sistemas numericos y operaciones aritmeticas - Departamento de ...

y un error uniformemente distribuido obtenido a partir de un redondeo
apropiado
2
Q(x)=
4.
x
p −
luego el promedio del error relativo de representación (ARRE) se define
como
-p
−p
1
1 2 dx (r-1).2
ARRE (p,r)= ∫1 P(x).Q(x) dx = ∫1
=
2
4x
ln r 4.ln r
r
r
El valor máximo del error relativo de representación sobre todas las
mantisas normalizadas se define como
MRRE (p,r)= 2 -p-1 .r (Ver Obs. mas adelante)
Estos valores para los tres casos propuestos conduce a los siguientes
números:
r p q MRRE ARRE EXPONENT NUMBER
2 9 22 0.5*2 -21 0.18*2 -21 9
(2 −1)
2
9
2 −22
2 .( 1−
2 )
4 8 23 0.5*2 -21 0.14*2 -21 9
(2 −2)
2
9
2 −23
2 .( 1−
2 )
16 7 24 2 -21
0.17*2 -21 9
(2 −4)
2
9
2 −24
2 .( 1−
2 )
El hecho de que MRRE es la mitad que la correspondiente Hexadecimal para
Binario ha sido usado como indicador de la superioridad de esta sobre la
primera.
A lo sumo esta superioridad es marginal si consideramos además los valores
de ARRE. La tabla muestra que r=4 conduce al menor error. La representación
cuaternaria no es nunca menos exacta que la binaria y el valor de ARRE es un 20%
menor que el binario.
Otros estudios usando 'Boot-Mean-Square' (rms) han corroborado estas
ecuaciones como mejor resultado para r=4. Dados los diferentes rangos, con r=4 o
r=8, algunos sistemas optan por 8 por requerimiento del rango mínimo aceptable,
frente a optar por 4; pero bases mayores que 8 son siempre inferiores a base 4.
Algunas computadoras como PDP-11 usan normalización binaria implícita.
Haciendo uso de que la mantisa es binaria y por ende todo número normalizado
define al dígito mas significativo como complemento del de signo, esta
información es redundante, no se almacena este dígito "Hidden-Bit" y con ello se
aumenta en 1 bit la significancia. Observar que a partir de esto el valor
correspondiente de MRRE (p,r) se reduce a la mitad!.
Observación: Si el intervalo como vimos es para dos números normalizados
adyacentes 2 -p * r e = 2 k*e-p , y si aplicamos redondeo reducimos el máximo error a la
mitad, esto es 2 k*e-p-1 resulta que el máximo error relativo (MRRE) de
representación corresponder al menor número normalizado representable, esto es
2 -k * 2 k*e (p es k=1: 0.1000*2 e , k=4: 0.00010000 16 e )
k*
e-p-1
-p-1
2 2 -p-1
MRRE = = = 2 . r
−k
k*
e -k
2 . 2 2
cqp.
Es de notar que una alternativa al redondeo que conduzca eventualmente a
tener que sumar un dígito en la posición menos significativa es implementar una
aproximación al mismo con ROM. Veamos esto:
23