CIENCIAS 16

esfera y pappus-guldin
A
C.G
x
360°
x
eje coplanar, es igual a producto de la longitud de la
circunferencia que describe su centroide por el área
de dicha región.
360°
B
Eje de giro
Área de la superficie generada
( )
A S.G. = 2pX .L
: Distancia del C. G. al eje
L : Longitud de la línea curva AB.
C.G. : Centroide de la línea
B. Volumen del sólido generado
El volumen del sólido generado por una región
plana, cuando se hace girar 360° alrededor de un
C.G
A
x
Eje de giro
Volumen del sólido generado
( )
AS.G.
= 2pX .A
CG: centroide
A: área de la región
: distancia del C.G al eje de giro
x
PROBLEMAS RESUELTOS
Problema 1
Hallar el volumen de un segmento
esférico, cuyo casquete tiene área 40
pm 2 y el radio de la esfera mide 10 m.
Resolución:
Resolución:
S zona = 2pR R N
O= pR2
4P
2
A ruso = pR2
90 a
O
N
P
Resolución:
10
A
O
C
H
S casq = 40p
Pero: 2pRh = 40p
Como R = 10, entonces h = 2
Como son equivalentes.
pR 2
90 a = pR2
2
A
10
45° 8°
H
D
V segm esf: 2/3 pR 2 h
V = 400 p/3 m 3
de donde a = 45°
Problema 3
BD = 10 2
OD = 5 2
AODH
Problema 2
El lado de un cuadrado ABCD mide 10.
OH = 4 2
En una esfera da radio R una zona
esfétrica tiene altura R/4 y es
equivalente a un huso. Hallar el ángulo
correspondiente al huso.
Hallar el volumen del sólido al girar el
cuadrado una vuelta alrededor de un
eje que pasa por D haciendo un ángulo
de 8° de manera exterior al cuadrado.
Por teoreama de Pappus
V = 2p(OH)(S 4 )
V = 2p(4 2)(10 2 )
V = 800 p 2
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GEomEtría
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4 san marcos rEGULar 2014 – II