CIENCIAS 16

arITmÉTIca
TEma 16
rEGLa dE InTErÉs
DESARROLLO DEL TEMA
I
INTERES
Llamamos interés al beneficio o ganancia generado por un
bien o capital, que ha sido prestado o depositado durante
un periodo de tiempo a una cierta condición financiera
(tasas).
Elementos que intervienen en el Cálculo del Interés
A. CapitaL
Lo denotaremos con la letra “C” y es el dinero invertido
o el bien prestado.
B. TIempo
Es el período durante el cual se entra el capital y lo
denotamos con la letra “t”.
Tomaremos en consideración:
* 1 mes comercial 30 días
* 1 año comercial 360 días
* 1 año común 365 días
* 1 año bisiesto 366 días
C. Tasa
O rédito, la denotamos con el símbolo “r%”, quiere
decir r partes de cada 100 unidades prestadas en una
unidad de tiempo.
Ejemplo:
• 6% mensual Cada mes se recibe 6 partes
de cada 100 partes del capital prestado.
• 12% trimestral Cada tres meses se recibe 12
partes de cada 100 partes del capital prestado.
* 35% semestral Cada 6 meses se recibe 35
partes de cada 100 partes del capital prestado.
Tasas Equivalentes:
Fórmulas del interés
• Si la tasa y el tiempo están en un mismo periodo:
I = C x r % t
• Si la tasa está en años y el tiempo en meses:
I =
C x r % t
12
• Si la tasa está en años y el tiempo en días:
D. Monto
I = C × r % x t
360
Lo denotamos con la letra “M” y es igual a la cantidad
final de cada periodo o la suma del capital y los
intereses generados o producidos por el mismo.
Diremos que:
4% mensual
8% Bimestral
12% Trimestral
16% Cuatrimestral
24% Semestral
48% Anual
M = C + I = C + Cr% t = C(1 + r % t)
Donde por lo general la tasa se encuentra en años.
1
san marcos rEGULar 2014 – II 1
arITmÉTIca TEma 16

egla de INTERÉS
PROBLEMAS RESUELTOS
Problema 1
Una persona tiene S/. 16 000 que presta
al 5% trimestral y otra tiene S/. 20 000
que en presta al 5% cuatrimestral.
¿Dentro de cuanto tiempo los montos
serán iguales?
A) 10 años
B) 11 años
C) 14 años
D) 18 años
E) 20 años
Resolución:
C = 16 000
5% trimestral 20 % anual
M 1
C2 = 20000
5 % cuatrimestral 15 % anual.
M 2
Por dato:
20 15
C
⎡
1 1 t
⎤
C
⎡
2 1 t
⎤
⎢
× ×
⎣ + 100 ⎥⎦ = ⎢⎣ + 100 ⎥⎦
4 3
4 ⎡ ⎢
1+ t ⎤ 5 ⎡ 1 t
⎤
20 ⎥
=
⎣ ⎦ ⎢
+
⎣ 20 ⎥⎦
4 3
4+ t = 5+
t
5 4
= t
20 = 1; t 20 años
Respuesta: 20 años
Problema 2
Carlos depositó $8 000 a una tasa de
interés del 0,5.% mensual. ¿Cuánto
ganará en 3 años?
A) $1400
B) $1800
C) $1440
D) $2 000
E) $3 000
Resolución:
Como la tasa es mensual y el tiempo está
en años, debemos convertir cualquiera
de las dos a las unidades de la otra.
Convertiremos la tasa de interés:
0,5% mensual 12 × 0,5 = 6% anual
Luego:
C = $8 000
r = 0,5% mensual = 6% anual mismas
t = 3 años
unidades
I = ?? → I =
C. r. t
100 = 8000 × 6 × 3
100
= $1 440
Respuesta: $1440
Problema 3
Luis se prestó S/.9 000 del Banco de
Crédito a una tasa del 14 % anual,
pactando devolverlo en 5 meses. ¿Qué
suma tendrá que devolver al banco al
vencerse el plazo?
A) 9000
B) 7000
C) 6582
D) 3562
E) 9525
Resolución:
C = S/.9 000
r = 14% anual
t = 5 meses = 5/12 año
M = ??
I =
C. r. t
100 = 9000 × 14 ×
100
5
12 = S/.525
Como nos piden la suma que debe
devolver al banco, se suma el capital
más los intereses, denominándose esto
el monto (M).
M = C + I
M = 9 000 + 525 = 9 525
Respuesta: 9525
PROBLEMAS dE cLASE
EJERcITAcIÓN
1. ¿Qué capital se debe depositar al
5% anual para que en 4 meses
produzca un interés de 80 dólares?
A) $ 4500
B) $ 4800
C) $ 5200
D) $ 4000
e) $ 6000
2. Carlos depositó 4 500 soles en
el Banco Continental a una tasa
mensual del 3%. ¿Cuánto ha
ganado en 4 meses?
A) S/. 520
B) S/. 480
C) S/. 540
D) S/. 370
e) S/. 360
3. ¿Cuánto tiempo debe ser colocado
un capital al 25% anual, para que
se duplique?
A) 2 años
B) 3 años
C) 4 años
D) 5 años
e) 6 años
4. Un capital de 3000 dólares fue
depositado durante 5 meses a
una tasa del 8% semestral. ¿Qué
interés se ha ganado?
A) $ 100
B) $ 150
C) $ 240
D) $ 180
e) $ 200
5. ¿Cuánto tiempo debe ser depositado
un capital al 20% anual para que se
triplique?
TEma 16
arITmÉTIca
2
2 san marcos rEGULar 2014 – II

egla de INTERÉS
A) 15 años
B) 10 años
C) 20 años
D) 30 años
e) 25 años
PROFUNdIZAcIÓN
6. ¿Qué capital se debe depositar al
15% de interés anual para que se
convierta en S/. 6500 a los 2 años?
A) S/. 4000
B) S/. 5000
C) S/. 7000
D) S/. 2000
e) S/. 3000
7. ¿A qué porcentaje debe ser
colocado un capital para que
en 8 meses produzca un interés
equivalente a los 7/50 del capital?
A) 27 %
B) 35 %
C) 14 %
D) 21 %
e) 36 %
8. La tercera parte de un capital se
coloca al 9% anual de interés
simple. ¿A qué tanto por ciento
deberá colocarse el resto para
obtener un beneficio total del 11%
anual de dicho capital?
A) 10 %
B) 12 %
C) 15 %
D) 13 %
e) 14 %
9. Qué interés producirá un capital de
S/. 5200 prestado al 21% anual en
7 años y 5 meses.
A) 6410
B) 8099
C) 6414
D) 8090
e) 8089
SISTEMATIZAcIÓN
10. ¿A qué porcentaje anual debe
ser colocado un capital para que
en 8 meses produzca un interés
equivalente al 10% del monto?
A) 28 %
B) 16 %
C) 50/3%
D) 40 %
e) 12 %
11. Los 2/3 de un capital se impone
al 8% anual y el resto al 2,5%
trimestral. Si al cabo de 2 años los
intereses son S/. 6240. Hallar el
capital originado.
A) S/. 24 000
B) S/. 30 000
C) S/. 36 000
D) S/. 42 000
e) S/. 50 000
12. Se prestó un capital por 1 año,
siendo el monto de 5 500 soles. Si
se hubiera prestado por 2 años el
monto sería 6000, ¿cuál fue la tasa
de interés?
A) 5 %
B) 20 %
C) 10 %
D) 25 %
e) 15 %
san marcos rEGULar 2014 – II 3
arITmÉTIca TEma 16
3

áLGEbra
TEma 16
fUncIonEs
DESARROLLO DEL TEMA
I. PAR ORDENADO
Es un conjunto que consta de dos elementos en el que
interesa el orden, es decir, a uno se le distingue como
el primero y al otro, el segundo del par ordenado. A los
elementos de un par ordenado se les llama coordenadas.
(x; y)
Teorema
a
2. coordenada
a
1. coordenada
R = {(a;b)/ a ∈A, b ∈B ∧ aRb}
II. PRODUCTO CARTESIANO
Dados los conjuntos no vacíos "A" y "B", el producto
cartesiano de "A" y "B" denotado como "A x B", es el
conjunto de todos los pares ordenados (a;b) donde "a"
es un elemento de "A" y "b" un elemento de "B".
Asi:
A x B = {(a;b)/a ∈A ∧ b ∈B}
Ejemplos:
Sean: A = {3; 2; 5} y B = {5; 2}.
A × B = {(3;5), (3;2), (2;5), (2;2), (5;5), (5;2)}
B × A = {(5;3), (5;2), (5;5), (2;3), (2;2), (2;5)}
Relación binaria
Sea "A" y "B" dos conjuntos no vacíos, se define la relación
binaria de "A" en "B" de la siguiente manera.
R = {(a;b)/ a ∈A, b ∈B ∧aRb}
Entiéndase que aRb implica que entre a y b existe alguna
relación o aun cuando en muchos casos no se pueda
traducir en una fórmula o regla de correspondencia.
Ejemplos:
Dado A = {1; 2; 3; 4} y B = {5; 6}.
Halla: R : A.B
R = {(a;b)/ aA, bB y a + b

funciones
Nota:
Una relación f: AB será una función si cumple:
1. Para cada xA yB/(x;y) f.
2. Si(x;y)f (x;z)f y = z.
3.
4.
A
1
2
5
A
1
2
5
h
Función
H
No es función
B
3
4
B
3
4
5
A. Dominio y rango de una función
Sea f: AB una función de A en B, llamaremos dominio
de la función f, al conjunto de todas sus primeras
componentes, al cual denotaremos por:
Df = Domf, es decir:
D = {x ∈ A / ∃ y ∈B ∧(x;y) ∈f} ⊂ A
f
Y llamaremos rango de la función al conjunto de las
imágenes de todos los elementos de A, mediante f al
cual denotaremos por:
Rf = Ranf, es decir:
Ejemplo:
Sea f = {(1;2), (3;4), (5;6), (7;8)}.
B. Sugerencia para el cálculo del dominio y
rango de una función
• El dominio de una función f se determina
analizando todos los valores posibles que pueda
tomar "x".
De manera que f(x) sea real, salvo el caso en que
dicho dominio sea especificado.
• El rango de una función f se determina despejando
la variable "x" en función de "y", luego se analiza
todos los valores posibles que pueda tomar "y",
de tal manera "x" sea real.
Nota:
No debe existir 2 o más pares ordenados diferentes
con el mismo primer elemento. En caso existiera, de
acuerdo a la definición, los segundos componentes
tendrán que ser iguales; si no es así, entonces no será
función.
PROBLEMAS RESUELTOS
Problema 1
Sea f(x) = ax 2 + bx + c.
Si: f(0) = –2 ; f(1) = 6 y
f(3) + f(2) = 76.
Determina el valor de: 3a + 2b + c.
A) 19 B) 23 C) 17
D) 13 E) 29
UNMSM 2007 - II
Resolución:
Para:
x = 0 a.0 2 + b.0 + c= –2 c= –2
x = 1 a.1 2 + b.1 + c = 6 a + b = 8
- - - (1)
x = 3 a.3 2 + b.3 + c = 9a + 3b – 2
x = 2 a.2 2 + b.2 + c = 4a + 2b – +
13a + 5b – 4 = 76 - - - (2)
Problema 2
Dado A = {x ∈ Z/ |x| ≤ 4}. Sean "f" y
"g" funciones de A en IR definidas por
f(x) = x 2 – 3 y g(x) = 1–
x + 1. Hallar
la intersección del rango de "f" con el
dominio de "g".
A) {0; –2; –3} B) {–3; –2; –1}
C) {1; 2; 3} D) {–3; –2; 1}
E) {–1; 0; 1}
Resolución:
Si: |x| ≤ 4 ⇒ – 4 ≤ x ≤ 4
*F(x) = x 2 – 3 ** g(x) = 1 – x + 1
–4 ≤ x ≤ 4 Dg: 1 – x ≥ 0
0 ≤ x 2 ≤ 16 x ≤ 1
2
– 3 ≤ x
– 3 ≤13
–3 ≤ f(x) ≤ 13
Problema 3
Halla el área de la región limitada por
las gráficas de las funciones:
f(x) = |2x| ; g(x) = x/2 + 5
A) (38/3)u 2 B) (20/3)u 2
C) (32/3)u 2 D) (40/3)u 2
E) (16/3)u 2 UNMSM 2009 - I
Resolución:
Resolviendo: [f(x) = g(x)]
y: 2x = x/2 + 5 ; x: 10/3 , y = 20/3
y: –2x = x/2 + 5 ; x = –2, y = 4
Del gráfico:
AS = AABC – AADC
A
S
10.(20 3) 10.4
= –
2 2
A = 40 3
S
(0;5)
De (1) y (2):
a = 5 ; b = 3 y c = –2
D(-2;4)
B(10/3;20/3)
Entonces:
3.5 + 2.3 – 2 = 19
Rf ∩ Dg = {–3;–2;1} * x ∈ Z
A(-10;0)
C(0;0)
Respuesta: 19
Respuesta: 2
Respuesta: (40/3) u 2
TEma 16
áLGEbra
2
2 san marcos rEGULar 2014 – II

funciones
PROBLEMAS DE CLASE
EjERCITACIÓN
1. hallar el dominio de la función cuya
regla de correspondencia es:
1
F (x) =
x 3 +1
A) R B) R–{–1}
C) R–{1} D) R–{±1}
E) φ
2. Hallar el dominio de la función cuya
regla de correspondencia es:
A) R–{2}
F(x) =
B) R–{– 2 , 2 }
C) R–{–2,2}
D) R
E) R–{–2}
x –1
x 4 – 3x 2 – 4
3. Hallar el dominio de la función cuya
regla de correspondencia es:
F (x) = x3 – 6x 2 + 4x + 8
x 3 – x 2 – 9x + 9
A) R B) R–{–1}
C) R–{3,1} D) φ
E) R–{–3, 1, 3}
4. Hallar el dominio de la función cuya
regla de correspondencia es:
x 2 – 4
F(x) = x 2 = 2x
A) (–∞, –2] ∪ [2, +∞)
B) (–∞, –2] ∪ (2, +∞)
C) R
D) R – [–2, –2)
E) φ
5. Halle el rango de:
G={(x; y)∈R 2 /y= 5 – x + 3 + x }
A) y ∈ [ 2 ; 4]
B) y ∈ [0; 4]
C) y ∈ R
D) y ∈ [2 2 ; 4]
E) y ∈ [0; 2 2 ]
PROFUNDIzACIÓN
6. Dadas las funciones:
F = {(x; y)/y = 2x 2 + 4x – 2; x ∈ R}
G = {(x; y)/y = x 2 + 10x + 3; x ∈ R}
Hallar: RAN(F) ∩ RAN(G)
A) [–10; –2] B) [–2; +∞〉
C) 〈–∞; –20] D) [–10; –1〉
E) [–4; +∞〉
7. Sean F: {1,2,3,4,5} → {1,2,3,4,5}
una función inyectiva, satisface
F(1), F(2) ∈ {1,2}
F(3) ∈ {2,4}
F(4), ∈ {1,4, 5}
Entonces F(5) es igual a:
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
8. Sean las funciones F: R → R y A ⊂
R → R, tales que F(x) = x 2 – 9 e
(Fog)(x) = x – 6, en sus respectivos
dominios. Entonces el dominio de
A en la función g es:
A) [–3, ∞〉
B) R
C) [–5, +∞〉
D) 〈–∞, –1〉 ∪ [3 + ∞〉
E) 〈–∞, 6 〉
9. Sea: F: R → R una función impar.
Si F J 1 N
K OP = 1 y F(x+3) = F(x) para
L 2
todo x ∈ R, determine el valor de:
11
2 . F J 1 N
K OP – 7 L 2 2 F J 11 N
K OP
L 2
A) 6 B) 7 C) 8
D) 9 E) 11
2
SISTEMATIzACIÓN
10. Si f: Dom(f) = [1,5] → [5,11] es
una función lineal decreciente y
sobreyectiva, determine la regla de
correspondencia de f.
A) f(x) = – 25 2 + 3 2 x
B) f(x) = 25 2 – 3 2 x
C) f(x) = – 3 2 x + 13 2
D) f(x) = – 17
2 – 7 2 x
E) f(x) = – 27 2 – 5 2 x
11. Si f es una función creciente con
Dom(f ) = [1,3] y Ran(f) = [2, 5 2 ]
1
tal que f(x) = , halle el valor
ax – b
de a + b.
A) – 11
20
D) – 3 2
B) – 5 3
E) – 1 20
C) – 3 5
12. Si f(x) = 2x – 1 , definida en R – {3}
x – 3
e inversible. El valor de F –1 (7) es:
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
san marcos rEGULar 2014 – II 3
áLGEbra TEma 16
3

GEomEtría
tEma 16
EsfEra y pappUs-GULdIn
DESARROLLO DEL TEMA
I. SUPERFICIE ESFÉRICA
La superficie esférica es el lugar geométrico de todos los
puntos del espacio que equidistan de otro punto fijo del
espacio denominado centro.
La superficie esférica, es aquella superficie que se genera
al hacer girar 360° una semicircunferencia al-rededor de
su diámetro.
2. Casquete esférico
360°
H
O
R
R
H
360°
Superficie esférica
Eje de giro
R
O
Eje de giro
O
R
Circunferencia máxima
Observación:
• Si los sólidos de revolución (cilindro, cono y esfera)
que tienen el mismo radio (R) y la misma altura
(2R), sus volúmenes son proporcionales a 3; 2 y
1 respectivamente.
Área de la Superficie Esférica
AS.E.
=
4pR
2
A. Porciones notables de superficies esféricas
1. Zona esférica
Es la superficie generada por una porción de arco
de una semicircunferencia cuando se hace girar
360° alrededor de su diámetro.
Vcilindro Vesfera Vcono
= =
3 2 1
• Si el cono de revolución se inscribe una esfera se
cumple:
360°
R
O
H
Eje de giro
Área de la zona esférica:
A Z.E.
=
(2pR)H
q
R
R
H
Vcono
Scono
=
Vesfera
Sesfera
Área del casquete esférico
A CE
= (2pR)H
1
san marcos rEGULar 2014 – II 1
GEomEtría tEma 16

esfera y pappus-guldin
3. Huso esférico
Es la porción de superficie esférica comprendida
entre dos semicircunferencia máximas que tienen
en común su diámetro.
q
R
Huso
esférico
Nota:
• El segmento que une el centro de una esfera y el
de un círculo menor de la esfera, es perpendicular
al plano del círculo.
R
O
Eje de giro
Área del huso esférico
q → H.E.
360° → 4pR 2
→
2
qpR
AH.E.
=
90°
R
R
q
OQ ⊥ AB
• Si dicho círculo tiene por centro el centro de la
esfera, entonces se denomina círculo máximo y si
no contiene al centro se denomina círculo menor.
Q
O
O
R
P
II. ESFERA
Es el sólido que se genera cuando se hace girar 360° un
semicírculo alrededor de su diámetro.
R
O
360°
Eje de giro
Volumen de la esfera
R
R
Círculo
máximo
H
P
O: Centro de la esfera, también es centro del círculo máximo.
O 1 : Centro del círculo menor.
H: Plano tangente a la superficie esférica en P.
P y Q: Planos secantes a la esfera.
A. Porciones notables de la esfera
(Sólidos de revolución)
1. Sector esférico
Es el sólido que se genera cuando se hace girar
360° un sector circular alrededor del diámetro de
su respectivo círculo. (Según el gráfico)
4p
3
V=
R
3
Al trazar cualquier plano secante a una esfera, en dicha
esfera se determina una sección plana el cual es un
círculo.
A
R
B
R
Eje de giro
H
360°
R
H
Nota:
Toda sección plana de una esfera es un círculo. Si
el plano secante no pasa por el centro se obtendrá
un círculo menor y si pasa por el centro un círculo
máximo.
Volumen del sector esférico
⎛ 2
2pR
⎞
V S.E = ⎜ ⎟.H
⎝ 3 ⎠
H: longitud de la proyección del arco AB sobre el
eje de giro.
360°
R
O
R
H
H
tEma 16
GEomEtría
2
2 san marcos rEGULar 2014 – II

esfera y pappus-guldin
2. Anillo esférico
IV. SEGMENTO ESFÉRICO DE UNA BASE
Es el sólido que se genera cuando se hace girar
360° un segmento circular alrededor del diámetro
360°
de su respectivo círculo.
H
H
360°
r
A
R
R
H
H
Eje de giro
B R
Eje de giro
Volumen del segmento esférico de una base
Volumen del anillo esférico
3 2
pH
pr
VS.E.
= + H
p
6 2
2
V A.E = (AB) .H
6
También: por relaciones métricas r 2 = H(2R – H)
2
Nota:
Luego:
pH
V S.E = (3R – H)
Todo plano tangente a una esfera es perpendicular al
3
radio que pasa por el punto de contacto.
V. CUÑA ESFÉRICA
Es la porción de esfera comprendido entre dos círculos
máximos que tienen su diámetro común.
360°
Cuña esférica
OM ⊥P
q R
R
Eje de giro
360°
Volumen de la cuña
r 1
q → VC.E.
⎫⎪ q
⎬ VC.E
= ( Vesfera)
H
R
360°→ V
H
Esfera⎪⎭
360°
r 2
R
3
qpR
También: VC.E.
=
Eje de giro
270°
Volumen del segmento esférico de dos bases
VI. TEOREMA DE PAPPU'S GULDING
3 2 2
pH
⎛ pr
⎞ ⎛
1 pr
⎞
El teorema de Pappus Gulding, se aplica para calcular el
V 2
S.E = + ⎜ ⎟H+
⎜ ⎟H
área de una superficie generada por una línea plana o
6 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
para calcular el volumen de un sólido generado por una
región plana cuando se hace girar 360° en torno a un eje
coplanar de manera tal que no lo divide en dos partes a
Nota:
la línea o región, así tenemos:
A. Área de la superficie generada
El área de la superficie generada por una línea finita
cuando se hace girar 360° alrededor de eje coplanar,
1 3
VANILLOESF
= h
6 p
es igual al producto de la longitud de la circunferencia
que describe su centroide por la longitud de la línea.
III. SEGMENTO ESFÉRICO DE DOS BASES
Es la porción de esfera comprendida entre dos planos
paralelos y secantes a la esfera.
san marcos rEGULar 2014 – II 3
GEomEtría tEma 16
3

esfera y pappus-guldin
A
C.G
x
360°
x
eje coplanar, es igual a producto de la longitud de la
circunferencia que describe su centroide por el área
de dicha región.
360°
B
Eje de giro
Área de la superficie generada
( )
A S.G. = 2pX .L
: Distancia del C. G. al eje
L : Longitud de la línea curva AB.
C.G. : Centroide de la línea
B. Volumen del sólido generado
El volumen del sólido generado por una región
plana, cuando se hace girar 360° alrededor de un
C.G
A
x
Eje de giro
Volumen del sólido generado
( )
AS.G.
= 2pX .A
CG: centroide
A: área de la región
: distancia del C.G al eje de giro
x
PROBLEMAS RESUELTOS
Problema 1
Hallar el volumen de un segmento
esférico, cuyo casquete tiene área 40
pm 2 y el radio de la esfera mide 10 m.
Resolución:
Resolución:
S zona = 2pR R N
O= pR2
4P
2
A ruso = pR2
90 a
O
N
P
Resolución:
10
A
O
C
H
S casq = 40p
Pero: 2pRh = 40p
Como R = 10, entonces h = 2
Como son equivalentes.
pR 2
90 a = pR2
2
A
10
45° 8°
H
D
V segm esf: 2/3 pR 2 h
V = 400 p/3 m 3
de donde a = 45°
Problema 3
BD = 10 2
OD = 5 2
AODH
Problema 2
El lado de un cuadrado ABCD mide 10.
OH = 4 2
En una esfera da radio R una zona
esfétrica tiene altura R/4 y es
equivalente a un huso. Hallar el ángulo
correspondiente al huso.
Hallar el volumen del sólido al girar el
cuadrado una vuelta alrededor de un
eje que pasa por D haciendo un ángulo
de 8° de manera exterior al cuadrado.
Por teoreama de Pappus
V = 2p(OH)(S 4 )
V = 2p(4 2)(10 2 )
V = 800 p 2
tEma 16
GEomEtría
4
4 san marcos rEGULar 2014 – II

esfera y pappus-guldin
PROBLEMAS DE CLASE
EJERCITACIÓN
PROFUNDIzACIÓN
SISTEMATIzACIÓN
1. El área de la sección máxima de una
esfera es 9p. Indica su volumen.
A) 6p B) 24p C) 12p
D) 36p E) 50p
2. Una esfera se encuentra inscrita en
un cilindro recto. Halle la relación
entre el volumen de la esfera y el
volumen del cilindro.
A) 4/9 B) 2/5 C) 1/4
D) 2/3 E) 1/3
3. La sección máxima de una esfera
tiene área S. ¿Cuál es el área total
resultante al partir dicha esfera en
dos pedazos iguales?
A) S B) 2S C) 3S
D) 4S E) 6S
4. Calcular el área de la esfera
circunscrita a un cubo, si el área
de la esfera inscrita es igual a 60.
A) 120 B) 60 C) 180
D) 240 E) 320
5. Calcula el volumen que genera un
cuadrado al girar en torno a una de
sus diagonales, si su lado mide 6m.
A) 18 2p B) 36 2p C) 9p 2
D 16 3p E) 20 3p
6. El diámetro de una esfera mide 60.
¿Cuál es el diámetro de la base de
un cono de igual volumen, cuya
altura es 30 cm?
A) 60 B) 120 C) 40
D) 80 E) 150
7. Sean E 1 y E 2 dos esferas, si el volumen
de E 2 es el doble del volumen
E 1 y el radio de E 1 = 16
calcula el volumen de E 2 .
A) 612p cm 3
B) 512/3p cm 3
C) 412p
D) 128/3 p cm 3
E) 552p cm 3
3
cm,
8. Calcular el ángulo de la cúspide de
un cono recto sabiendo que el área
de la esfera inscrita es al área de la
base del cono como 4 es a 3.
A) 15° B) 30° C) 60°
D) 74° E) 80°
9. Hallar el área de un huso esférico
de 90° si el radio es 5.
A) 24p B) 12,5p
C) 25p D) 16p
E) p
10. Se inscribe un cono recto de
revolución en una esfera, tal que
la generatriz del cono sea igual al
diámetro de su base es igual a 2a.
Calcula el área total de la esfera.
A) 16 3 p a B) 16 9 p a
C) 4 3 p a D) 4 3 a
3 p
E) 12
11. Un cilindro macizo de plomo tiene
un diámetro D y una altura D. Se
funde el cilindro para obtener
2 sólidos: un cono recto y una
esfera. Si el cono tiene altura D
y una base con diámetro D, ¿qué
diámetro tendrá la esfera?
A) D/3 B) D/2 C) D
D) 2D E) 3D
12. Hallar el área de la sección que
se determina al intersecarse una
esfera y un cono, ambos inscritos
en un cilindro recto cuyo radio de
base es 5m.
A) 2p m 2
B) 4p m 2
C) 16/5p m 2
D) 12p m 2
E) 15/4p m 2
san marcos rEGULar 2014 – II 5
GEomEtría tEma 16
5

TRIGONOMETRÍA
TEMA 16
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS
OBLICUÁNGULOS
DESARROLLO DEL TEMA
I. TEOREMA DEL SENO
En todo triángulo oblicuángulo se cumple que las medidas
de sus lados son directamente proporcionales a los senos
de sus respectivos ángulos opuestos, siendo la constante
de proporcionalidad el diámetro de la circunferencia
circunscrita al triángulo.
⇒
⇒
⇒
2 2 2
a = b + c – 2bcCosA
2 2 2
b = a + c – 2acCosB
2 2 2
c = a + b – 2abCosC
⇒
a b c
= = = 2R
SenA SenB SenC
R : Circunradio
De donde se tendrá:
a = 2RSenA
De donde : b = 2RSenB
c = 2RSenC
II. TEOREMA DEL COSENO
En todo triángulo oblicuángulo se cumple que el cuadrado
de la medida de un lado es igual a la suma de los
cuadrados de las medidas de los otros dos lados menos
el doble producto de estos multiplicado por el coseno del
ángulo comprendido entre ellos.
2 2 2
b + c – a
CosA =
2bc
2 2 2
a + c – b
CosB =
2ac
2 2 2
a + b – c
CosC =
2ab
1
SAN MARCOS REGULAR 2014 – II 1 TRIGONOMETRÍA TEMA 16

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
A. Teorema de las tangentes
En todo triángulo oblicuángulo se cumple que la
diferencia de las medidas de dos de sus lados es a
la suma de estas medidas, como la tangente de la
semidiferencia es a la tangente de la semisuma de los
respectivos ángulos opuestos a los lados considerados.
III. DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DEL
SENO
• Trazamos el diámetro CD, entonces: CD = 2R.
• Al unir el punto D con los vértices A y B se obtienen los
triángulos rectángulos CAD y CBD donde se observa:
m]CDB = m]A ∧ m]CDA = m]B
⇒
⇒
⇒
⎛ A – B
Tan
⎞
⎜ ⎟
a– b ⎝ 2
=
⎠
a+ b ⎛ A+
B
Tan
⎞
⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠
⎛B
– C
Tan
⎞
⎜ ⎟
b – c ⎝ 2
=
⎠
b+ c ⎛B+
C
Tan
⎞
⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠
⎛ A – C
Tan
⎞
⎜ ⎟
a– c ⎝ 2
=
⎠
a+ c ⎛ A+
C
Tan
⎞
⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠
B. Teorema de las proyecciones
En todo triángulo oblicuángulo se cumple que la
medida de un lado es igual a la suma de las medidas
de los otros dos lados multiplicados cada uno de ellos
por el coseno del ángulo opuesto al otro.
B
• CBD:
a
a
= SenA ⇒ = 2R
2R
SenA
• CAD:
b
b
= SenB ⇒ = 2R
2R
SenB
• En forma análoga se deduce que
finalmente se puede establecer que:
a b c
= = = 2R
SenA SenB SenC
c
2R
SenC = ;
IV. DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DEL
COSENO
c
a
A
b
C
⇒
⇒
⇒
a = b.CosC + c.CosB
b = a.CosC + c.CosA
c = a.CosB + b.CosA
• Trazamos la altura CH, determinándose los triángulos
rectángulos CHA y CHB.
• CHA: (Resolución de triángulos)
AH = bCosA ∧ CH = bSenA
TEMA 16
TRIGONOMETRÍA
2
2 SAN MARCOS REGULAR 2014 – II

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
• CHB: (Teorema de Pitágoras)
a 2 = (bSenA) 2 + (c – bCosA) 2
a 2 = b 2 Sen 2 A + c 2 + b 2 Cos 2 A – 2bcCosA
a 2 = b 2 (Sen
2 A + Cos 2 A) + c 2 – 2bc.CosA
1
2 2 2
a = b + c − 2bcCosA
• Aplicando resolución de triángulos rectángulos en los
triángulos determinados se tendrá:
CH = bCosC ∧ HB = cCosB
• En el triángulo ABC, se observa que:
BC = CH + HB
∴ a = bCosC + cCosB
V. DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DE
LAS TANGENTES
• Sabemos por el teorema del seno que:
a = 2RSenA ∧ b = 2RSenB
VII. ÁREA DE LA REGIÓN TRIANGULAR
El área de la región triangular es igual al semiproducto
de las medidas de dos de sus lados multiplicado por el
seno del ángulo comprendido entre dichos lados.
B
• Dividiendo se tendrá:
a = 2RSenA ⇒
a =
SenA
b 2RSenB b SenB
c
S
a
• Aplicando proporciones:
a – b SenA – SenB
=
a + b SenA + SenB
⎛ A – B⎞ ⎛ A+
B
2Sen
⎞
⎜ ⎟Cos
⎜ ⎟
a– b ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2
⇒ =
⎠
a+ b ⎛ A+ B⎞ ⎛ A – B
2Sen
⎞
⎜ ⎟Cos
⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
A
C
b
bc ac ab
⇒ S = SenA = SenB = SenC
2 2 2
Demostración:
⇒ a– b = Tan
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ A – B ⎟.Cot
⎜ A+
B
a+
b
⎟
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
∴
⎛ A – B
Tan
⎞
⎜ ⎟
a– b ⎝ 2
=
⎠
a+ b ⎛ A+
B
Tan
⎞
⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠
VI. DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DE LAS
PROYECCIONES
A
• Trazamos la altura BH, determinándose los triángulos
rectángulos BHA y BHC.
• BHA: (Resolución de Triángulos)
b
c
BH =
c.SenA
C
bCosC
H
a
cCosB
• Para calcular el lado a, trazamos la altura AH.
• Se determinan los triángulos rectángulos AHC y AHB,
en los cuales los lados b y c son sus hipotenusas.
B
• ABC: (Por Geometría)
(AC)(BH) (b)(c.SenA)
S = =
2 2
bc
∴ S = .SenA
2
SAN MARCOS REGULAR 2014 – II 3 TRIGONOMETRÍA TEMA 16
3

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
PROBLEMAS RESUELTOS
Problema 1
De la figura calcular: Cos2q
b
3
A) a – b
B) a + b
C) ab
D) a + b
2a
E) a – b
2b
Resolución:
Por ley de senos
Sabemos:
a
a b
=
Sen3q
Senq
Sen3q = Senq(2Cos2q + 1)
Reemplazando:
a
b
=
Sen q(2Cos2q+
1) Senq
a
→ 2Cos2q
1
b = +
a–
b
→ Cos2q=
2b
Respuesta:
a – b
2b
Problema 2
De la figura, calcular "x".
A) 19
B) 21
C) 15
D) 17
E) 13
Resolución:
Por ley de cosenos:
x 2 = 3 2 + 5 2 – 2(3)(5)Cos60°
⎛1
→ x 2 = 34 – 2(15)
⎞
⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠
x 2 = 19
x = 19
Respuesta: 19
Problema 3
De la figura, hallar SenaCosq en términos
de (a); (b) y (c).
A) abc
B) a + b + c
C) a + b – c
D) ba/c
E) bc/a 2
Resolución:
De la figura x + y = 180°
Senx = Seny
En el ∆BCD (Ley de senos)
c a
=
Sena
Senx
aSena
→ Senx = ...(I)
c
En el ∆ADC (Ley de senos)
a b
=
Senq
Seny
bSenq
→ Seny = ...(II)
a
(I) = (II)
Propiedad de ángulos suplementarios.
aSena
bSenq
=
c a
Sena
bc
→ =
Senq
a 2
bc
Sen a.Cscq=
a 2
Respuesta: bc/a 2
TEMA 16
TRIGONOMETRÍA
4
4 SAN MARCOS REGULAR 2014 – II

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
PROBLEMAS DE CLASE
EJERCITACIÓN
1. En un triángulo oblicuángulo el lado
opuesto al ángulo A mide 4m, si:
3 SenA = SenB. Calcular la longitud
del lado opuesto al ángulo "B"
A) 2 3 B) 3 3 C) 3 2
D) 4 3 E) 4 2
2. En triángulo ABC, se cumple:
a 3b c
= =
SenA CosB CosC
Calcular m]A
A) 15° B) 30° C) 45°
D) 90° E) 105°
3. Calcular la medida del ángulo "C"
de un triángulo ABC, cuyos lados
son:
a = 1 + 3
b = 3 – 1
c = 10
A) 30° B) 15° c) 60°
D) 120° E) 150°
4. En un triángulo ABC reducir:
abCosC + bcCosA + caCosB
Q =
a 2 + b 2 + c
2
A) 1 B) 2 C) 1/2
D) 4 E) 1/4
PROFUNDIZACIÓN
5. En un triángulo ABC simplificar.
(p: semiperímetro)
aSen(A + C) + bSen(B + C)
R = +
SenA
bSen(A + B) + cSen(A + C) +
SenA
aSen(B + C) + aSen(A + B)
SenC
A) p B) 2p C) 3p
D) 4p E) 8p
6. En un triángulo ABC se tiene que
2a = 7b ∧ m]C = 60°. Calcular el
valor de
⎛ A – B
Tan
⎞
⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠
A) 5 3
3
C) 9 3
8
E) 2 3
7
B) 5 3
9
D) 7 3
2
7. En un triángulo ABC se cumple:
3(a 2 – b 2 – c 2 ) = 2bc, calcular el
valor de:
A
M = 2Tan 2
A) 1 B) 2
C) 3 D) 2
E) 3
8. En un triángulo ABC con lados a; b
y c respectivamente, se tiene que:
A
Tan 1
2 = y C 1
Tan = 2 3
Determinar:
b+
c
M = b – c
A) 7 B) 8
C) 3 D) 1/ 3
E) 1/4
SISTEMATIZACIÓN
9. Dado un triángulo ABC determinar
el equivalente de:
a – cCosB b – aCosC
K = + +
RSenB RSenC
c – bCosA
– 2
RSenA
A) 8Sen A 2 SenB 2 SenC 2
B) 8SenASenB
C) 4SenASenBSenC
D) 4CosACosBCosc
E) 8Cos A 2 CosB 2 CosC 2
10. En la figura mostrada AB = m,
BD = n, AC = CD = B, BC = a,
entonces el valor de "mn" puede
expresarse:
C
A B D
A) a 2 – b 2
B) b 2 – a 2
C) ab/2
D) 2a 2 – b 2
E) 2b 2 – a 2
11. Del gráfico, calcular AD:
B
A
5 7
60°
C
A) 5 B) 6 C) 7
D) 8 E) 9
12. En un triángulo obtusángulo ABC se
verifica que A+B = 150°. Calcular
2c 2 (Cos2A + Cos2B)
A) 4c 2 – 2a 2 – b 2
B) 2c 2 – a 2 + b 2
C) 4c 2 – a 2 – b 2
D) 3a 2 + ab
E) c 2 + 2a 2 + 2b 2
D
SAN MARCOS REGULAR 2014 – II 5 TRIGONOMETRÍA TEMA 16
5

FÍsIca
TEma 16
FÍsIca moDErna
DESARROLLO DEL TEMA
I. TEORÍA CUÁNTICA
Es aquella que se encarga de estudiar la cuantificación
de la energía (cuantum) o paquetes de energía.
La revolución de esta teoría consiste en descubrir que la
energía existe en forma discreta y no en forma contínua.
A. Analogía
Los granos de maíz se pueden
cuantificar, es decir existe un
elemento mínimo, el grano
luego se puede contar; 1; 2; 3;
...; n granos (forma discreta).
La cantidad de agua
varía en forma continua
(aparentemente).
Uno de los pioneros de esta teoría
fue el físico alemán Max Planck
(1858 – 1947). El análisis científico
se explica a continuación: Si
se dirige un rayo de luz de un
cuerpo incandescente hasta un
prisma, se formaría un espectro
de luz aparentemente contínuo. El cuerpo caliente,
emite radiaciones que dan un aspecto contínuo,
sin embargo, la luz emitida no es uniforme, pues
depende de:
• La naturaleza química;
• y de la temperatura del cuerpo.
Ahora; para que la luz emitida sea uniforme a una
determinada temperatura independiente de la
naturaleza química del cuerpo, se hizo uso del cuerpo
negro.
Cuerpo negro
caliente
luz uniforme
espectro
Cuando el cuerpo negro es calentado hasta alcanzar una
temperatura suficientemente elevada, este emite luz
uniforme.
Algunos científicos utilizando el montaje de la figura
midieron experimentalmente la intensidad contenida en
cada región del espectro, obteniéndose diversas curvas
entre las cuales podemos citar.
Llegando a varias conclusiones; entre ellas:
Cuando la temperatura del cuerpo negro aumenta,
f máx . aumenta cumpliendo
f max
T = Cte.
Por otro lado los trabajos de Maxwell y Hertz llevaron
a Max Planck a afirmar que la radiación se origina en
cada electrón, que oscila con una frecuencia "f" dada
(osciladores eléctricos miscroscópicos).
Planck llevó a cabo varios modelos matemáticos, de los
cuales la única manera de llegar a la misma respuesta
experimental era asumiendo que un oscilador podría
emitir sólo ciertas energías, es decir, que son múltiplos
de hf(h = Cte de Planck), f = frecuencia.
En síntesis, la energía de un oscilador puede ser:
0;1hf; 2hf; 3hf; ... nhf
1
san marcos rEGULar 2014 – II 1
FÍsIca TEma 16

FÍSICA MODERNA
E = nhf
n = número entero
h = 6,63.10 –34 Joule–s (constante de Planck)
E = energía
f = frecuencia
En otras palabras, la emisión de energía por estos
electrones está cuantificada o dividida en Paquetes
cada una con magnitud hf (cuantum), por ende, el
cambio de energía en saltos y súbitamente. (Un gran
descubrimiento).
B. Cuerpo negro
Es quel que absorve en un 100% toda radiación que
cae sobre él, y no refleja nada. Un modelo ideal de
cuerpo negro es una esfera de hierro con un orificio
muy pequeño a través del cual se puede ver su interior.
En la figura se observa que una radiacción ingresa
a la esfera hueca; esta se refleja varias veces hasta
que al final es absorvida totalmente. También sería
preferible llamarlo radiador integral, en lugar de
cuerpo negro, porque a temperatura suficientemente
elevada el cuerpo negro emite "luz uniforme", lo cual
contrasta con su nombre.
A. ¿Cómo explicar la naturaleza de dicho fenómeno?
Albert Einstein, científico alemán nacionalizado en
EEUU. propuso basarse en los estudios de Max Planck
(el Cuantum). Einstein llamó al Cuantum de luz: Foton
o partícula de luz.
Con esto la luz es tratada como si tuviera naturaleza
corpuscular. Al igual que Planck, Einstein planteó su
modelo matemático, el cual fue afinado hasta que al
final obtuvo.
½ mv 2
w
B. Otro punto de vista
Ei =f + Ec
0 máx
Espectro de radiación (1899) de cuerpo negro a tres
temperaturas diferentes.
I
2000 k
1750 k
1200 k
II. EfECTO fOTOEléCTRICO
Es aquel fenómeno en el cual, ciertas placas metálicas
emiten electrones cuando se someten a la acción de luz. El
fenómeno se hace más acentuado cuando las radiaciones
son de alta frecuencia (ondas ultravioletas) y con metales
como el cesio, el sodio y el potasio.
l
Ei = energía incidente
q 0
= hf 0
.
⎧ ∅
⎪
0
∅0=
hf 0.
⎨
⎪⎪
⎩
f0
= función trabajo
o energia umbral
= frecuencia umbral
E = energía cinética máxima electrónica.
c máx
c
máx
1
= mV
2
De la conservación de energía:
E
E
c máx
=
q: carga del electrón
DV: potencial de frenado
q. DV
2
luz
placa metálica
Resultados experimentales
• Para cada metal una frecuencia umbral.
• f ≥ f 0
para que haya emisión de electrones.
• E de los electrones emitidos es proporcional a
c máx.
f – f 0 e independiente de la intensidad de la radiación
incidente.
TEma 16
FÍsIca
2
2 san marcos rEGULar 2014 – II

FÍSICA MODERNA
−f 0
i
Intensidad alta
Intensidad baja
C. Frecuencia constante
v 0 es el mismo sin importar la intensidad.
Se denomina potencial de frenado, al voltaje aplicado
tal que anula la fotocorriente.
Fotocorriente
f
chocar contra un material (blanco). Los electrones
son previamente acelerados por una diferencia de
potencial eléctrico DV.
En el tubo la energía potencial eléctrica eVo, se
convierte en energía cinética del electrón y cuando
choca contra el blanco se generan los rayos X
(bremsstrahlung), es decir se conserva la energía.
1
q D V=
mV2
2
Los electrones provienen del filamento caliente y son
acelerados por la fuente de alta tensión . Al chocar
con el blanco se genera la radiación.
Rayos X
azul verde rojo
v v v
voltaje
aplicado
El potencial de frenado (DV) es diferente para cada
frecuencia.
e
Tensión de
v o
Nota:
La función trabajo f es la energía mínima requerida
por un electrón para abandonar la superficie del metal.
D. Generación de rayos - X
Se llama así a la radiación electromagnética emitida
cuando los electrones son frenados violentamente al
Si k = 0; entonces f = f máx
= C/l m
hc
Luego: l m =
q DV
Experimentalmente se obtiene la curva continua,
donde se resalta la aparición de una longitud de
onda mínima l m que contradice la predicción de la
física clásica.
PROBlEMAS RESUElTOS
Problema 1
Halla la energía de un fotón cuya
frecuencia es 200 MHz.
A) 13,20 x 10 –26 J
B) 14,12 x 10 –26 J
C) 15,12 x 10 –26 J
D) 16,12 x 10 –26 J
E) 17,12 x 10 –26 J
Resolución:
n = 200×10 6 Hz
h = 6,6×10 –34 Joules
E = nh 4
Como se trata de un fotón: n = 1
E = (1)(6,6×10 –34 ) (200×10 6 )
E = 13,20×10 –26 J
Respuesta: A) 13,20×10 –26 J
Problema 2
Una popular estación de radio transmite
a 730 kHz en A.M. mientras que en F.M.
transmite a 89,1 MHz. ¿Cuántos fotones
de A.M. son necesarios para obtener una
energía total e igual a la de un fotón
de F.M.?
A) 120 B) 121 C) 122
D) 123 E) 124
Resolución:
Dato: f A.M
= 7,3 × 10 5 Hz
f F.M
= 8,91 × 10 7 Hz
Nos piden el número de fotones (n) de
A.M. para un foton de F.M.:
hn = nhf
F.M. A.M.
8,91×10 7 = n(7,3×10 5 )
n = 122 fotones
Respuesta: C) 122
Problema 3
El profesor utiliza un puntero láser ( l = 4 000 A)
el cual tiene una potencia de 5 mW. Si lo utiliza
para apuntar perpendicularmente a la pizarra.
Calcula aproximadamente el número de fotones
que la pizarra recibe en cada segundo.
A) 10 16 B) 11 16 C) 12 16
D) 13 16 E) 14 16
Resolución:
Dato: l = 4 000A = 4 × 10 –7 m
P = nhc .... 1
lt
Dato: P = 5 mW = 5×10 –3 J/s
Luego: Para 1s ⇒ E = 5 × 10 –3 J
Nos piden: n = ?; para 1 s
En 1:
n = 10 16 fotones
Respuesta: A) 10 16
san marcos rEGULar 2014 – II 3
FÍsIca TEma 16
3

FÍSICA MODERNA
PROBlEMAS dE ClASE
EJERCITACIÓN
1. Una radiación luminosa que se
propaga en el aire tiene una
frecuencia de 6x10 8 MHz. ¿Cuál es la
longitud de onda de esta radiación?
A) 5 m B) 5.10 -5 m
C) 0,5 m D) 5.10 -7 m
E) 5.10 -6 m
2. Hallar la energía de un fotón cuya
frecuencia es 5.10 8 Hz.
A) 33,15 × 10 –2 J
B) 33,15 × 10 –22 J
C) 33,15 × 10 –24 J
D) 33,15 × 10 –26 J
E) 33,15 × 10 –40 J
3. ¿Cuál es la longitud de onda (en A ° )
asociada a un fotón que posee la
energía de 2,070V?
A) 2000 B) 3000 C) 9000
D) 5000 E) 6000
4. Se iluminan dos superficies
metálicas, una de plomo y otra
de platino con luz de igual
longitud de onda l, necesaria
para que los electrones con más
energía obtenidos por efecto
fotoeléctrico en la superficie
del plomo tengan el doble de
velocidad que los obtenidos en la
superficie del platino. La función
trabajo del plomo es 5 × 10 -19 J,
y la del platino es 10×10 -19 J.
(h = 6,63x10 -34 J.s; C = 3x10 8 m/s;
masa del electrón = 9,11x10 -31 kg)
A) 94 nm B) 114 nm C) 134 nm
D) 154 nm E) 244 nm
5. Dadas las siguientes afirmaciones
con respecto a las ondas
electromagnéticas (OEM):
I. En el vacío, la rapidez de
propagación de una OEM, no
depende de la frecuencia de
propagación de la onda.
II. En cualquier punto de la OEM el
campo eléctrico es perpendicular
al campo magnético
III. Las OEM son ondas
longitudinales.
De estas afirmaciones son ciertas:
A) solo I B) solo II
C) I y II D) I y III
E) I, II y III
PROfUNdIZACIÓN
6. El ojo humano es sensible a la
luz de 5,4 × 10 -7 m de longitud
de onda, la cual está en la región
verde - amarilla del espectro
electromagnético. ¿Cuál es el
número de protones si la energía
total es 6,63 J
A) 16.10 16 B) 17.10 17
C) 18.10 8 D) 19.10 29
E) 20.10 20
7. Si se sabe que una onda
electromagnética de 5 PHz de
frecuencia viaja en el espacio libre,
determine la energía de cada uno
de sus fotones.
A) 10,7 eV B) 15,7 eV
C) 20,7 eV D) 25,7 eV
E) 30,7 eV
8. Los beneficios de los rayos láser se
deben a sus propiedades físcas como:
A) La coherencia, baja
monocromaticidad y la
multidireccionalidad.
B) La coherencia, alta
monocromaticidad y la
unidirteccionabilidad.
C) La coherencia, alta
monocromaticidad y la
multidireccionalidad.
D) La coherencia, baja
monocromaticidad y la
monodireccionalidad.
E) La coherencia, baja
monocromaticidad y la
direccionalidad.
9. Con respecto al fotón, ¿cuál de las
siguientes afirmaciones es falsa?
A) partícula elemental responsable
de las manifestaciones cuánticas
del fenómeno electromagnético.
B) presenta solo propiedades
ondulatorias.
C) viaja en el vacío con la velocidad
de la luz.
D) Presenta tanto propiedades
corpusculares.
E) tienen variadas longitud de
onda y frecuencia.
SISTEMATIZACIÓN
10. La longitud de onda de los rayos
x obtenidos es de 0,03 nm.
Determine el voltaje acelerador de
lso electrones:?
A) 21,4 kV B) 31,4 kV C) 41,4 kV
D) 51,4 kV E) 61,4 kV
11. Una fuente de luz monocromática de
longitud de onda l= 6000A ° , emite
12 W de radiación electromagnética.
El número aproximado de fotones
emitidos por segundos es:
(h = 6,62 x 10 -34 J.s)
A) 1,62x10 19 B) 2,62x10 19
C) 3,62x10 19 D) 462x10 19
E) 562x10 19
12. Halle el potencial retardador cuando
se ilumina potasio con una luz de
longitud de 3300 A ° . La función
trabajo para el potasio es 2eV.
A) 1,75 V B) 2,75 V C) 3,75 V
D) 37,5 V E) 375 V
TEma 16
FÍsIca
4
4 san marcos rEGULar 2014 – II

QUÍMICA
TEMA 16
CONTAMINACIÓN AMBIENTAL
DESARROLLO DEL TEMA
O 2
I. DESTRUCCIÓN DEL OZONO EN LA
ATMÓSFERA
Según se ha mencionado, el ozono de la estratosfera evita
que la radiación UV del Sol llege a superficie de la Tierra.
La formación de ozono en esta región comienza con la
fosodisación del oxígeno molecular por la radiación solar
de una longitud de inda menor que 240 nm,
O 2
UV

CONTAMINACIÓN AMBIENTAL
Los átomos de oxígeno en la ecuación provienen de la
descomposición fotoquímica del oxígeno y del ozono,
antes descrita. Observe que el átomo de Cl funciona como
catalizador en el mecanismo de la reacción representada
por las ecuaciones, dado que no se consume, por
tanto puede participar en muchas reacciones de este
tipo. Un átomo de Cl es capaz de destruir más de 100
000 moléculas de O 3 antes que alguna otra reacción
lo elimine. La especie CIO (monóxido de cloro) es un
intermediario porque es un producto del primero paso
elemental [ecuación (17.4)], y se consume en el siguiente
paso [ecuación (17.5)]. Este mecanismo de destrucción
de ozono se ha comprobado por la detección de ClO en
la estratosfera en años recientes. Como se observa en
la figura 17.7, la concentración de O3 disminuye en las
regiones donde hay más cantidad de ClO.
Otro grupo de compuestos capaces de destruir el ozono de
la estratosfera son los óxidos de nitrógeno, representado
por NOx (como NO y NO2). Estos compuestos provienen
de los gases expulsados por los aviones supersónicos que
vuelan a gran altura, así como por procesos naturales
y algunos otros procesos efectuados por el hombre en
la tierra. La radiación solar descompone una cantidad
considerable de otros óxidos de nitrógeno en óxido nítrico
solar descompone una cantidad considerable de otros
óxidos de nitrógeno en óxido nítrico (NO), que también
destruye la capa de ozono de la siguiente manera:
Global:
O 3 → O 2 + O
NO + O 3
→ NO 2
+ O 2
NO 2
+ O → NO 2
+ O 2
2O 3 → 3O 2
En este caso, el NO es el catalizador y el NO 2 es el
intermediario. El dióxido de nitrógeno también reacciona
con el monóxido de cloro formando nitrato de cloro:
ClO + NO 2 → ClONO 2
El nitrato de cloro es más o menos estable y hace las
veces de un “depósito de cloro”, otro factor que también
contribuye a la destrucción del ozono de la estratosfera
en los polos Norte y Sur.
II. ESMOG FOTOQUÍMICO
La palabra “smog” se acuñó originalmente para describir la
contaminación de humo y neblina que cubrió de Londres
en la década de 1950. El principal responsable de esta
nube dañina fue el dióxido de azufre. En la actualidad,
es más común hablar de esmog fotoquímico, que se
forma por la reacción de los gases que emanan de los
automóviles en presencia de la luz solar.
Los gases que escapan de los automóviles contienen
sobre todo NO, CO y varios hidrocarburos crudos. Estos
gases se conocen como contaminantes primarios porque
desencadenan una serie de reacciones fotoquímicas que
producen contaminantes secundarios. Los contaminantes
secundarios están constituidos, principalmente, por NO 2
y O 3 y son responsables de la acumulación del esmog.
El óxido nítrico es el producto de la reacción entre el
nitrógeno y el oxígeno atmosféricos que se lleva a cabo en
los motores de los automóviles a temperaturas elevadas:
N 2(g) + O 2(g) → 2NO (g)
El óxido nítrico se libera a la atmósfera y rápidamente se
oxida a dióxido de nitrógeno:
2NO (g) + O 2(g) → 2NO 2(g)
La luz solar cataliza la descomposición fotoquímica del
NO 2 (a una longitud de onda poco menor de 400 nm),
que se transforma en NO y O:
NO 2(g) + hv → NO (g) + O (g)
El oxígeno atómico es una especie muy reactiva y puede
desencadenar varias reacciones importantes, como la
formación del ozono:
O (g)
+ O 2(g)
+ M → O 3(g)
+ M
Donde M es alguna sustancia inerte, como N2. El ozono
ataca los enlaces C = C del hule:
R R R O H R R
2 O
C = C + O 3 C C C = O + O = C + H 2 O 2
R R R O O R R
Donde R representa un grupo de átomo de C e H. En
las zonas muy contaminadas por el tráfico, la reacción
puede ocasionar que los neumáticos de los automóviles
se resquebrajen. Los tejidos pulmonares y otras moléculas
biológicas resultan dañados por razones similares.
El ozono también se forma por un conjunto de reacciones
muy complejas en las que participan hidrocarburos crudos,
óxidos de nitrógeno y oxígeno. Uno de los productos de
estas reacciones es el nitrato de peroxiacetilo (PAN, por
sus siglas en inglés):
CH 3 – C – O – O – NO 2
O
El PAN es un poderoso lacrimógeno (produce lagrimeo)
y causa dificultad para respirar.
En la figura 17.25 se muestra las variaciones características
de los contaminantes primarios y secundarios en el
transcurso de un día. A temperatura hora, la concentración
de NO 2 es muy baja. Tan pronto como la radiación solar
penetra a la atmósfera, se forma más NO 2 a partir de NO
y O 2 . Observe que la concentración de ozono permaneces
baja en las primeras horas de la mañana. A medida que
aumenta la concentración de los hidrocarburos crudos.
TEMA 16
QUÍMICA
2
2 SAN MARCOS REGULAR 2014 – II

CONTAMINACIÓN AMBIENTAL
III. LLUVIA ÁCIDA
Cada años, la lluvia ácida causa pérdidas de cientos
de millones de dólares por daños a las construcciones
y monumentos de piedra en todas partes del mundo.
Algunos químicos especialistas en el ambiente utilizan el
término “lepra de las piedras” para describir la corrosión
de las piedras causadas por las lluvia ácida (figura 17.20).
La lluvia ácida también es perjudicial para la vegetación y
la vida acuática. Hay muchos casos bien documentados,
que ejemplifican cómo la lluvia ácida ha destruido tierras
de cultivo y bosques y ha ocasionado la muerte de
organismos acuáticos (vea la figura 15.10).
La precipitación pluvial en el noreste de Estados Unidos
tiene un pH promedio de 4.3 (figura 17.21). Como el CO 2
atmosférico está en equilibrio con el agua de lluvia, no se
esperaría que ésta tuviera un pH menor que 5.5. El dióxido
de azufre (SO 2 ) y en menor grado, los óxidos de nitrógeno
de las emisiones de los vehículos, son los responsables
de que el agua e lluvia ácida sea más ácida. Los óxidos
ácidos, como el SO 2
, reaccionan con el agua y forman
los ácidos correspondientes. El SO 2 atmosférico proviene
de varias fuentes. La naturaleza misma contribuye a la
emisión de SO 2 con las erupciones volcánicas. Asimismo,
muchos metales se encuentran combinados con azufre
en forma natural. Para extraer los metales a menudo
es necesario fundir o calcinar los minerales. Esto es, el
sulfuro metálico se calienta en aire para formar el óxido
de metal y SO 2 . Por ejemplo:
2ZnS (s) + 3O 2(g) → 2ZnO (s) + 2SO 2(g)
El óxido metálico se reduce con más facilidad que el
sulfuro (con un metal más reactiavo y en algunos casos,
con carbono) para liberal el metal.
Aunque la fundición es una fuente importante de SO 2 , la
mayor parte del SO 2 , que contamina la atmósfera provine
de la quema de combustibles fósiles en la industria, las
plantas generadoras de electricidad y los hogares (figura
17.22). El contenido de zufre e la hulla o carbón mineral
va de 0.5 a 5% en masa, dependiendo de la fuente
de carbón. El contenido de azufre en otro combustible
fósiles también es muy variable. Pop ejemplo, el petróleo
del Medio oriente tiene un contenido bajo de azufre, en
tanto que el de Venezuela tiene un contenido alto de
este elemento. Los compuestos de nitrógeno que hay
en el petróleo y el carbón se transforman en óxido de
nitrógeno, que también acidifican el agua de lluvia.
En suma, ¡cada año se liberan a la atmósfera entre 50
y 60 millones de toneladas de SO 2
. En la troposfera, el
SO 2
se oxida casi por completo hasta H 2
SO 4
en forma
de aerosol, el cual termina por ser arrastrado como lluvia
ácida. El mecanismo que transforma el SO 2 en H 2 SO 4 es
muy complejo y aún no está del todo claro. Se cree que la
reacción se inicia por la acción del radica hidroxilo (OH):
OH + SO 2 → HOSO 2
El radical HOSO 2 se oxida aún más hasta producir SO 3 :
HOSO 2 + O 2 → HO 2 + SO 3
El trióxido de azufre reaccionaría rápidamente con el agua
para formar ácido sulfúrico.
SO 3 + H 2 O → H 2 SO 4
El SO 2 también puede oxidarse hasta SO 3 y después,
mediante una catálisis heterogénea sobre partículas
sólidas, puede transformarse en H 2 SO 4 . Con el tiempo,
la lluvia acida corroe las construcciones de piedra caliza
y de mármol (CaCO 3 ). La reacción más común es:
CaCO (s) + H 2 SO 4(ac) → CaSO 4(s) + H 2 O (l) + CO 2(g)
El dióxido de azufre también ataca directamente al
carbonato de calcio:
2CaCO 3(s) + 2SO 2(g) + O 2(g) → 2CaSO (s) + 2CO 2(g)
IV. EFECTOR INVERNADERO
Aunque el dióxido de carbono constituye solo una mínima
parte de la atmósfera de la tierra, con una concentración
de 0.033% en volumen (vea la tabla 17.1), tiene un papel
fundamental en el control del clima. El termino efecto
invernadero describe el mecanismo por el cual los gases
de la atmósfera, en particular el dióxido de carbono,
atrapan el calor cerca de la superficie de la tierra. El techo
de vidrio de un invernadero trasmite la luz solar visible
y modo, el dióxido de carbono funciona como un techo
de vidrio, excepto que aumento de temperatura en un
invernadero se debe principalmente a que la circulación
del aire interior está restringida. Se ha calculado que si
en la atmosfera no hubiera dióxido de carbón ¡La tierra
sería unos 30°C más fría!
La figura 17.11, muestra el ciclo de carbono en nuestro
ecosistema global. La transferencia de dióxido de carbono
hacia la atmósfera y desde esta es una parte esencial del
ciclo de este elemento. El dióxido de carbono se genera
cuando cualquier forma de carbono o compuesto que
tenga carbono se quema con un exceso de oxígeno.
Muchos carbonatos producen CO 2 cuando se calienta y
todos lo producen cuando se trata con ácido
CaCO 3(s)
→ CaO (s)
+ CO 2(g)
CaCO 3(s) + 2HCl (ac) CaCl 2(ac) + H 2 O (l) + CO 2(g)
V. CONTAMINACIÓN DOMESTICA
La contaminación en los espacios cerrados es tan difícil de
evitar como la del aire. La calidad del aire en el hogar y los
centros de trabajo se ve alterada por los materiales con
que están construidos, por la actividad humana y por otros
factores del ambiente. Los contaminantes domésticos más
comunes son radón, monóxido de carbono y dióxido de
carbono.
SAN MARCOS REGULAR 2014 – II 3
QUÍMICA TEMA 16
3

CONTAMINACIÓN AMBIENTAL
VI. RESUMEN DE CONCEPTOS
1. La atmósfera terrestre está compuesta principalmente
por nitrógeno y oxígeno, más una cantidad mínima
de otros gases. En los procesos químicos que tienen
lugar en la atmósfera también influyen en la radiación
solar, las erupciones volcánicas y la actividad humana.
2. El bombardero de moléculas y átomo por partículas
solares produce las auroras en las regiones extremas
de la atmosfera. El resplandor de los transbordadores
espaciales lo causa la excitación de las moléculas
absorbidas en la superficie del transbordador
3. El ozono de la estratosfera absorbe la nociva radiación
UV que abarca un intervalo de 200 a 300 nm y en esta
forma protege la vida en la Tierra. Durante muchos
años, los clorofluorocarbonos han destruido la capa
de ozono.
4. Las erupciones volcánicas puede contaminar el aire,
disminuir el ozono de la estratosfera y alterar el clima.
5. El dióxido de carbono tiene la capacidad de absorber
la radiación infrarroja, lo cual le permite atrapar
parte del calor que emana de la tierra y calentar su
superficie. Otros gases como los CFC y el metano
también contribuyen al calentamiento del planeta.
6. El dióxido de azufre y, en menor grado, lo óxido
de nitrógeno que se generan por la quema de
combustible fósiles y los procesos de calcinato de los
sulfurosos metálicos, ocasionan la lluvia ácida.
7. El esmog fotoquímico es producido por la reacción
fotoquímica de los gases que emanan de los vehículos
en presencia de la luz solar. Esta es una reacción
compleja en la que participan los óxidos de nitrógeno,
el ozono y los hidrocarburos.
8. La contaminación del aire en interiores (o contaminación
domestica) es causada por radón, un gas radioactivo
que se forma por la desintegración del uranio; el
monóxido de carbono y el dióxido de carbono que
son producto de combustión y el formaldehido una
sustancia orgánica volátil que se libera de las resinas
utilizadas en los materiales de construcción.
TEMA 16
QUÍMICA
4
4 SAN MARCOS REGULAR 2014 – II

IoLoGía
TEma 16
orIGEn dE La vIda – EvoLUcIón
DESARROLLO DEL TEMA
I. IMPORTANCIA BIOLÓGICA
• Explica la secuencia probable del origen de la vida.
• Relaciona la evolución geológica con la biológica a
través de la evolución química.
II. OBJETIVO
Explicar como se formo probablemente la vida a través
de las diferentes teorías en el tiempo.
III. ESCUELAS
A. Idealista
Estas formas de pensamiento basadas en mitos y
cuentos que el hombre primitivo creaba para poder
explicar los fenómenos que ocurrían, no hicieron
más que desviar el desarrollo de la ciencia objetiva.
Cuando los dogmáticos religiosos llevaron el desarrollo
de la ciencia a los monasterios y conventos, se evita
su difusión y retarda su desarrollo. Esta etapa es
conocida como del oscurantismo científico.
Históricamente podemos distinguir la Teoría de la
generación espontánea, teoría biogénesis, teoría de
la eternidad de la vida, teoría cosmozoica, y la teoría
de la panspermia.
B. Materialista
La concepción materialista tiene sus orígenes en
las primeras formaciones sociales. En occidente
fueron los griegos quienes de modo más sistemático
establecieron los primeros postulados materialistas
acerca de los seres vivos. Los conocimientos
acumulados han enriquecido progresivamente esos
puntos de vista trayendo consigo la concepción
científica.
Distinguimos esencialmente la Teoría de la generación
espontánea de los materialistas griegos, la Teoría de la
generación espontánea del materialismo mecanicista
y la Teoría científica materialista dialéctica.
IV. TEORíAS
A. Generación espontánea (Aristóteles 360 a.C.)
Sostuvo que para el surgimiento de la vida era
necesaria la interacción de la materia inerte con una
fuerza supernatural capaz de dar vida a lo que no lo
tenía y que el llamó Entelequia.
Los puntos de vista aristotélicos se afianzaron y
permanecieron casi indiscutibles durante cerca de dos
mil años, conjuntamente con la filosofía platónica. El
cristianismo una vez establecido como religión oficial
en el Imperio Romano, incorporó el pensamiento
aristotélico y platónico a su doctrina, convirtiéndolos
en dogmas teológicos. De este modo la idea de la
generación espontánea se formalizó en el vitalismo,
según el cual, para que la vida surgiera era necesaria
la presencia de una fuerza vital, o de un soplo divino,
o de un espíritu capaz de animar la materia inerte. La
entelequia se convirtió asimismo en el alma.
B. Biogénesis
Francisco Redi, un médico de origen toscano,
realizó un experimento cuestionando la generación
espontánea. Logró demostrar que los gusanos que
infestaban la carne y los que, aparentemente, surgían
espontáneamente; eran larvas que provenían de
los huevecillos depositados por las moscas sobre
la superficie de la carne colocada a la intemperie.
Colocando trozos de carne en recipientes tapados con
una tela fina evitó que la carne se llene de gusanos.
1
san marcos rEGULar 2014 – II 1
cUrso TEma 16

origen de la vida – evolución
B.1. Needham versus Spallanzani
La confección de microscopios trasladó el
problema de la generación espontánea al mundo
microscópico. En Inglaterra John Needham intentó
probar que surgían microorganismos animados por
la fuerza vital presente en la materia orgánica en
descomposición constituida por caldos nutritivos.
Frente a ello Lázaro Spallanzani demostró que
los resultados experimentales de Néedham sólo
eran consecuencia de una contaminación previa
con microorganismos y no de la generación
espontánea postulada por los vitalistas.
B.2. Pasteur: reafirmo la teoría de la biogénesis
Los últimos esfuerzos de los vitalistas a favor
de la generación espontánea los realizó Pouchet
mediante una serie de experimentos, con
microorganismos. Fue Louis Pasteur, en 1861,
el que demostró finalmente la incongruencia de
la generación espontánea, así como la falsedad
de los resultados experimentales anteriormente
obtenidos.
Pasteur demostró que no ocurría desarrollo de
microorganismos si previamente no había contacto
con el aire, de donde provenían los gérmenes
que crecían sobre los medios de cultivo utilizados
en los experimentos. Utilizó en sus experimentos
los denominados matraces en cuello de cisne en
los que colocó líquidos nutritivos estériles, que
permanecieron exentos de contaminación, a pesar
de su contacto con el aire a través del cuello de cisne.
El planteamiento de que la vida sólo puede surgir
de otra forma de vida preexistente, es denominado
también Teoría de la Biogénesis.
C. Cosmozoica (Ritcher, Liebig y Von Helmholtz)
Fue planteada por un grupo de científicos alemanes:
H. Ritcher, J. Liebig y H. von Helmholtz. Según ellos
la vida llegó a la Tierra junto con fragmentos de
meteoritos. Se basa en el principio de la eternidad
de la vida y la concepción del origen de la Tierra,
a partir de porciones de cuerpos estelares.
Según Ritcher en el espacio interestelar hay
cuerpos cósmicos en constante movimiento,
de estos cuerpos cósmicos se desprenden
fragmentos con esporas, gérmenes de vida,
que al llegar a la Tierra hallaron condiciones
favorables para su desarrollo.
J. Liebig propuso que en el espacio hay nebulosas,
cuerpos celestes, que son verdaderos santuarios
de gérmenes eternos y que como consecuencia de
su movimiento, se liberan gérmenes durmientes
que viajan por el cosmos y llegaron a la Tierra.
En 1874 H. von Helmholtz, en su libro Handbuch
der Theoretis chen Physik Braunchweig, planteó
que la Tierra recibe constantemente meteoritos
en cuyo interior se encuentran gérmenes que
pueden ingresar a la Tierra sin ser destruidos por
la atmósfera.
La evidencia que actualmente se considera como
argumento es el meteorito catalogado como
ALH84001, que fue lanzado al espacio hace 16
millones de años a partir del planeta Marte y que
contiene diminutos bastoncillos de forma similar a
bacterias fosilizadas. La antiprueba es el proceso
de calcinación al que es sometido el meteorito
cuando llega a la Tierra.
Con esto Pasteur concluyó que no ocurría
generación de microorganismos, si previamente
no había formas de vida capaces de reproducirse.
D. Panspermia (Svante Arrhenius, 1903)
En 1903 Svante Arrhenius, en su libro La
creación de los mundos, postuló que la vida es
eterna en el Universo y que se transmite de un
planeta a otro en forma de diminutas esporas que
son impulsadas por la presión de la luz o de la
radiación.
Según Arrhenius en el espacio hay cuerpos
celestes, planetas con condiciones particulares
que les permiten ser centros de vida. Planetas
habitados por microorganismos, los cuales son
impulsados fuera de su campo gravitacional por
violentas erupciones volcánicas que superan los
100 kilómetros. Estas erupciones generarían colas
lanzadoras de esporas al espacio.
Como antiprueba se toma en cuenta la temperatura
interplanetaria y la falta de oxígeno, así como la
calcinación de cualquier cuerpo al atravesar la
TEma 16
bIoLoGía
2
2 san marcos rEGULar 2014 – II

origen de la vida – evolución
cubierta atmosférica de la Tierra, la imposibilidad de la supervivencia de organismos en el espacio estelar. Los
viajes espaciales han demostrado que cualquier cuerpo al entrar en contacto con la fuerza gravitacional terrestre
alcanza temperaturas muy grandes, que hacen imposible la supervivencia de cualquier forma de vida.
E. Quimiosintetica (Alexander I. Oparin, 1921)
En 1921, el bioquímico soviético Alexander I. Oparin, presentó en Moscú un trabajo concluyendo que los primeros
compuestos orgánicos se habían formado en condiciones abióticas en la superficie del planeta, previamente a la
existencia de seres vivos, los que a su vez se formaron a partir de las moléculas que les precedieron. Los postulados
de la teoría de Oparin se publicaron posteriormente en 1924 en el libro El origen de la vida.
Oparin planteó que en la Tierra primitiva carente de oxígeno y rica en gases como metano y amoníaco, se produjeron
reacciones químicas que dieron origen a moléculas orgánicas pequeñas, éstas se unieron formando macromoléculas
y posteriormente originaron los primeros organismos, todo esto bajo la consideración de un proceso lento que
duró muchos millones de años. La energía que favoreció las reacciones químicas fue proporcionada por la radiación
solar, así como los fenómenos propios de la Tierra en proceso de enfriamiento.
Algunos años más tarde, en 1928, el inglés John
B. S. Haldane publicó un corto trabajo en el que planteó los mismos criterios y conclusiones de Oparin respecto a
la evolución terrestre, con algunas pequeñas variaciones respecto al tipo de gases y las condiciones de la Tierra
primitiva.
TORMENTA ELÉCTRICA
ATMÓSFERA PRIMITIVA
(Reductora: H + )
H 2 O
CO2
CH4
NH 4
+
LUZ (E°)
(Rayo)
R E A C C I O N A R O N
T
E
O
R
LUZ
Í
A
VOLCÁN
Q
U
O C É A N O
AUTORREPLICA
SELECCIÓN NATURAL
MOLÉCULAS
ORGÁNICAS
MOLÉCULAS
ORGÁNICAS
COMPLEJAS
CÉLULA PRIMITIVA
(Procariótica y heterotrófica)
EVOLUCIÓN
(cambio)
COACERVADO
PROTOBIONTE
Í
M
I
C
A
E
V
O
L
U
CI
Ó
N
TODOS LOS SERES VIVOS
san marcos rEGULar 2014 – II 3
bIoLoGía TEma 16
3

origen de la vida – evolución
Actualmente la teoría de Oparin-Haldane ha sido
modificada a la luz de las investigaciones realizadas,
sin embargo lo esencial de la teoría se mantiene.
El gran mérito de Oparin fue el de utilizar
el conocimiento humano y sistematizarlo,
estableciendo así una Teoría científica, al margen
del idealismo y del subjetivismo tan abundantes
aún en el mundo científico.
Pruebas de la teoría quimiosintetica
(Stanley Miller - Harold Urey, 1953)
Influenciado por la teoría de Oparin-Haldane,
en 1953 Stanley Miller realizó una de las
comprobaciones experimentales más interesantes.
Simulando en el laboratorio las condiciones de la
tierra primitiva, llegó a la conclusión que es posible
la formación de compuestos orgánicos biológicos
a partir de moléculas inorgánicas.
Este fue el inicio formal de la acumulación de
evidencias científicas, ubicando al origen de la
vida en el contexto de la evolución del universo.
Miller, bajo la dirección de Harold C. Urey, ideó
un aparato donde se simularon las condiciones
atmosféricas y de temperatura de la tierra
primitiva.
Se colocó en un recipiente una mezcla de
hidrógeno, metano y amoníaco a los que le llegaba
constantemente vapor de agua, los choques
eléctricos eran producidos por electrodos.
Al cabo de algunas horas se observó un
enturbiamiento progresivo del agua y, después de
algunos días, el análisis demostró la presencia de
aminoácidos, ácidos grasos y otros compuestos
orgánicos componentes de los seres vivos.
EVOLUCIÓN
I. PRUEBAS DE LA EVOLUCIÓN
Se ha estimado la edad de la Tierra en 5000 millones
de años aproximadamente y no ha tenido siempre la
forma y estructura que tiene ahora. Existen sobrados
que nos hablan de la sucesión de eras y periodos, de los
ciclos erosivos y de orogénesis subsiguientes, etc., que
evidencian claramente la existencia de una evolución
geológica.
Los seres vivos no han escapado a esta tendencia del
universo hacia la evolución y estos hechos quedan
plasmados en distintas ramas de las ciencias de la
naturaleza (biología y geología).
A. Morfológica
La anatomía comparada tanto vegetal como animal,
nos muestra como los seres presentan entre sí ciertas
semejanzas cuando pertenecen a grupos taxonómicos
próximos. En las semejanzas pueden diferenciarse
las estructuras en homólogas y análogas, que son
pruebas evidentes de la evolución.
A.1. Estructuras homólogas (evolución
divergente)
Dos estructuras se llaman homólogas cuando
presentan un mismo origen y pueden presentar
función distinta. Los organismos presentan tal
tipo de estructura cuando poseen un antecesor
común. Por ejemplo en los animales es típico
la extremidad pentadáctila anterior, en los
vertebrados que pueden convertirse en brazo,
pata, ala o aleta, como adaptación para coger,
correr, volar o nadar.
HOMOLOGÍAS ESTRUCTURALES DE LOS
HUESOS DE LAS EXTREMEDIDADES
Evolución divergente
Extremidad
pentadactila
anterior (vertebrado)
Humano
(agarrar)
Radio
Carpo
Ave (volar) 2 3
2
Caballo
(correr)
2
1
Delfín
(nadar)
1
3
3
2
2
Húmero
Cubito
Metacarpo
Falange
2
1
1
Murciélago
(volar)
1
3
Perro
(correr)
3
3
Topo
(cavar)
A.2. Estructuras análogas (Evolución
convergentes)
Las estructuras se llaman análogas cuando
cumplen idéntica función pero son de origen
diferente. El ejemplo típico pero son de origen
diferente. El ejemplo típico de estas estructuras
es el ala del insecto y el ala del ave, en donde
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origen de la vida – evolución
esta estructura que llamamos ala es una adaptación para el transporte en el medio aéreo, pero se parte de
materiales y de órganos de naturaleza y de origen de naturaleza y de origen diferente.
Nota:
Los órganos homólogos tienen la misma estructura pero diferente función mientras que los órganos
análogos tienen diferente estructura pero realizan la misma función.
ORIGEN
FUNCIÓN
Evolución Convergente
ALA DE
AVE
VOLAR
ALA DE
INSECTO
ESTRUCTURAS ANÁLOGAS
A.3. Estructuras rudimentarias (órganos vestigiales)
En diferentes animales y vegetales actuales es factible encontrar estructuras que no realizan ninguna función.
Se cree que fueron funcionales en algún organismo ancestral. En el cuerpo humano existen muchos órganos o
estructuras vestigiales como la apéndice yermiforme, el coxis, el molar del juicio, el vello corporal, los músculos
que mueven la oreja y nariz, las mamas en el varón, etc.
Membrana nictitante
Muela de juicio
Músculos de la nariz
y del oído
Vello corporal
Pezón en
el varón
Segmentación
del músculo
abdominal
Apéndice
Vértebras
coccígeas
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origen de la vida – evolución
B. Embriológicas (Ontogenia)
La comparación de los embriones de diferentes vertebrados desde el pez hasta el hombre, muestra una enorme
semejanza en las primeras estadías embriológicas, que poco a poco va perdiéndose para conocerse en ellos lentamente
los caracteres propios de la clase, luego de la familia y finalmente los del género y especie. Por ejemplo los tipos
de riñón y la serie que establece en las modificaciones en el número de cámaras del corazón y arcos aórticos en los
vertebrados, la cual queda plasmado en las etapas del desarrollo embriológico de cada uno de sus componentes.
n
n
Huevo o cigote
Mórula
(32 células)
Blastocele
Blástula
Arquenterón
Gástrula
Pez Salamandra Tortuga Pollo Hombre
C. Paleontológica
La paleontología aporta a la evolución los hechos más directos y concluyentes. Los fósiles se hallan en las rocas
sedimentarias, las cuales se sitúan en capas o estructuras que representan diferentes periodos en la evolución geológica.
Los estratos se superponen en el orden lógico, desde el más antiguo, que ocupa la parte superior, a más moderno que
sitúa en la parte inferior. La mayoría de estratos presentan un tipo de fósiles que sirve para caracterizar.
De esta manera se comprueba como las formas de vida más primitivas se hallan en las rocas más antiguas, y como en
toda sucesión de estratos existe siempre una ordenación de organismos fósiles, de los más simples a los más complejos.
Por ejemplo los peces son los primeros en aparecer en el silúrico y devónico: los anfibios, en el carbonífero; los reptiles,
en la era secundaria; las aves y los mamíferos, en la era terciaria; y el hombre, en el cuaternario.
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origen de la vida – evolución
Son las pruebas más directas de la evolución; se trata de la presencia de fósiles.
C.1. Preservados
Fósil cuya estructura no se ha modificado sino que se conservan extraordinariamente bien, al ser embebidos en
fango, brea, ámbar o hielo. Los restos de algunos mamuts lanudos, congelados en hielo de Siberia por más de
39000 años, se conservaron tan íntegramente que al ser hallados, la carne aún podía comerse.
C.2. Moldes
Son impresiones que se forman cuando el cuerpo es atrapado por sedimentos, siendo desintegrado después. Estos
sedimentos se endurecen formándose el molde del cuerpo del animal. Se han descubierto sílice y el carbono de
calcio. Existen bosques con tallos de árboles y músculos de tiburón como ejemplo de petrificaciones existentes.
C.3. Restos anatómicos
Los fósiles vertebrados más comunes son porciones del esqueleto, mediante el estudio cuidadoso de los restos
fósiles de un animal. Los paleontólogos reconstruyen el aspecto en vida de un animal. Se encontraron también
dientes de caballos, elefantes y antropoides que se conservaron por estar impregnados con arena y arcilla.
C.4. Huellas
Impresiones dejadas por las extremidades anteriores o posteriores de vertebrados terrestres primitivos en suelos blandos
arcillosos que actualmente han endurecido y convertido en rocas. Se han encontrado huellas de dinosaurios, adultos y de
sus crías, huellas de caballos y mamuts.
Gorila africano
Fósil de trilobites del
periodo ordovicico
Fósil de trilobites del
periodo ordovicico
D. Fisiológicas y bioquímicas
Se observa muchos fenómenos de índole fisiológico o bioquímico en los seres vivos, los cuales muestran de forma
indeleble el paso de la evolución. Varios de ellos relacionan entre sí a los organismos vegetales y animales, como la
presencia de vías comunes del metabolismo, la universalidad del ATP, fosforilación oxidativa etc. Juntamente con estos
hechos, existen otros que se refieren exclusiva-mente en cada reino. En los vegetales: pueden citarse como ejemplos
especiales a la uniformidad en el proceso fotosintético en todas las plantas verdes, que muestran la presencia de un
antecesor común.
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origen de la vida – evolución
PRUEBA BIOQUÍMICA
ATP
(moneda energética
celular universal)
ATP
ATP
PRUEBA FISIOLÓGICA
Fotosíntesis
Fotosíntesis
Fotosíntesis
II. TEORíAS DE LA EVOLUCIÓN
A. Teoría de la herencia de caracteres adquiridos (Jean B. Lamarck)
a. Lamarck, visualizó la evolución en una sola dirección, desde los animales más simples hasta los más complejos.
b. Según esta teoría, un organismo puede cambiar ciertas características corporales durante su periodo de vida,
características adquiridas.
c. Lamarck llegó a afirmar que los órganos adquiridos eran un mecanismo de adaptación al medio ambiente y su
tamaño es proporcional a su grado de “uso y desuso”
d. También se creía que estas características adquiridas se transmitía de una generación a otra (eran heredables).
1. Esquema de las jirafas por alcanzar las hojas de
los árboles hace crecer el cuello.
2
2. Los hijos nacen ya con el cuello más largo y
siguen esforzándose por coger las hojas.
3. La siguiente generación tiene el cuello aún más
largo.
3
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origen de la vida – evolución
B. Teoría de la selección natural (Charles Darwin)
a. Darwin dedujo que en los organismos existe una lucha por la existencia.
b. Determinó que en las poblaciones, los organismos tienen variaciones que pueden ser heredadas.
c. Las variaciones que presenta el organismo, tienen mejor oportunidad para sobrevivir, por lo tanto dejan más
descendientes. Los más aptos sobreviven y se reproducen “selección natural”.
d. La evolución es una interacción entre el medio ambiente y los organismos.
1
2
1. El cuello es más largo en unas jirafas que en otras.
Las jirafas de cuello alcanzan mejor el alimento y es
más probable que se reproduzcan.
2. Los hijos de las jirafas de cuello largo heredan este
carácter de sus padres
3. Con el tiempo, las jirafas de cuello corto han sido
eliminadas a favor de las de cuello largo.
3
C. Teoría de la mutación (Hugo de Vries)
Sostiene:
a. Que las especies dan “grandes saltos” evolutivos (grandes mutaciones) de una generación a otra.
como para ser
b. Estos grandes saltos producían descendientes lo suficientemente distintos a sus progenitores
considerados nuevas especies.
(Especie original)
Saltos Evolutivos
MUTACIONES
(Especie nueva)
La selección natural se fundamenta en la lucha de los seres vivos en la pugna por la supervivencia.
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origen de la vida – evolución
D. Teoría Neodarwinismo (Theodosius Dobzhansky)
Se fundamenta en el principio de selección natural
como causa de evolución, pero diferente en dos
aspectos fundamentales:
a. Rechaza al principio Lamarckiano de la herencia
de los caracteres adquiridos.
b. Admite que las variaciones sobre las que actúa
la selección natural se heredan según las leyes
de Mendel.
III. FUERZAS ELEMENTALES DE LA EVO-
LUCIÓN
A. La Mutación
Las mutaciones son cambios que ocurren en el
genotipo y son heredables. El material genético de
las especies no es constante, es decir, está sujeto
a cambios y modificaciones que pueden o no ser
reparados. Estos cambios se producen al azar y
donde el medio ambiente puede incrementar el
número de mutaciones, por ejemplo en el caso
de la influencia de la radiación. Las mutaciones
son consideradas la materia prima de los cambios
evolutivos y sobre estas variaciones puede actuar el
proceso de selección, que determina la aparición o
no de la nueva característica de la especie.
A.1. Mutaciones génicas
Son variaciones en la información génica.
Se producen cuando ocurren errores en la
incorporación de una o varias bases nitrogenadas.
A.2. Mutaciones cromosómicas
Son errores que afectan el número o la estructura
de los cromosomas. Se dan de manera espontánea
o inducidas por agentes externos como los
rayos X o el envejecimiento celular. Entre las
más frecuentes está la pérdida de una parte de
cromosoma, la duplicación de algún segmento
del cromosoma, la inversión de un fragmento del
cromosoma, o la translocación de un pedazo o de
todo el cromosoma.
Las mutaciones individuales sólo adquieren
valor cuando se combinan con otros genes y se
manifiestan en los descendientes a través del
entrecruzamiento.
B. La deriva genética
La deriva génica es el cambio en el reservorio
génico debido a sucesos al azar generalmente
a poblaciones pequeñas. Si la población tiene
pocos individuos portadores de un gen, éste
puede desaparecer. Por el contrario, un gen
que se presenta en una frecuencia pequeña
puede pasar a ser frecuente en la población.
La deriva génica se presenta cuando muere un
gran número de individuos, lo que ocasiona la
pérdida de genes, y los individuos que sobreviven
obligados a reproducirse entre ellos. Al ser
pequeños el número de individuos la posibilidad
de homocigotes es mayor y la variabilidad génica
menor, lo que origina la aparición de mutaciones
que se fijan en la población y que pueden producir
enfermedades, defectos o fenómenos perjudiciales
para la especie.
C. La migración genética: el flujo génico entre
especies
La migración es la salida (emigración) o entrada
(inmigración) de organismos a una población. Con
el movimiento de individuos de una población se
produce un flujo de genes. La inmigración puede
introducir nuevos genes a la población, permitiendo
nuevas recombinaciones con posibles cambios en
el fenotipo sobre el cual puede actuar la selección.
Por ejemplo, hay poblaciones donde sólo existen
los genes para la presencia del grupo sanguíneo
de tipo A; la migración de una población con
grupo sanguíneo B modificarse la población nativa
introduciéndolo el nuevo gen.
IV. CRONOLOGíA DE LA EVOLUCIÓN DE
LOS SERES VIVOS
La aparición de los seres vivos en los distintos periodos
geológicos indica que a lo largo del tiempo los organismos
aumentan su diversidad. En el cuadro se pueden apreciar
las principales líneas evolutivas que han seguido los seres
vivos a lo largo de los tiempos geológicos hasta dar
lugar a las formas actuales. La descripción de las etapas
evolutivas de la filogenia. La disposición de estas etapas
se fundamenta en los hallazgos paleontológicos y en las
interpretaciones que existen sobre los mismos.
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origen de la vida – evolución
Neozoica(cuaternaria)
hasta 2x10 6
Holoceno
< 10 000 años Hombre actual
Pleistoceno
Glaciaciones
10 000 años - 2x10 6
Plioceno
2-6x10 6
Grandes carnívoros. Homínidos
Cenozoica (tercearia) Mioceno
6 Abundancia de herbívoros
6-23x10
2-65x10 6
Oligoceno Grandes mamíferos corredores
23-34x10
6
Mesozoica (secundaria)
65-225x10
Eoceno
32-52x10
Paleoceno
52-65x10
Cretácico
65-135x10
Jurásico
135-190x10
Triásico
190-225x10
Pérmico
225x280x10
Carbonífero
65x10
Tipos de mamíferos modernos
Aparición de mamíferos placentarios
Primeras plantas con ?ores
Culminación de dinosaurios y
ammonites, seguida de extinción
Primeras aves y mamíferos
Abundancia de dinosaurios y amonites
Primeros dinosaurios
Abundancia de plantas de tipo
cicadáceas y coníferas
Extinción de trilobites y muchos tipos
de animales marinos.
Primeros reptiles
Abundancia de helechos y coníferas
Abundan seláceos y an?bios
Paleozoica (primaria)
225-570x10
Arcaica
570-4600x10
Devónico
345-395x10
Silúrico
395-440x10
Ordovícico
440-500x10
Cámbrico
500-570x10
Precámbrico
570-4700x10
Primeros an?bios y ammonites
Abundancia de peces
Primeros y animales terrestres
Primeras plantas y peces
Predominio de los invertebrados
Primeros seres marinos
Predominio de trilobites seguido de
extinción de 2/3 de las familias
Microfósiles
Bacterias y cianofíceas
4600x10
Origen de la tierra
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origen de la vida – evolución
COACERVADOS
CÉLULAS PRIMITIVAS
1. Algas actuales 2. Gimnospermas 3. Angiospermas
4. Mamíferos 5. Aves 6. Hongos
7. Reptiles 8. Helechos 9. Musgos
10. Anélidos 11. Artrópodos 12. Anfibios
13. Moluscos 14. Peces
V. LA EVOLUCIÓN DE LOS SERES MULTI-
CELULARES
A. La evolución de las algas y los hongos
Existen muy pocos fósiles de algas, por eso, casi
todo lo que sabemos se basa en el estudio de los
ejemplares que existen en la actualidad. Se piensa
que las algas provienen de unos antepasados
unicelulares que podían realizar la fotosíntesis.
A partir de éstos se formarían algas multicelulares.
Hay evidencias fósiles de que en la Era Primaria vivían
ya algas rojas semejantes a algunas actuales, y
en la Era Secundaria existían las algas verdes. En
cambios los hongos deben de provenir de organismos
celulares heterótrofos. Los hongos más antiguos son
las levaduras que existían ya antes de la Era Primaria.
En el periodo Jurásico (Era Secundaria) existían ya
los hongos que forman setas. Mientras que las algas
no abandonaron nunca el medio acuático, los hongos
conquistaron el medio terrestre.
B. La evolución de las plantas
Se cree que todas las plantas que existen en la
actualidad tienen como antepasado común a un grupo
de algas. Este grupo evolucionó, dando lugar a unas
plantas muy primitivas que conquistaron el medio
terrestre. A diferencia de las algas, estas primeras
plantas tenían tejidos que les permitían vivir fuera
del agua: tejidos epidérmicos que los protegían de
la desecación, tejidos de sostén para mantenerse
erguidas, tejidos conductores y un sistema de raíces
que le permitía no sólo fijarse al suelo, sino también
absorber agua y sales minerales del mismo. Los
registros fósiles de plantas antiguas datan de hace
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12 san marcos rEGULar 2014 – II

origen de la vida – evolución
más de 460 millones de años (periodo Ordovícico –
Era Primaria) que serían esporas de plantas hepáticas
y muy similares a los musgos. Otra de las primeras
plantas fue la Rhynia, del periodo Silúrico – Era
Primaria. Ésta era una planta muy pequeña, sin hojas,
bastante parecida a un alga. En la actualidad existen
unas plantas muy semejantes, que se consideran sus
descendientes: son los Psilotum, que pertenecen al
grupo de los helechos. Se piensa que los helechos
actuales provienen todos las primeras plantas. A
partir de los helechos se formaron las gimnospermas.
Algunas de las primeras gimnospermas eran muy
parecidas a las actuales Cycas, que son similares a
los helechos.
Las angiospermas o plantas con flores aparecieron en
la Era Secundaria por la evolución de algunos grupos
de gimnospermas. Algunas angiospermas primitivas
se parecían a las magnolias actuales: tenían unas
hojas muy grandes y brillantes, y flores primitivas con
pétalos grandes y vistosos.
C. La evolución de los animales
Los animales descienden de antepasados
unicelulares similares a los protozoos, con
alimentación heterótrofa. De todos los grupos de
animales que existen en la actualidad, los que se
consideran más primitivos son las esponjas y los
cnidarios.
El origen de los grupos actuales de invertebrados es
aún bastante oscuro. Se sabe que los anélidos de
gusanos segmentados, los antrópodos y los moluscos
descienden de unos antepasados comunes, que
probablemente serían gusanos muy primitivos. El
origen de los equinodermos es aún muy discutido.
Mucho más conocida es la evolución de los vertebrados.
Según el registro fósil, los vertebrados más antiguos
son los peces. Se sabe que a partir de los grupos
primitivos de peces, se formaron los grupos actuales
de peces óseos y peces cartilaginosos. Los anfibios
surgieron también a partir de algún grupo de peces
que conquistaron al medio terrestre. Los primeros
anfibios son los antepasados comunes de los anfibios
actuales y de los reptiles. Los primeros reptiles eran
muy semejantes a esos anfibios primitivos.
El grupo de los reptiles se diversificó mucho en la
Era Secundaria y dio lugar a numerosas formas que
se han extinguido, como los dinosaurios. A pesar de
esa gran expansión, en la actualidad los reptiles son
muy escasos, por lo que se dice que son un grupo
de regresión.
A partir de algunos reptiles se formaron los grupos de
vertebrados que en la actualidad son los dominantes:
las aves y los mamíferos.
VI. LOS ANTEPASADOS FÓSILES DEL
HOMBRE
El hombre y otros primates tienen un antepasado común
que fue cambiando durante millones de años. Los restos
fósiles encontrados en muchos lugares han permitido
conocer algunos antepasados de los seres humanos.
De ellos, los más importantes son el Australopitheco, el
Homo habilis, el Homo erectus, el Hombre de Neanderthal
y el Homo sapiens u hombre actual.
A. Australopithecus
Son el grupo de hominidos más primitivo que se
conoce. Sus restos fósiles han sido encontrados en
África. Los más antiguos datan de hace 3 millones
de años, y los más recientes, se hacen un millón de
años. Su capacidad cerebral oscilaba entre 400 y 500
cm 3 , su estatura era de 1.30 a 1.50 m y pesaban 50
kg como máximo. Sus mandíbulas eran prominentes y
su frente estrecha; su dentadura era parecida a la de
los simios actuales, con caninos e incisivos bastante
grandes. La constitución de su pelvis indica que tenían
locomoción bípeda.
Lo más antiguos habitaban en bosques y, poco a poco,
fueron colonizando las praderas. Se alimentaban de
frutos y verduras que recolectaban, y de animales
que cazaban o encontraban muertos.
Radiación adaptativa
B. Homo Habilis
Sus fósiles fueron encontramos en África. Datan
de hace 3 millones de años a hace 1,4 millones de
años, por tanto coexistieron con los Australopithecos.
Tenían una capacidad craneana mayor de 670 a 770
cm 3 ; su frente era más ancha y sus dientes menos
fuertes. Eran bípedos y de constitución débil; vivían
en praderas y se alimentaban de frutos y verduras
y de los animales que cazaban. Se cree que vivían
en núcleos familiares y levantaban campamentos de
chozas. Tenían más capacidad manipulativa, lo que
les permitía elaborar herramientas.
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origen de la vida – evolución
C. Homo Erectus
Sus fósiles han sido encontrados en África, Asia y Europa, lo que indica que tuvieron una amplia distribución geográfica. Vivieron en el periodo que
va desde hace 1 600 000 años hasta hace tan solo 300 mil o 100 mil años. Tenían una capacidad craneana de 800 a 1 200 cm 3 , median hasta
1,70 m y eran muy fuertes; estaban perfectamente adaptados a la postura erguida y a la locomoción bípeda. Vivían en las
praderas cálidas, aunque también se adaptaron a climas fríos. Se alimentaban de frutos y verduras y de los animales que cazaban.
Aprendieron a producir y manipular fuego: construían chozas de diversos tipos y elaborar complejas herramientas de piedra,
como las llamadas hachas bifaciales.
D. Hombre de Neanderthal
(Homo sapiens neanderthalensis). Los fósiles más antiguos datan de hace 100 000 años y los más recientes, de hace
30 000 años. Todos los restos han sido encontrados en Europa, y en oriente Medio.
Eran muy semejantes a los hombres actuales, su capacidad craneana era robusta y su aspecto simiesco. Los hombres
de Neanderthal se adaptaron a vivir en condiciones adversas, pues en su época el clima de Europa era muy frío. Se
alimentaban de frutos y de caza, conocían y usaban el fuego y habitaban en cuevas y refugios bajo las rocas fabricaban
armas y herramientas bastante elaboradas. Fueron los primeros homínidos que enterraron a sus muertos.
E. Hombre actual
(Homo sapiens sapiens). Las primeras personas iguales a nosotros vivieron hace 35 000 años en Europa, África y Asia
menor. Estos hombres eran idénticos a las personas actuales: su capacidad craneana era de 1,500 cm 3 y su estatura de 1,50
a 1,80 m. como hoy. Los Homo sapiens sapiens más antiguos vivieron en lugares fríos y poco a poco se extendieron por
todo el mundo. Desarrollaron la agricultura y la ganadería y fabricaron herramientas y armas muy elaboradas. Realizaron
las primeras manifestaciones artísticas de la humanidad, pinturas rupestres, pequeñas esculturas de hueso y piedra, etc.
AUTOEVALUACIÓN
SIMPLES
1. El término "especiación" se refiere a:
A) Aparición de órganos a partir de células simples.
B) La adaptación de una ser a su medio ambiente.
C) Cambios de un animal en su conducta alimenticia.
D) Hibridación para obtener una especie estéril
E) N.A.
2. Son planeamientos de la teoría evolutiva sintética, excepto:
A) Las frecuencias alélicas varían de una población a otra.
B) Las mutaciones genéticas generan variabilidad.
C) Las especies dan grandes saltos evolutivos por mutación.
D) El "crossing over" es la base de la variabilidad fenotipa.
E) El aislamiento geográfico permite la especiación.
3. No es una fuerza evolutiva:
A) Mutaciones
B) Adaptación
C) Selección natural
D) Migración genética
E) Deriva genética
4. NO es un factor que influye en la densidad poblacional:
A) Emigración
B) Mortalidad
C) Natalidad
D) Inmigración
E) Socialización
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origen de la vida – evolución
MúLTIPLES
5. Son planteamientos de la teoría evolutiva sintética,
excepto:
A) Las frecuencias alélicas varían de un población a otra.
B) El aislamiento geográfico permite la especiación.
C) El Crossing over permite la variabilidad.
D) Las mutaciones generan saltos.
E) Las especies dan grandes saltos evolutivos por
mutación.
6. Señalar V o F según corresponda a cada proposición:
( ) El nicho ecológico es un sitio físico del hábitat.
( ) La materia tiende a concentrarse conforme avanza a
través de una cadena trófica.
( ) Por BIOMASA se entiende el peso total de los
organismos que viven en un ecosistema.
( ) Hugo de Vries plantea que en las especies se dan
grandes mutaciones de una generación en otra.
A) FFVV
B) FVVV
C) VFVV
D) FVFF
E) VVVF
7. Un órgano con poca o ninguna función, y de menor
tamaño que el de un órgano similar, funcionalmente
equivalente o en organismo relacionados se llama:
A) Órgano homólogo
B) Órgano vestigial
C) Órgano atrofiado
D) Órgano análogo
E) Órgano regenerativo
COMPLEJAS
8. La teoría de Jean Baptist Lamark se basa en proposiciones
como:
A) Ley del uso y de la falta de uso de las partes.
B) Supervivencia del más apto.
C) Las características adquiridas se heredan a los
descendientes.
D) Las especies dan "grandes saltos" evolutivos.
E) A y C.
9. Sobre el origen de las especies por "Selección Natural"
sostenida por Darwin, se puede afirmar lo siguiente,
excepto:
A) Los individuos más grandes de una especie son los
que sobreviven con mayor posibilidad.
B) Los individuos pequeños siempre tienden a
desaparecer.
C) Los individuos nacidos son mayores de los que llegan
a la edad reproductiva.
D) Existen diferencias entre los individuos de una misma
especie.
E) A y B.
10. Mediante el proceso de la evolución se logra, excepto.
A) Una variedad de formas de vida
B) Individuos mejores adaptados en el ambiente
C) Individuos cada vez más grandes
D) generaciones más resistentes que las anteriores
E) Variaciones estructurales externas de internas de un
individuo
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15

azonamIEnto matEmátIco
tEma 16
probLEmas sobrE
porcEntaJEs
DESARROLLO DEL TEMA
I. regla del tanto por cIento
Nos indica una relación entre una parte y la unidad que
ha sido dividida en 100 partes iguales. Es decir:
1
100
1
100
Unidad
1
100
....
100 partes iguales
1
100
1
100
Luego:
1 parte < > 1/100 = 1% (uno por ciento)
2 partes < > 2/100 = 2 % (dos por ciento)
Observamos que:
1 a
1% = → a% =
100 100
100
100% = = 1
100
Observación:
• El 7 por 40 < > 7/40
• El 20 por 45 < > 20/45
Tanto por ciento de tanto por ciento
• El 20% del 10% de 40% es:
20/100 . 10/100 . 40% = 8/10% = 0,8%
• El 50% del 30% de 60% es:
50/100 . 30/100 . 60% = 9%
Operaciones con porcentaje
• 20% A + 30% A = 50% A
• 70% B – 30% B = 40% B
• m + 10%m = 100%m + 10%m = 110%m
1
• N – 30% N = 70% N
• 2% + 10% A = 210% A
• 5% menos = 95%
A. Relación par de todo
Ejemplo:
¿Qué tanto por ciento de 40 es 12?
x/100 x 40 = 12
x = 30%
¿Que porcentaje es 25 de 80%
x/100 x 80 = 25
x = 31.25%
B. Descuentos e incrementos sucesivos
Principio: todo lo que tiene en un determinado
momento constituye 100%.
Tengo
Constituye
Hoy S/. 100 100%
Mañana S/. 150 100%
Ejemplo 1:
Dos descuentos sucesivos del 20% y 40%, ¿a qué
único descuento equivale?
Resolución:
Cantidad inicial = x (es mi 100%)
Tanto por ciento de una cantidad
• El 20% de 30 = 20/100 . 30 = 6
• El 60% del 10% de 500 es:
= 60/100 . 10/100 . 500 = 30
Descuento equivalente = 52%
1
san marcos rEGULar 2014 – II 1 raz. matEmátIco tEma 16

problemas sobre PORCENTAJES
C. Variaciones porcentuales
Principio: Todo lo que es constante se elimina todo
número que multiplica o divide o bien una variable
que por dato no modifica su valor es constante.
Ejemplo 1:
Si x aumenta 20%. ¿Qué ocurre con x 2 ?
x x 2
Inicio 100% 100%
Final 120%
x aumenta 44%
J 20
K
L100
J
2
K
L
144
100
× 100% = 144%
proBleMaS reSUeltoS
Problema 1
Un descuento del 10% seguido de un
aumento del 10%. ¿A qué descuento o
incremento equivale?
Resolución:
Cantidad inicial: 100%
90 110
queda: x x100% = 99%
100 100
Ha habido un descuento equivalente
a 1%
Problema 2
Si la base de un triángulo aumenta 20%
y la altura disminuye 20%, ¿qué ocurre
con el área?
Resolución:
Área triángulo = b × h (2 es constante,
2
se elimina)
Área = b x h
120 80
Área = x x 100% (todo valor
100 100
inicial se considera como 100%)
Área = 96%
El área disminuye 4%
Problema 3
En una reunión los hombres representan
el 40% del total de personas. Si en cierto
momento se encuentran bailando el
30% de las mujeres. ¿Qué porcentaje
de los reunidos no está bailando?
Hombres
Mujeres
=
Total: 100k
Bailan
18k
No bailan
22k
30
(60k) 42 k
100
∴ 64k (100) = 64%
100k
40k
60k
proBleMaS de claSe
eJercItacIÓn
1. ¿Qué tanto por ciento representa
1/11 de los 3/8 de 11 veces la mitad
del cuádruple de 1/3 respecto del
cuadrado de la inversa de 40?
A) 40%
B) 16,6%
C) 16,8%
D) 25%
E) 15,6%
2. Los descuentos sucesivos de 30%,
50%, 20% y 10% de una cantidad
son equivalentes a un descuento
único de:
A) 81,8%
B) 25,2%
C) 74,8%
D) 62,25
E) 72,6%
3. Oliver gana el 50% más que Lucho
y Bruno el 30% de lo que gana
Oliver. ¿Cuántos soles ganan los
tres juntos, si Bruno gana 18 soles?
A) S/. 118
B) S/. 200
C) S/. 154
D) S/. 136
E) S/. 112
4. Edmundo tiene 2000 soles y quiere
tener una entrada anual de 385
soles ganando el 14% en 800 soles,
el 16% en 300%, que porcentaje
debe cobrar por lo restante del
dinero.
A) 15%
B) 40%
C) 25%
D) 60%
E) 50%
5. El 80% de las latas de leche que
hay en una caja, es vendida a
4 personas, dándoles a cada una
la misma cantidad. ¿Qué fracción
del total de latas se le ha vendido
a cada persona?
A) 1/5 B) 2/8
C) 3/5 D) 4/5
E) 2/5
proFUndIZacIÓn
6. Se tiene 20 litros de una mezcla
de agua y sal al 15% de sal. Para
obtener una mezcla al 60% de sal.
¿Qué cantidad de agua se debe
evaporar?
A) 12 L B) 15 L
C) 10 L D) 8 L
E) 13 L
tEma 16
raz. matEmátIco
2
2 san marcos rEGULar 2014 – II

problemas sobre PORCENTAJES
7. Una señora lleva 2000 vasos de
vidrio al mercado y encuentra que
el 10% estaba astillado, y sólo pudo
vender el 60% de los buenos.
¿Cuántos quedaron sin vender?
A) 970 B) 920
C) 720 D) 780
E) 1080
8. En una reunión de jóvenes, el
40% son mujeres. Si el número
de mujeres aumenta en 30% y el
de los hombres en 20%, ¿en qué
porcentaje aumentó el total de los
alumnos?
A) 10% B) 12%
C) 18% D) 24%
E) 20%
9. En una reunión, el 40% son
hombres y el resto son mujeres.
Después ingresan 70 hombres
y salen 20 mujeres, entonces el
número de hombres es el 60% del
nuevo total.
¿Qué porcentaje del nuevo total
de damas son las personas que
ingresaron después?
A) 65% B) 60%
C) 72% D) 75%
E) 70%
10. Se tiene 10 litros de solución
alcohólica al 40% de pureza. Para
obtener una solución al 60% de
pureza.
¿Qué volumen de solución al 70%
de pureza se debe agregar?
A) 10 L B) 18 L
C) 15 L D) 24 L
E) 20 L
SISteMatIZacIÓn
11. Si la longitud de una circunferencia
disminuye 30%, ¿En qué porcentaje
disminuye el área de su círculo?.
A) 64% B) 30%
C) 70% D) 51%
E) 49%
12. De la mesa de un laboratorio se
toma un recipiente que contiene 40
litros de alcohol al 10% y se vierte
todo el contenido en un segundo
recipiente que contenía 10 L de
alcohol al 20%. Si luego se agregó
38 litros de alcohol puro.
¿Qué tanto por ciento de la mezcla
final no es alcohol puro?
A) 48% B) 64%
C) 40% D) 54%
E) 50%
13. Una rueda de caucho tiene un
diámetro exterior de 25 pulgadas
cuando el radio disminuye en un
cuarto de pulgada. Entonces el
número de revoluciones que la
rueda dará en una milla...
A) Se aumenta en 2%.
B) Se aumenta en 20%.
C) Se aumenta en 1%.
D) Se aumenta en 1/2%.
E) Permanece constante.
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