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REPRESENTACION DE NUMEROS EN PUNTO FIJO. Un número signado podrá ser positivo o negativo, pero no ambos. Usualmente un dígito más a la izquierda de un n-positional number se reserva al signo. Considérese el siguiente número en base r: A = (an-1 an-2 .... a0)r. Donde el signo (dígito) an-1 ser : an-1 0 si A ≥ 0 r-1 si A < 0 Los restantes dígitos en A especifican o bien la verdadera magnitud o el complemento a la base (o a la base disminuida). Dado que A es un número posicional, se puede (debe) ubicar el punto para distinguir la parte entera de la fraccionaria. Si se adopta una posición fija para el punto, se llama a esto 'PUNTO FIJO'. Teóricamente el punto puede ser localizado entre dos dígitos adyacentes cualesquiera en una representación. Hay dos representaciones aceptadas comúnmente, ambas son intercambiables. Cada uno de los n-dígitos enteros puede ser considerado como una fracción multiplicada por una constante r n , y cada dígito fraccionario puede ser considerado como un entero multiplicado por un factor constante r -k , donde r es la base adoptada. Es muy fácil convertir entre enteros y fraccionarios. Luego las dos posiciones elegidas comúnmente para el punto son el extremo izquierdo o el derecho de la magnitud del número. En el primer caso el punto cae entre el bit de signo an-1, y la magnitud an-2 (bit más significativo). Esto conduce a números fraccionarios estrictamente menores que uno. En el segundo caso el punto pasa a la derecha del dígito menos significativo a0, lo que lleva a números enteros. Estas representaciones son esencialmente equivalentes. Se puede convertir de una a otra multiplicando o dividiendo por un factor r n-1 . Fixed Radix es implicada, no necesita espacio de almacenamiento Para los números positivos an-1=0, y los restantes dígitos an-2,...,a0, corresponden a la verdadera magnitud. Esto es la magnitud: |A| = (mn-2,mn-3,....,m1,m0). Donde mi=ai para i=n-2,...,1,0 cuando an-1=0 o A≥0. La magnitud será: n-1 n-2 |A| = (a i * r i ) = (m i * r i ) i=0 i=0 Hay tres diferentes notaciones para representar una magnitud negativa. Sea A la versión negativa del número A, donde el bit de signo ahora es r-1: 1.- Signo Magnitud. A = ((r-1), m-2, m-3, ..., m0)r Donde los mi, n-2≥i≥0 son los dígitos de magnitud. Obviamente un número difiere de su versión negativa, sólo en el bit de signo. 10
2.- Complemento a la Base Disminuida (DRC). A = ((r-1), m n-2, m n-1,..., m 0)r Donde m i = (r-1)-mi , para n-2≥i≥0. En esta notación A = r n -A-1. A = 0 mn-2 .......... m1 m0 A = r-1 (r-1)-mn-2 ... (r-1)-m1 (r-1)-m0 A + A = r-1 r-1........... r-1 r-1 todos r-1, sumando 1: A + A + 1 = 1 0 ........... 0 0 = r n con lo cual A = r n -A-1. 3.- Complemento a la Base (RC). A = (((r-1), m n-2,..., m 1, m 0)+1)r En esta notación A = r n - A . Veamos a modo de ejemplo almacenar con r=2 y n=16 la versión negativa y positiva de A = (547)10 = (1000100011)2 Positivo Negativo Sig-Magnitud 0000001000100011 1000001000100011 1ºComplement 0000001000100011 1111110111011100 2ºComplement 0000001000100011 1111110111011101 Para números negativos se completa con 1's tanto en complemento a 1 como en complemento a 2. Para positivos se completa con 0's. Esto es lo que se denomina 'Sign Extension' para el sistema numérico signado. Observación: En la adopción de un sistema numérico signado es importante la detección de signo (facilidad de la misma), equivalencia en los rangos de positivos y negativos, facilidad en las operaciones aritméticas básicas (+) y (-), y representación del 0. El rango de los enteros en cada representación est determinado por la longitud de la palabra, 'n'. En los tres casos el límite superior positivo está dado por el máximo entero que entra en n bits, incluyendo signo el cual es en todos los casos 0. Esto es 2 n-1 -1 en decimal. Se observa que el 0 tiene representación dual en Signo-Magnitud (100000)2 y en 1's Complemento (111111)2. Mientras que en los casos anteriores el límite en cuanto al número negativo más grande coincide con la magnitud del límite positivo, 2's Complemento es asimétrico en el sentido que admite como negativo mas grande (en magnitud) –2 n-1 (100...0). Es de observar que complementa sobre sí mismo lo cual no es problema pues 100...0 está fuera de rango como positivo. Ocurre 'Overflow' cuando un número positivo excede el límite superior. Similarmente, ocurre 'Underflow' cuando un número negativo excede el límite inferior. 11
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