CIENCIAS 16

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
A. Teorema de las tangentes
En todo triángulo oblicuángulo se cumple que la
diferencia de las medidas de dos de sus lados es a
la suma de estas medidas, como la tangente de la
semidiferencia es a la tangente de la semisuma de los
respectivos ángulos opuestos a los lados considerados.
III. DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DEL
SENO
• Trazamos el diámetro CD, entonces: CD = 2R.
• Al unir el punto D con los vértices A y B se obtienen los
triángulos rectángulos CAD y CBD donde se observa:
m]CDB = m]A ∧ m]CDA = m]B
⇒
⇒
⇒
⎛ A – B
Tan
⎞
⎜ ⎟
a– b ⎝ 2
=
⎠
a+ b ⎛ A+
B
Tan
⎞
⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠
⎛B
– C
Tan
⎞
⎜ ⎟
b – c ⎝ 2
=
⎠
b+ c ⎛B+
C
Tan
⎞
⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠
⎛ A – C
Tan
⎞
⎜ ⎟
a– c ⎝ 2
=
⎠
a+ c ⎛ A+
C
Tan
⎞
⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠
B. Teorema de las proyecciones
En todo triángulo oblicuángulo se cumple que la
medida de un lado es igual a la suma de las medidas
de los otros dos lados multiplicados cada uno de ellos
por el coseno del ángulo opuesto al otro.
B
• CBD:
a
a
= SenA ⇒ = 2R
2R
SenA
• CAD:
b
b
= SenB ⇒ = 2R
2R
SenB
• En forma análoga se deduce que
finalmente se puede establecer que:
a b c
= = = 2R
SenA SenB SenC
c
2R
SenC = ;
IV. DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DEL
COSENO
c
a
A
b
C
⇒
⇒
⇒
a = b.CosC + c.CosB
b = a.CosC + c.CosA
c = a.CosB + b.CosA
• Trazamos la altura CH, determinándose los triángulos
rectángulos CHA y CHB.
• CHA: (Resolución de triángulos)
AH = bCosA ∧ CH = bSenA
TEMA 16
TRIGONOMETRÍA
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2 SAN MARCOS REGULAR 2014 – II