sistemas numericos y operaciones aritmeticas - Departamento de ...

TRUNCADO (CHOPPING) Y REDONDEO (ROUNDING).
En muchos casos el resultado de una operación de punto flotante puede
exceder con p dígitos de la mantisa. Por ejemplo:
(*) p+1 dígitos resultan de sumar dos números de p dígitos normalizados(si la
suma excede el valor 1).
(*) 2*p dígitos se obtienen al multiplicar dos números de p-dígitos.
En el primer caso, suma overflow, se corre a derecha una posición y se
quita el último bit (menos significativo) independientemente de su valor. Esta
operación se llama 'Truncado'. En esta aritmética la mantisa resultante se
normaliza primero y luego, los bits de mas allá de la posición p se descartan y
los p de orden superior se retienen incambiados. Si x=0.130581 trunco a 4 daría
(x)4 = 0.1305
Cuando realizamos la segunda operación, producto, una forma razonable de
quitar de los 2*p dígitos los p inferiores, es sumar uno si el bit más
significativo de la segunda mitad es 1, de otra manera sumar 0. Esto define una
manera de 'Redondeo' de los p bits menos significativos.
Como se podrá ver, el redondeo conduce al número más próximo de p. Este
método aproxima el valor del resultado o bien por arriba o por abajo. Por ello,
el margen de error está dado como máximo por:
E = r -p / 2
El umbral se resuelve solo a partir del bit más significativo (el bit mas
significativo, si es ò r/2, es siempre 1) de la posición a ser quitada,
independientemente de la base.
Es decir, La operación de redondeo se resuelve en sí mirando el primer bit
de la porción del número a descartar (si es 1 entonces la porción a descartar es
ò r/2), independientemente de la base en que se trabaja.
Si el dígito tiene un valor entre:
{r/2,(r/2)+1, ... ,r-1}
entonces se suma un 1 a la parte superior; pero si el dígito tiene un valor
entre:
{0,1, .....,r-1}
entonces no se hace nada, que equivale a truncar.
Teoría de Redondeo
Lo visto en la sección anterior consideraba sólo valores absolutos. Una
descripción algebraica más rigurosa debe distinguir números positivos y
negativos, a los efectos de normalizar los métodos existentes.
Habíamos visto la función de redondeo como:
ρ: R -> M (M: Representacíon máquina)
definida para todo a, b ∈ R tal que se verifica:
ρ(a) ≤ ρ(b) toda vez que a≤b.
Se denomina 'redondeo optimal' si para todo a ∈ M,
ρ(a) = a.
En la práctica esto será así para cualquier representación razonable. Un
redondeo optimal implica que si a∈R y m1, m2 son dos números consecutivos de M
con m1 < a < m2, luego o bien ρ(a)=m1 ó ρ(a)=m2. Está claro el interés luego en
que las implementaciones sean optimal.
20