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TRUNCADO (CHOPPING) Y REDONDEO (ROUNDING). En muchos casos el resultado de una operación de punto flotante puede exceder con p dígitos de la mantisa. Por ejemplo: (*) p+1 dígitos resultan de sumar dos números de p dígitos normalizados(si la suma excede el valor 1). (*) 2*p dígitos se obtienen al multiplicar dos números de p-dígitos. En el primer caso, suma overflow, se corre a derecha una posición y se quita el último bit (menos significativo) independientemente de su valor. Esta operación se llama 'Truncado'. En esta aritmética la mantisa resultante se normaliza primero y luego, los bits de mas allá de la posición p se descartan y los p de orden superior se retienen incambiados. Si x=0.130581 trunco a 4 daría (x)4 = 0.1305 Cuando realizamos la segunda operación, producto, una forma razonable de quitar de los 2*p dígitos los p inferiores, es sumar uno si el bit más significativo de la segunda mitad es 1, de otra manera sumar 0. Esto define una manera de 'Redondeo' de los p bits menos significativos. Como se podrá ver, el redondeo conduce al número más próximo de p. Este método aproxima el valor del resultado o bien por arriba o por abajo. Por ello, el margen de error está dado como máximo por: E = r -p / 2 El umbral se resuelve solo a partir del bit más significativo (el bit mas significativo, si es ò r/2, es siempre 1) de la posición a ser quitada, independientemente de la base. Es decir, La operación de redondeo se resuelve en sí mirando el primer bit de la porción del número a descartar (si es 1 entonces la porción a descartar es ò r/2), independientemente de la base en que se trabaja. Si el dígito tiene un valor entre: {r/2,(r/2)+1, ... ,r-1} entonces se suma un 1 a la parte superior; pero si el dígito tiene un valor entre: {0,1, .....,r-1} entonces no se hace nada, que equivale a truncar. Teoría de Redondeo Lo visto en la sección anterior consideraba sólo valores absolutos. Una descripción algebraica más rigurosa debe distinguir números positivos y negativos, a los efectos de normalizar los métodos existentes. Habíamos visto la función de redondeo como: ρ: R -> M (M: Representacíon máquina) definida para todo a, b ∈ R tal que se verifica: ρ(a) ≤ ρ(b) toda vez que a≤b. Se denomina 'redondeo optimal' si para todo a ∈ M, ρ(a) = a. En la práctica esto será así para cualquier representación razonable. Un redondeo optimal implica que si a∈R y m1, m2 son dos números consecutivos de M con m1 < a < m2, luego o bien ρ(a)=m1 ó ρ(a)=m2. Está claro el interés luego en que las implementaciones sean optimal. 20
Dem: supongamos que diese un m1'< m1, esto implica que ρ(m1) (que es m1), por ser optimal conduce a un número mayor del que es un redondeo de uno menor, lo cual contradice el requisito básico del redondeo de no alterar el orden de los números (relativo) cuando aplicamos el redondeo: Dem1: Sea M1< a < M2 con a∈R y M1,M2 ∈ M, consecutivos Si aplicamos â a la expresión anterior, tenemos ρ(M1) ≤ ρ(a) ≤ ρ(M2) entonces M1 ≤ M2, luego ρ(a) = M1 ó ρ(a)=M2 . Dem2: Hip: (1) ρ(a)= M' con M'
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