{r/2,(r/2)+1, ... ,r-1}
entonces se suma un 1 a la parte superior; pero si el dígito tiene un valor
entre:
{0,1, .....,r-1}
entonces no se hace nada, que equivale a truncar.
Teoría de Redondeo
Lo visto en la sección anterior consideraba sólo valores absolutos. Una
descripción algebraica más rigurosa debe distinguir números positivos y
negativos, a los efectos de normalizar los métodos existentes.
Habíamos visto la función de redondeo como:
ρ: R -> M (M: Representacíon máquina)
definida para todo a, b ∈ R tal que se verifica:
ρ(a) ≤ ρ(b) toda vez que a≤b.
Se denomina 'redondeo optimal' si para todo a ∈ M,
ρ(a) = a.
En la práctica esto será así para cualquier representación razonable. Un
redondeo optimal implica que si a∈R y m1, m2 son dos números consecutivos de M
con m1 < a < m2, luego o bien ρ(a)=m1 ó ρ(a)=m2. Está claro el interés luego en
que las implementaciones sean optimal.
20

Dem: supongamos que diese un m1'< m1, esto implica que ρ(m1) (que es m1), por ser
optimal conduce a un número mayor del que es un redondeo de uno menor, lo cual
contradice el requisito básico del redondeo de no alterar el orden de los
números (relativo) cuando aplicamos el redondeo:
Dem1: Sea M1< a < M2 con a∈R y M1,M2 ∈ M, consecutivos
Si aplicamos â a la expresión anterior, tenemos
ρ(M1) ≤ ρ(a) ≤ ρ(M2) entonces M1 ≤ M2, luego
ρ(a) = M1 ó ρ(a)=M2 .
Dem2:
Hip: (1) ρ(a)= M' con M'

T siempre redondea hacia el cero, A redondea alejándose del cero y P
siempre adopta el número máquina más cercano, y en el caso de ser el de la mitad
elige el de mayor magnitud.
La mayoría de las máquinas elige o bien T o P, un poco como vimos. El
diseñador del sistema de punto flotante debe realizar decisiones que afectan
tanto la velocidad de cómputo como a la exactitud. Se puede demostrar que la
mejor precisión se obtiene con bases bajas y métodos de redondeo sofisticados; y
su contraposición, velocidades de cómputo se incrementan con valores grandes de
la base y métodos de redondeo sencillos como truncado. Un buen método de
redondeo incrementa la precisión pero a su vez puede reducir (o afectar) la
velocidad de todo el sistema.
Análisis de Error
La decisión la hacemos adoptando tres representaciones (r,q,p)=(2,9,22);
(4,8,23),(6,7,24), para representar en números de 32 bits aproximadamente el
mismo rango, donde
r: base
q: bits para el exponente
p: bits para la mantisa
Cada representación de un número por m∈M puede ser visto como una clase de
equivalencia de números reales:
m = { x tal que x∈R y x≡m}
donde x≡m denota la relación de equivalencia de acuerdo a la precisión.
El error en la representación, surge de representar un evento x de la
clase de equivalencia.
Para todo FLP (r,q,p), el valor del intervalo entre dos números
adyacentes normalizados es igual a
2 -p * r e Diferencia entre M1 y M2
e: exp que estamos usando
donde e es el valor del exponente no polarizado. En particular con r = 2 k
2 -p * 2 k*e = 2 (k*e-p)
La magnitud del error de representación es entonces el valor anterior
dividido 2.
El error relativo δ de un m∈M y su equivalente x∈R corresponde a
(x - m)
δ = (
x
Si se asume una probabilidad logarítmica para la distribución de los
números normalizados en el rango
1/r ≤ x < 1 P(x)=
22
1
x.(ln
r)

y un error uniformemente distribuido obtenido a partir de un redondeo
apropiado
2
Q(x)=
4.
x
p −
luego el promedio del error relativo de representación (ARRE) se define
como
-p
−p
1
1 2 dx (r-1).2
ARRE (p,r)= ∫1 P(x).Q(x) dx = ∫1
=
2
4x
ln r 4.ln r
r
r
El valor máximo del error relativo de representación sobre todas las
mantisas normalizadas se define como
MRRE (p,r)= 2 -p-1 .r (Ver Obs. mas adelante)
Estos valores para los tres casos propuestos conduce a los siguientes
números:
r p q MRRE ARRE EXPONENT NUMBER
2 9 22 0.5*2 -21 0.18*2 -21 9
(2 −1)
2
9
2 −22
2 .( 1−
2 )
4 8 23 0.5*2 -21 0.14*2 -21 9
(2 −2)
2
9
2 −23
2 .( 1−
2 )
16 7 24 2 -21
0.17*2 -21 9
(2 −4)
2
9
2 −24
2 .( 1−
2 )
El hecho de que MRRE es la mitad que la correspondiente Hexadecimal para
Binario ha sido usado como indicador de la superioridad de esta sobre la
primera.
A lo sumo esta superioridad es marginal si consideramos además los valores
de ARRE. La tabla muestra que r=4 conduce al menor error. La representación
cuaternaria no es nunca menos exacta que la binaria y el valor de ARRE es un 20%
menor que el binario.
Otros estudios usando 'Boot-Mean-Square' (rms) han corroborado estas
ecuaciones como mejor resultado para r=4. Dados los diferentes rangos, con r=4 o
r=8, algunos sistemas optan por 8 por requerimiento del rango mínimo aceptable,
frente a optar por 4; pero bases mayores que 8 son siempre inferiores a base 4.
Algunas computadoras como PDP-11 usan normalización binaria implícita.
Haciendo uso de que la mantisa es binaria y por ende todo número normalizado
define al dígito mas significativo como complemento del de signo, esta
información es redundante, no se almacena este dígito "Hidden-Bit" y con ello se
aumenta en 1 bit la significancia. Observar que a partir de esto el valor
correspondiente de MRRE (p,r) se reduce a la mitad!.
Observación: Si el intervalo como vimos es para dos números normalizados
adyacentes 2 -p * r e = 2 k*e-p , y si aplicamos redondeo reducimos el máximo error a la
mitad, esto es 2 k*e-p-1 resulta que el máximo error relativo (MRRE) de
representación corresponder al menor número normalizado representable, esto es
2 -k * 2 k*e (p es k=1: 0.1000*2 e , k=4: 0.00010000 16 e )
k*
e-p-1
-p-1
2 2 -p-1
MRRE = = = 2 . r
−k
k*
e -k
2 . 2 2
cqp.
Es de notar que una alternativa al redondeo que conduzca eventualmente a
tener que sumar un dígito en la posición menos significativa es implementar una
aproximación al mismo con ROM. Veamos esto:
23

Mantisa
Incambiada
Mantisa Porción a descartar
x bits
ROM
2 X+1 .x
x bits
Para evitar la suma direccionamos una ROM (Read Only Memory) con la
información de los 'X bits inferiores' de la porción de la mantisa a conservar y
el valor del dígito mas significante de la parte a descartar.
Como información, salida de la misma, obtenemos la definición, valor, para
los X bits menos significativos del número resultante, como lo hace; entregando
los dígitos correspondientes a haber sumado (si el bit más significativo a
descartar es 1, suma, si es 0, no), siempre y cuando los x bits no sean todos
uno, con lo que no puede sumar pues habría propagación de carry a la posición
inmediata siguiente a los x bits. Luego este sería el único caso, cuando
procedería por truncación, descarta y deja la porción de la mantisa incambiada.
Esto en general ha dado buenos resultados en la métrica de ARRE, por ejemplo.
24

Introducción.
LENGUAJES Y ORGANIZACION DE UNA COMPUTADORA
Una computadora digital es una m quina que puede resolver problemas a
partir de ir ejecutando instrucciones que se le han suministrado. La secuencia
de instrucciones que describen como realizar una tarea se denomina 'programa'.
Como hemos dicho, las componentes electrónicas directamente solo pueden
realizar un conjunto limitado de instrucciones, en las cuales los programas
deberían realizarse (o convertirse) antes de ser ejecutados (excepción hecha de
los Hard dedicados a propósitos especiales, por ejemplo para procesamiento de
matrices, etc.).
Estas instrucciones primitivas con todo forman un lenguaje en el cual la
gente puede comunicarse con la computadora. Este lenguaje se llama 'Lenguaje
Máquina'. El diseñador de una computadora nueva debe decidir qué instrucciones
incluir en su lenguaje m quina. En general trataría de hacer estas instrucciones
primitivas lo más simples posible, consistente con la computadora deseada, con
el objetivo de reducir el costo de la electrónica necesitada. Dado que muchos de
estos lenguajes son tan simples, es difícil y tedioso programar en ellos.
El problema puede ser atacado fundamentalmente de dos maneras, las cuales
en ambos casos implican definir un nuevo set de instrucciones que sea mas
convencional para la gente. Estas instrucciones constituyen un nuevo lenguaje al
cual podremos llamar L2, así como las instrucciones construidas en hardware
forman un lenguaje L1. La diferencia entre los dos métodos radica en la forma en
que los programas escritos en L2 son ejecutados por la computadora, la cual
después de todo solo puede ejecutar programas en el lenguaje máquina L1.
Uno de los métodos de ejecutar un programa escrito en L2 es reemplazar
primero cada instrucción en L2 por la secuencia equivalente en L1. La
computadora ejecuta luego un nuevo programa L1 en lugar del viejo L2. Esto se
denomina 'Traducción'.
La otra técnica es escribir un programa en L1 que toma al programa L2 como
dato de entrada, examina en orden cada instrucción ejecutando la secuencia
equivalente de L1 directamente. Esto no requiere la generación de un nuevo
programa en L1. Esto se denomina 'Interpretación' y el programa que lo realiza
se llama 'Intérprete'.
La diferencia es que en el primero todo el programa es convertido primero
a un programa en L1, y L2 es dejado a un lado (en cuanto a la ejecución). En el
otro cada instrucción de L2 es examinada y decodificada y ejecutada
inmediatamente. Ambos métodos son ampliamente usados.
Mas que pensar en términos de traducción o interpretación, es a menudo mas
conveniente imaginar la existencia de una máquina hipotética, 'Virtual Machine',
cuyo lenguaje sea L2. Si esa máquina se puede construir en forma económica no
hay necesidad de tener L1; esto es, una máquina que ejecuta programas en L1. Aún
cuando esta máquina no fuese implementable razonablemente (económicamente), el
programador podrá escribir programas en L2 los cuales no se ejecutar n
directamente sino que serán o bien interpretados o bien traducidos de forma de
poder ser ejecutados en L1, el cual en sí mismo se ejecuta directamente en el
hardware existente.
Para realizar o bien la traducción o la interpretación práctica, L1 y L2
no deben ser demasiado diferentes. Esto significa que L2 aún siendo mejor que L1
estar no muy lejos del ideal para la mayoría de las aplicaciones.
La salida lógica es, en el mismo sentido, idear un nuevo lenguaje, con su
set de instrucciones que sea mas orientado a la gente y menos a la máquina de lo
que lo es L2. Al mismo lo llamaremos L3. La gente podrá escribir programas en L3
pensando que la máquina virtual con tal lenguaje realmente existe. El programa
podrá o bien traducirse a L2, o ejecutarse por un intérprete en L2.
La creación de todo un conjunto de nuevos lenguajes, cada uno mas
conveniente que su predecesor, podrá ir indefinidamente hasta que el adecuado es
alcanzado.
25

Se puede ver a la computadora como una serie de niveles o capas, una
encima de otra. El mas inferior es el mas simple, y el mas alto el mas
sofisticado.
Toda máquina tiene su lenguaje de máquina, consistente en todas las
instrucciones que esta m quina puede ejecutar. En efecto, una máquina define un
lenguaje. Similarmente, un lenguaje define una máquina, la que puede ejecutar un
programa escrito en ese lenguaje. Lógicamente la máquina definida en un cierto
lenguaje podrá ser enormemente complicada y costosa de construir directamente en
circuitos electrónicos. Pero uno la puede "imaginar" de todas formas.
La persona cuyo trabajo es escribir un programa en un nivel n no necesita
preocuparse por la interpretación o traducción que hay por detrás. El punto es
que el programa ser ejecutado.
Máquinas Contemporáneas
La mayoría de ellas consiste de dos o mas niveles. De seis niveles no
serán inusuales.
'Nivel 0', el hardware verdadero (no vamos mas abajo porque entraríamos en
áreas de ingeniería electrónica, nivel de dispositivos, entendiendo con
transistores individuales, esto es, construcción de circuitos).
El nivel mas bajo que abordamos corresponde al de la lógica digital, y los
objetos de interés se denominan 'gates' (compuertas). Aunque construidas con
componentes analógicos se construyen alcanzando un comportamiento digital
binario.
El siguiente, 'Nivel 1', el cual es el verdadero lenguaje máquina, dado
que en L0 no existe concepto de programa como secuencia de instrucciones a
ejecutar. En este sí, llamado 'Microprograma', cuyo trabajo es interpretar las
instrucciones del nivel 2. Al nivel 1 lo referimos como nivel de
microprogramación.
A pesar de que en general no habrá dos computadoras con idénticos L1,
existen muchas similitudes en este nivel.
El nivel L1 tendrá uno o mas programas que pueden correr en él. Cada uno
implícitamente define un lenguaje de Nivel 2 (y su máquina virtual).
Los lenguajes de 'Nivel 2' tienen a su vez mucho en común. Podemos decir
que tendrán mas similitudes que diferencias. Podemos aludir a este nivel como el
'Nivel Máquina Convencional' (el que ve el programador de base). Lo real es que
el nivel máquina es el L1, el tangible y fijado por hardware. El Nivel L2 es
susceptible de cambiar, manteniendo el Nivel L1, dando lugar a distintas
máquinas. Hay ejemplos de que en un mismo hardware coexistan mas de un programa
intérprete en L1 lo que da lugar a que se tengan "Dos Lenguajes M quina". La
máquina de Nivel L2 podemos asumir que como tal no existe, depende de la tarea
del programa intérprete en L1, el que le da existencia como para que pueda
entender las instrucciones del Nivel L2.
Las computadoras del tipo RISC (Reduced Instruction Set Computer) no
tienen nivel de microprogramación. En estas el nivel máquina convencional es
llevado a cabo directamente por la electrónica.
El tercer nivel ('Nivel 3') es usualmente híbrido. Muchas de las
instrucciones de ese lenguaje están también en el nivel L2 (no hay razón para
que esta situación no pueda darse).
Además de estas, hay una serie de nuevas instrucciones, una diferente
organización de memoria, la posibilidad de correr dos o mas programas en
paralelo y otras utilidades. Mas variaciones existen entre máquinas de Nivel L3
que entre máquinas de nivel L1 o L2.
Las nuevas facilidades agregadas son llevadas a cabo por un intérprete el
cual históricamente fue llamado 'Operating System' (en razón que comenzó a
desarrollarse apuntando inicialmente a facilitar, automatizar, las tareas del
operador en las primeras etapas de la computación).
26

Las instrucciones de este nivel, idénticas al de L2, son ejecutadas
directamente por microprograma, no por el Sistema Operativo. En otras palabras,
parte son interpretadas por el sistema operativo y otras por el microprograma.
De allí la descripción de híbrido inicial. A este nivel lo referimos como
nivel de máquina del Sistema Operativo.
Hay una separación fundamental entre nivel 3 y 4. Los 3 primeros no fueron
diseñados para uso directo del programador. Su objetivo es posibilitar que
corran los intérpretes y traductores necesarios para soportar los niveles
superiores. Estos intérpretes y traductores son escritos por Systems Programers,
que se especializan en diseñar e implementar nuevas máquinas virtuales en Nivel
L4 y encima son usados por los programadores de aplicación.
Otro cambio que se da a partir del 'Nivel 4' es el método en que los
niveles superiores son soportados. Nivel 2 y 3 son siempre interpretados. Nivel
4, 5, y mayores son usualmente, aunque no siempre traducidos.
Otra diferencia adicional es la naturaleza del lenguaje provisto entre L1,
L2 y L3 por un lado y L4, L5 y mayores por otro. Los lenguajes máquina de
niveles 1, 2 y 3 son numéricos. Programas de estos niveles son largas series de
números, difíciles de procesar por la gente, pero naturales para las máquinas.
Comenzando en el nivel L4, los lenguajes contienen palabras y abreviaturas con
sentido para la gente.
El L4, lenguaje Assembler, es realmente una forma simbólica de los
lenguajes que están por debajo. Los programas en lenguaje ensamblador son
traducidos primero a nivel L2 o L3 y luego interpretados por la máquina virtual
o real adecuada. El programa que realiza la traducción se denomina 'Assembler'.
Este será un tema de estudio para comprender cómo la máquina que ve el
programador trabaja con los programas. Como lenguaje, cada vez va perdiendo mas
importancia.
El 'Nivel 5' consiste de lenguajes diseñados para ser usados por los
programadores. Se los conoce como lenguajes de autonivel (ej.: Basic, C, Pascal,
etc.). Los programas escritos por estos lenguajes, generalmente se traducen a
nivel 3 o 4 por traductores conocidos como 'Compiladores', aunque generalmente
son interpretados.
El 'Nivel 6' y mayores, consisten en un conjunto de programas diseñados
para máquinas orientadas específicamente a ciertas aplicaciones. Estos niveles
constituyen un rea de investigación actual.
NIVEL 5 HIGH-LEVEL LANGUAGE
Traducción (Compiladores)
NIVEL 4 ASSEMBLER LANGUAGE
Traducción (Assembler)
NIVEL 3 OPERATIVE SYSTEM MACHINE
Interpretación Parcial
(Operative System)
NEVEL 2 CONVENTIONAL MACHINE
Interpretados (Microprogramming)
NIVEL 1 MICROPROGRAMMING
Microprogramas Ejecutados
Directamente en Hardware
NIVEL 0 DIGITAL LOGIC
27

otro.
En la figura se indica a la derecha como se pasa de un nivel a
L0 -----> Diseño lógico del hardware. En este nivel se entiende con compuertas.
Estos circuitos manejan señales digitales binarios, es decir, nivel alto y nivel
bajo de tensión (No se cuenta como lenguaje de programación).
L1 -----> Es el verdadero "Lenguaje Máquina", es decir, lo que propone L1 es lo
que el HW puede ejecutar. El lenguaje de programación de este nivel es llamado
'Lenguaje de Microprogramación". El propósito de L1 es interpretar el lenguaje
L2.
L2 -----> Es el "Lenguaje Máquina Convencional"(el que ve el programador de
base).Para el mismo HW pueden coexistir distintos lenguajes L2,ya que se pueden
construir intérpretes en L1 para interpretar estos lenguajes L2. Las
computadoras del tipo RISC no tienen nivel de microprogramación, por lo tanto el
"Lenguaje Máquina Convencional" es llevado a cabo directamente por la
electrónica.
L3 -----> Es usualmente llamado como "hibrido". Muchas de las instrucciones de
este lenguaje están también en el Nivel 2. Además de estas, hay una serie de
nuevas instrucciones, una diferente organización de memoria, la posibilidad de
correr dos o mas programas en paralelo y otras utilidades. Más variaciones
existen entre máquinas de nivel L3 que entre máquinas de Nivel L1 y L2 .
Las nuevas facilidades de L3 son llevadas a cabo por un intérprete, llamado
"Sistema Operativo"; mientras que las instrucciones idénticas a las de L2, son
ejecutadas directamente por microprogramas.
Los niveles 1,2 y 3 no fueron construidos para el programador, sino para dar
soporte a los intérpretes y traductores de lenguajes de mas alto nivel.
L4 -----> Es el llamado "Lenguaje Assembler". Es realmente una forma simbólica
de los lenguajes que est n por debajo. Los lenguajes en L4 son traducidos
primero a nivel L2 y L3 y luego por la máquina virtual adecuada. El programa que
realiza la traducción se llama Assembler.
L5 -----> Consiste de lenguajes diseñados para ser usados por los programadores.
Se los conoce como lenguajes de Alto Nivel. A estos se los traduce a nivel L3 o
L4 por programas llamados Compiladores, pero también pueden ser interpretados.
L6 y +-----> Consisten en un conjunto de programas diseñados para máquinas
orientadas específicamente a ciertas aplicaciones. Todavía están desarrollo.
Evolución de las Máquinas Multinivel
Las primeras, remontándose a los 1940's, tenían solo dos niveles, el Nivel
Convencional Máquina en el cual se realizaba la programación y el Nivel de
Circuitos Lógicos donde eran ejecutados. Estos eran complicados, difíciles de
construir y poco confiables.
En 1951, Wilkes sugiere la idea de diseñar una computadora en tres
niveles, en camino a reducir drásticamente el Hardware. La máquina tendría un
intérprete propio, incambiable, cuya función seria ejecutar los lenguajes en
Lenguaje Máquina convencional en forma interpretativa. Dado que el Hardware
ahora solo ejecutaría microprogramas, lo cual tiene un repertorio limitado,
menor circuitería electrónica sería necesaria.
En esa ‚poca los circuitos se construían con válvulas lo que hacía la
posibilidad de reducción de la complejidad de circuitos tremendamente importante
(potencia, confiabilidad).
28

Unas pocas de este tipo se construyeron durante los 50's. Mas fueron
construidas durante los 60's. Por los 70's la idea de tener un nivel máquina
convencional interpretado por microprogramas, en lugar de directamente, se
expandió tremendamente a partir de contar con memorias (control) relativamente
rápidas y baratas.
Más recientemente la microprogramación deja lugar a lo que sería control
cableado, desaparece el nivel L1, en función de que los tiempos que se manejan
en nivel L0 (lógico) tornan inviable (por lentos) el empleo de esta técnica. El
proceso a controlar se tornó mucho más rápido que el controlador lo cual se
torna impráctico (sino inadmisible).
Los ensambladores y compiladores fueron desarrollados durante los 50's
para facilitar la tarea de programación. En esa época el programador tenía que
operar la máquina personalmente. Por ejemplo el programador una vez que pasa a
hacer uso de su 'Block Time' realiza lo siguiente:
1. Carga el compilador (consistente de un lote de tarjetas).
2. Luego pone el programa suyo (tarjetas) para ser cargado.
3. Cuando terminaba, normalmente cargaba el programa Fortran nuevamente (lo
usual era 2 o mas pasadas).
4. Finalmente se terminaba la traducción. El riesgo era que un error detectado a
esta altura malograse todo el trabajo anterior, pues implicaría recomenzar la
tarea. De no haber error, el compilador producía una salida (tarjetas
perforadas) del programa traducido.
5. Luego ponía su programa en lenguaje máquina, junto con las librerías y lo
ingresaba a la máquina.
6. El programa comenzaba a ejecutar. Si el programa llegaba a fallar, lo cual no
era infrecuente, a partir de interactuar desde la consola trataba de detectar
la causa. Si lo detectaba tenía la opción de realizar las modificaciones
(perforar tarjetas con las mismas) y reiniciar la secuencia. Si era menos
afortunado, realizaba una impresión del contenido de memoria (volcado) y se
retiraba para con esta información elaborar la solución al problema en casa.
Esto, con variaciones menores, fue normal en centros de cómputos por años.
Esto obligaba al programador a aprender como operar y que hacer cuando algo se
rompía, lo cual era frecuente. Todo este esquema inducía a que la computadora
estuviera mucho tiempo ociosa.
Alrededor de 1960, la gente trató de reducir este tiempo perdido
automatizando la tarea de operación. Un programa llamado 'Sistema Operativo' se
mantenía en la computadora todo el tiempo. El programador suministraba ciertas
tarjetas de control junto con su programa para ser interpretados por el Sistema
Operativo.
Aunque diseñado para automatizar la operación, fue el primer escalón en el
desarrollo de una nueva máquina virtual.
En los años siguientes los Sistemas Operativos se tornaron más y más
sofisticados, incorporando nuevas características a la máquina convencional,
hasta que tomó la apariencia de un nuevo nivel. Alguna de las instrucciones del
nuevo nivel son idénticas a la del nivel máquina convencional y otras,
particularmente 'Input/Output Instruction', fueron completamente distintas. Las
nuevas instrucciones fueron conocidas a menudo como "Macros del Sistema
Operativo" o "Llamadas al Supervisor".
Los Sistemas Operativos fueron desarrollándose en otros sentidos. Las
primeras computadoras, como ya se dijo, operaban con tarjetas en una
organización de sistema batch. Usualmente debíamos esperar horas para conocer el
resultado de una corrida, dificultando por ende el desarrollo de los programas.
En los primeros años de los 60's, en el MIT se desarrollo un Sistema
Operativo que permitía a múltiples programadores comunicarse directamente con la
computadora. Terminales remotas se conectaban a la computadora central via línea
telefónica. Las respuestas así obtenidas eran casi inmediatas. Este sistema se
llamó y se llama actualmente, 'Sistema de Tiempo Compartido'.
Por último, digamos que la frontera entre hardware y software es
arbitraria y en continuo cambio. El software de hoy pasa a ser el harware de
29

mañana y viceversa. Más aun, las fronteras entre niveles son fluidas, en varios
casos. Desde el punto de vista del programador, cómo una instrucción es
realmente ejecutada, no es importante.
ORGANIZACION DE LA COMPUTADORA
La computadora, tal cual esta organizada hoy día, no difiere mayormente
del modelo que concibió Von Neumann, en lo que corresponde a la primera
generación de computadoras, esto es, empleando tecnología de válvulas.
Una cosa que resultó evidente para Von Neumann era que programar
computadoras con un gran número de cables y llaves, tal cual era la metodología
empleada en esa ‚poca, además de tedioso era inflexible. El imaginó que el
programa podría ser almacenado en la memoria de la computadora en forma digital,
junto con el dato. Además, que la aritmética decimal serial usada por la ENIAC
(muy difícil de manejar) podría reemplazarse por aritmética binaria.
El diseño fue usado por EDSAC, la primer computadora de programa
almacenado. Esquemáticamente este modelo sería:
CONTROL
UNIT
MEMORIA
ARITMETIC
LOGICAL
UNIT
ACUMULADOR
Como se ve, tiene cinco partes básicas: la memoria, la ALU, la unidad de
control, el equipo de entrada y el de salida. La memoria era de 4096 palabras de
40 bits por palabra. Cada palabra o bien contenía 2 instrucciones de 20 bits, o
un entero signado de 39 bits. Ocho bits de la instrucción definían el tipo, los
doce bits restantes direccionaban una de la 4096 palabras.
Dentro de la ALU, iniciador del moderno CPU (Central Processing Unit),
había un registro de 40 bits especial llamado acumulador. Una instrucción típica
sumaba una dirección de memoria al contenido del acumulador o almacenaba el
contenido del acumulador en memoria. Obviamente no tenía aritmética de punto
flotante, atribuible a que Von Neumann pensaba que todo matemático competente
debería ser capaz de manejar la posición del punto binario en su cabeza, lo cual
como se dijo, no es así, a partir de la complejidad que pueden asumir los
cálculos.
Vamos a realizar una introducción a los componentes básicos que
constituyen una computadora: procesadores, memoria y dispositivos de
entrada/salida.
30
INPUT
OUTPUT

Control Unit
Debe realizar:
1. El fetch de instrucciones
2. La decodificaci¢n,resolver todo lo relacionado con la interpretación de la
instrucción y preparar todo para ejecutarla.
Procesador
Es una organización con único 'bus'. Una arquitectura simple sería:
CPU
CONTROL UNIT
ALU
REGISTROS
MEMORIA
PRINCIPAL
La 'CPU' (Central Procesing Unit) es el "cerebro" de la computadora. Su
función es ejecutar el programa almacenado en memoria, buscando instrucciones,
examinando las mismas y ejecutando una tras otra. Está compuesta de distintas
partes. La 'Unidad de Control' es la responsable de organizar las distintas
tareas del CPU. La 'Unidad Aritmética-Lógica' realiza las operaciones
aritméticas, como suma, resta, o lógicas como AND, OR, necesarias en la
ejecución de instrucciones.
El CPU contiene además una pequeña memoria r pida usada en el
almacenamiento de resultados temporarios y de cierta información de control.
Esta memoria consiste en un dado número de registros, cada uno con una cierta
función. El más importante es el PC, 'Program Counter', el que apunta a la
próxima instrucción a ser ejecutada. Otro registro importante es el IR,
'Instruction Register', el cual almacena las instrucciones que se están
ejecutando. Además de estos, las computadoras tienen otros accesorios, algunos
de esos disponibles a nivel 2 y 3 para los programadores, y otros no visibles,
internos, solamente visibles a nivel 1. Esto es, dan soporte de hardware a la
ejecución de los microprogramas.
31
DISCO
Controlador
IMPRESORA
Controlador
BUS

Ejecución de Instrucciones
El CPU ejecuta cada instrucción en una serie de pequeños pasos:
1. Búsqueda de la próxima instrucción desde memoria en el IR.
2. Cambia el PC para apuntar a la próxima instrucción.
3. Determina el tipo de instrucción de la que acaba de traer.
4. Si la instrucción usa dato en la memoria, determina donde esta (cálculo de la
dirección efectiva).
5. Busca el dato, si lo hubiera, y lo transfiere a un registro interno.
6. Ejecuta la instrucción.
7. Almacena el resultado en el lugar adecuado.
8. Vuelve al paso 1 para comenzar a procesar la próxima instrucción.
Esta secuencia es reconocida como 'Fetch-Decode-Execute Cycle'.
Está claro que estos pasos podrían corresponder a la ejecución de un
programa, necesariamente ejecutado por Hardware. Este programa sería lo que
llamamos 'Intérprete' un poco antes.
Luego de haber descifrado el lenguaje máquina L de una nueva computadora,
el equipo de diseño puede decidir cuando construir un procesador en Hardware
para ejecutar programas en L directamente o cuando escribir un intérprete en su
lugar. En tal caso, deberán además, proporcionar la máquina para correr el
intérprete, dado que el intérprete divide la instrucción m quina (convencional)
en pequeñas etapas. La máquina donde corre el intérprete podrá a menudo ser
mucho mas simple que si la implementación se hiciese directamente en Hardware.
Por razones de economía y facilidad (metodología) en el diseño, esta situación
se daba en la mayoría de las computadoras. El hecho de que los requerimientos de
la lógica (en tiempos) no se puedan compatibilizar con los de la memoria de
control, tornan en la actualidad a este sistema inconveniente.
El conjunto de todas las instrucciones disponibles del programador
constituye el 'Instruction Set' de un dado nivel. La cantidad varía de máquina a
máquina, y de nivel a nivel. El nivel máquina convencional varía entre 20 y 300.
El hecho de disponer de un gran número de instrucciones no necesariamente
asegura el mejor resultado, pues muchas veces no podrá ser aprovechado a pleno
por los compiladores. Su existencia se inspira en que al disponerlas en "hard"
era mas rápida su ejecución que en "soft", y esto fue tremendamente favorecido
cuando trabajamos con intérprete, los que al ser software, no imponía en
principio limitación práctica al set de instrucciones a definir (excepción hecha
del tamaño de la memoria de control).
Lo actual es manejar un set de instrucciones limitado, arquitecturas RISC
(Required Instruction Set Computers) frente a las anteriores CISC (set de
instrucciones complejo). En las RISC el set de instrucciones se elige con mucho
detenimiento, asegurando que cada función que se lleve al hard, esto es, al
nivel máquina convencional, está claramente justificado; esto es, que no resulte
más conveniente mantenerlo en el nivel superior.
A su vez en éstas, el control es necesariamente cableado, no existe la
microprogramación, la ejecución es directamente en hard.
A nivel interno el CPU clásico como se llama, comprende: ALU, registros y
Buses internos que definen lo que se llama 'Data Path'.
32

*El control microprogramado aventaja al control cableado en que:
• No fija un techo para las instrucciones
• Es mas fácil de implementar
• Es mucho más sistemático que lo que sería desarrollar autómatas.
*DATA PATH: Son todos los lugares del CPU donde se procesan los datos.
Está compuesto por:
REGISTROS
BUSES(internos)
ALU
El DATA PATH no es responsable de que la instrucción se ejecute correctamente.
Esta responsabilidad la lleva el Control Path se responsabiliza de determinar la
performance última.
A + B
A
B
A B
ALU
A
El contenido de los registros (un par de ellos) es transferido a los
registros de entrada de la ALU (A Y B). Estos registros mantienen los operandos
mientras la ALU esta calculando (suma, resta, y otras operaciones aritméticas y
lógicas simples), almacenando el resultado en un buffer de salida (registro).
Este podrá ser transferido a un registro y de allí de vuelta a memoria.
Las instrucciones las podemos dividir en tres categorías: registromemoria,
registro-registro, memoria-memoria. Registro-memoria permite que
palabras de memoria sean transferidas, cargadas, en registros, los que podrán
ser usados posteriormente como operandos en la ALU. Las registro-registro
33
REGISTROS

normalmente buscan operandos en los registros, los transfieren a la ALU, esta
los opera y luego se realiza el almacenamiento del resultado en un dado
registro. Memoria-memoria, busca sus operandos en memoria, realiza la operación
y luego el resultado de vuelta en memoria.
El 'Data Path' es fundamental en cuanto a la performance alcanzable.
Memoria
Ya se dijo que es el lugar donde el procesador va a buscar los datos y las
instrucciones de un dado programa en ejecución. Algunos referencian a esta
unidad como 'store' (almacenamiento).
Bits
También se mencionó que el hard distingue entre 0's y 1's. La celda básica
de memoria es un dígito binario llamado bit, el cual podrá adoptar un valor 0 o
1.
Dirección de Memoria
Las memorias están compuestas de un conjunto de celdas o locaciones. Cada
celda tiene un número asociado, 'Address', por el cual el programa puede
referirlo.
Si la memoria tiene N celdas, se tendrán direcciones de 0 a N-1. Todas las
celdas de memoria contienen el mismo número de bits. Si cada celda tiene K bits,
cada una podrá almacenar 2 K diferentes combinaciones de bits.
Las direcciones por la máquina son a su vez expresadas en forma binaria.
Si la dirección tiene M bits, el máximo número de celdas resulta 2 M .
El número M tiene que ver con el máximo número de celdas a direccionar
directamente en memoria y es independiente del número de bits por celda.
El significado de 'celda' es que es la mínima unidad direccionable. En los
últimos años se estandarizó que una celda de 8 bits se define como byte. Los
bytes se asocian a su vez en palabras.
Ordenamiento de los Bytes
Los bytes en memoria podrán ser numerados, direccionados dentro de la
palabra de izquierda a derecha o viceversa. Veamos las dos alternativas, la
primeras se conoce como 'BIG ENDIAN' y la segunda como 'LITTLE ENDIAN'.
Sean palabras de 4 bytes:
Address Address
0 0 1 2 3 0 3 2 1 0
4 4 5 6 7 4 7 6 5 4
BIG LITTLE
ENDIAN ENDIAN
Es importante entender que con BIG ENDIAN y LITTLE ENDIAN, un entero de 32
bits, con valor digamos 6, se representa en ambos casos como los bits 110 en el
extremo derecho (de los bits menos significativos), y el resto a la izquierda
son todos 0's.
Si las computadoras sólo almacenaran enteros no habría problemas, el punto
es que las aplicaciones requieren de una mezcla de datos.
34

Cuando las aplicaciones se resuelven en una misma máquina no hay
dificultad, pero si una máquina envía datos a otra sobre una red, un byte a la
vez comenzando con el byte 0, como el lugar que ocupa en fuente y destino no es
consistente esto como veremos traer aparejado problemas (con la parte
numérica).
Supongamos cinco palabras para almacenar: JIM (espacio) SMITH 21 260
BIG ENDIAN LITTLE ENDIAN TRANSF. BIG-LITT.
J I M M I J M I J
S M I T T I M S T I M S
H 0 0 0 0 0 0 H 0 0 0 H
0 0 0 21 0 0 0 21 21 0 0 0
0 0 1 4 0 0 1 4 4 1 0 0
La solución no es simple, un modo sería que para la transmisión se usara
una forma considerada estándar, asumida por todas las máquinas. Esto en algunos
casos puede ser innecesario, en los casos en que las dos máquinas usaran la
misma forma y esta fuese distinta a la forma estándar.
Otra solución, que es ineficiente, podría ser incluir un encabezamiento en
cada récord, informando qué tipo de dato sigue (string, entero u otro) y cuán
largo es. Esto posibilita que el 'Reciver' realice la necesaria conversión.
Memoria Secundaria
Normalmente la memoria de un sistema (aún desde los comienzos de la
computación de programas almacenados) no involucraba un solo nivel MP por
razones de costo y por la necesidad de poder disponer de la información en un
medio estable, esto es, que permitiese un almacenamiento independiente del
tiempo.
Las memorias secundarias est n concebidas para almacenar un conjunto de
datos mucho mayor que el que puede almacenar la memoria principal. Los
dispositivos que cumplen con estos propósitos son los discos magnéticos.
Discos Magnéticos
Es el disco una pieza de metal de entre 3.5 a 10 pulgadas de diámetro el
cual es magnetizable en su superficie, generalmente sobre ambas caras.
La información se almacena en diversos círculos concéntricos, llamados
tracks, entre 40 y algunos cientos por cara. Cada disco tiene una cabeza móvil
asociada a él, que se desplaza en forma radial sobre los cilindros. Una cabeza
est preparada para leer/escribir información de exactamente un track.
Normalmente se disponen varios discos sobre el mismo eje con una cabeza
próxima a cada superficie (sin tocarla), las cuales se movilizan juntas. La
posición radial de las cabezas (distancia desde el spindle) se denomina
cilindro. Un disco con N platos tiene 2*N HEADS (cabezas), luego 2*N tracks por
cilindro.
Las tracks se dividen a su vez en sectores, entre 10 y 100 sectores por
track. Cada sector consiste de un cierto número de bytes, usualmente 512.
En la transferencia se especifica la siguiente información: CILINDRO y
CABEZA, los cuales determinan el track en forma unívoca, el número de SECTOR
donde comienza la transmisión, el número de palabras a transmitirse, la
dirección de memoria donde va la información o de donde la información viene y
,por último, si la operación es READ de disco a memoria o WRITE de memoria a
disco.
La transferencia comienza siempre en el principio de un sector, nunca en
el medio. Si la transferencia multisector cruza la frontera de un track dentro
de un mismo cilindro (por ejemplo de la superficie 0 a la 1), no hay pérdida.
35

Sin embargo si la transferencia cruza de un cilindro a otro, se pierde tiempo de
rotación, es decir se pierde una vuelta mientras se reposicionan las cabezas.
Las cabezas que al momento de comenzar la transferencia están posicionadas
sobre otro cilindro, deberán previamente moverse. Este movimiento se denomina
'Seek'. Típicamente demanda 3 mseg entre cilindros adyacentes y entre 20-100
mseg desde el más interno al más externo. Una vez que las cabezas están
posicionadas el controlador debe esperar a que el primer sector pase por debajo
de las cabezas antes de comenzar la transferencia. Este tiempo ser 0, en el
mejor de los casos y el tiempo total de rotación, en el peor. El tiempo a
esperarse se denomina 'latencia rotacional'. A una rotación típica de 3600
rev/seg da una latencia máxima de 67 mseg. La capacidad última de transferencia
ser un track por tiempo de revolución.
Inicialmente los discos eran de armadura fija, requiriendo cabezas
múltiples para no tener tiempo de seek, solo latencia. Esto físicamente se tronó
inviable y se pasó a una armadura móvil en un conjunto multiplato. La
alternativa para este pack es ser movible (permitiendo ampliar la capacidad en
línea) cuando los DRIVES (unidades) son costosas y con poca capacidad, lo cual
lo hace m s expuestos a la contaminación que los fijos, sellados herméticamente.
Floppy Disks
Paralelamente a estos discos rígidos (Hard Disk) se desarrolló una
alternativa más económica, que permite distribuir software, la cual se conoce
como 'Diskette' o 'Floppy Disk', el cual es un medio pequeño, removible, llamado
así (floppy) por su naturaleza flexible y liviana.
A diferencia del caso anterior, las cabezas cuando operan deben estar en
contacto con la superficie, la tocan. Esto implica un desgaste. Para reducirlo
se mantiene a las cabezas elevadas si no se está transfiriendo. Esto trae
aparejado obviamente un retardo.
Hay una diferencia de velocidad de rotación muy grande entre floppy y hard
disk y además la densidad de grabado es también muy dispar, lo que contribuye a
que la velocidad de transferencia sea muy dispar (al igual que el seek). El
floppy es un medio inherentemente lento y de mucha menor capacidad que el disco
rígido, pero como se dijo muy práctico y económico para distribución de
software.
Discos Opticos
En los años recientes estos discos se tornaron disponibles constituyendo
una alternativa distinta en cuanto a principios ópticos frente a los magnéticos
corrientes en su operación. A partir de ello posibilitan una mucho mayor
densidad de grabación que los discos convencionales (al ser mas precisos).
Comenzaron a desarrollarse inicialmente para ser empleados en grabaciones de
televisión.
Dada su gran potencialidad en capacidad se produjo alrededor de ellos un
gran desarrollo a partir de planes intensivos de investigación. Se basan en la
misma tecnología que los CD de audio y se los denomina 'CD-ROM' (Compact Disc
Read Only Memory).
La preparación de un CD-ROM se realiza usando un l ser de alta potencia
para realizar agujeros de 1 micrón (10-6 mt) en el disco master. De este master
se realiza un molde, este se utiliza para estampar copias en discos plásticos,
de la misma forma que se hacía con los discos de audio convencionales. Luego una
película muy delgada de aluminio se deposita sobre el mismo, seguida de una
película transparente de plástico para protección. La recuperación de la
información es similar a la de los equipos de audio, se tiene un detector que
mide la energía reflejada en la superficie ante la incidencia de un l ser de
baja potencia. Los agujeros llamados 'PITS' (hoyo) y las reas ubicadas entre
ellos llamadas 'LANDS' tienen diferente reflectividad, haciendo posible
distinguir entre pits y lands.
36

Resulta de lo anterior que estos discos son producidos a muy bajo costo,
aunque la información grabada de esta manera es propensa a errores.
Los errores se atacan de dos maneras posibles: Primero la cabeza del disco
contiene mecanismos que la posicionan tratando de compensar las imperfecciones
del fabricante y además los datos se graban usando un método complejo llamado
'CrossInterLeaved Read-Solomon' de corrección de error, el mismo posibilita
corregir múltiples errores.
En lugar de usar pits y lands para 0's y 1's directamente, se procede a
reservar las transiciones pit-lands o land-pits para representar un 1. El
intervalo entre dos transiciones define cuantos ceros están presentes entre los
dos "unos". El dato se agrupa de a 24 bytes, el cual se expande (el byte) de 8 a
14 bits usando el Read-Solomon Code, tres bits se adicionan entre cada grupo
(bits especiales) y un byte de sincronización se añade para formar un frame
(cuadro). Un grupo de 98 frames forma un bloque conteniendo 2 Kb de dato, el
cual es la unidad (celda) direccionable básica. Aunque complicado y consumidor
de área de disco es extremadamente confiable en medios de bajo costo.
La información se escribe usando un espiral continuo único a diferencia de
los múltiples cilindros de un disco magnético. Cada CD-ROM contiene 270.000
bloques de datos, para una capacidad total de 553 Mb. El dato se lee a una
velocidad real constante de 75 mseg (a partir de ir decrementando la velocidad a
medida que la cabeza se aleja del centro), lo que da una velocidad de
transferencia de 153,6 Kb/seg.
Dada la gran capacidad de almacenamiento, por ejemplo una enciclopedia
ilustrada podría entrar en un único disco, sus posibilidades de aplicación están
solamente por nuestra imaginación.
Dado que no son escribibles limita esto su aplicación como dispositivo de
almacenamiento. Una posibilidad, 'WORM' (Write Once, Read Many), corresponde a
una segunda fase. La tercera fase es 'ERASABLE', en él se combinan el láser y el
magnetismo.
Marcos Meli
MarcosMeli@gmx.net
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